6.4 Hypotesetesting | Matematikk S1

Formulere hypoteser, signifikansnivå og p-verdi.

60 min

11 oppgaver

NullhypoteseAlternativ hypoteseSignifikansnivåp-verdiTestobservator

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.3Normalfordelingen

Normalfordelingen

Normalfordelingen er den viktigste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen. Mange naturlige fenomener (høyde, vekt, testresultater, målefeil) er tilnærmet normalfordelt.

Kurven er klokkeformet og symmetrisk om forventningsverdien $\mu$ . Spredningen bestemmes av standardavviket $\sigma$ .

Vi skriver $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ for en normalfordelt variabel.

Normalfordelingen

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

68-95-99,7-regelen

X \sim N(\mu, \sigma^2)

✏️Eksempel 1: Høyde

Høyden til voksne menn i Norge er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 180$ cm og $\sigma = 7$ cm. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig mann er mellom 173 og 187 cm.

Løsning:

Intervallet $[173, 187]$ er $[\mu - \sigma,\ \mu + \sigma]$ .

Ifølge 68-95-99,7-regelen: $P(173 < X < 187) \approx 0{,}683 = 68{,}3\%$ .

Standardisering (z-score)

Vi kan omgjøre enhver normalfordelt variabel til standardnormalfordelingen $Z \sim N(0, 1)$ :

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

$z$ -verdien forteller hvor mange standardavvik $X$ er fra gjennomsnittet.

✏️Eksempel 2: Bruk av z-score

Med $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ . Finn $P(X > 190)$ ved standardisering.

Løsning:

$z = \frac{190 - 180}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43$

$P(X > 190) = P(Z > 1{,}43) \approx 0{,}0764$ (fra tabell eller kalkulator).

Ca. 7,6 % av mennene er over 190 cm.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

Vekten av epler fra en gård er normalfordelt med $\mu = 200$ g og $\sigma = 30$ g. Bruk 68-95-99,7-regelen til å finne $P(170 < X < 230)$ .

Finn $P(140 < X < 260)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Beregn z-scoren for $X = 165$ cm når $\mu = 180$ og $\sigma = 7$ . Hva forteller denne verdien?

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Resultater på en prøve er normalfordelt med $\mu = 65$ og $\sigma = 12$ . Finn sannsynligheten for å score over 80.

Finn sannsynligheten for å score mellom 50 og 80.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Levetiden til en type lyspære er normalfordelt med $\mu = 1200$ timer og $\sigma = 150$ timer. En produsent gir garanti for de første 900 timene. Hvor stor andel av lyspærene vil gå i stykker innen garantitiden?

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Vekten av pakker fra en fabrikk er normalfordelt med $\mu = 500$ g og $\sigma = 8$ g. Pakker under 485 g kasseres. Finn andelen som kasseres.

Fabrikken ønsker at maks 1 % kasseres. Hvilken $\mu$ bør de ha (med samme $\sigma$ )?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

IQ-score er normalfordelt med $\mu = 100$ og $\sigma = 15$ . Mensa krever IQ over 130 for medlemskap. Hvor stor andel av befolkningen kvalifiserer? Hvor mange i en by med 100 000 innbyggere?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Normalfordelingen $N(\mu, \sigma)$ beskriver mange naturlige størrelser som høyde, vekt og måleresultater.
- 68–95–99,7-regelen gir raske overslag for andeler innenfor $\mu \pm \sigma$ , $\mu \pm 2\sigma$ og $\mu \pm 3\sigma$ .
- Z-score: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$ standardiserer og gjør det mulig å sammenlikne verdier fra ulike fordelinger.
- Omvendt bruk: Fra kjente andeler kan vi finne ukjente $\mu$ eller $\sigma$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
$N(\mu, \sigma)$	Normalfordeling med snitt $\mu$ og spredning $\sigma$
Z-score	Antall standardavvik fra snittet
Standardisering	Omgjøring til standard normalfordeling

Viktige formler

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

x = \mu + z\sigma

- 68 % innenfor

\pm\sigma

, 95 % innenfor

\pm 2\sigma

, 99,7 % innenfor

\pm 3\sigma

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.