6.4 Hypotesetesting

Klokkekurven bak sesjonsdataene

Når Forsvaret måler høyden på tusenvis av unge på sesjon, og noen plotter alle målingene i et diagram, dukker det opp en form som statistikere kjenner igjen umiddelbart: en symmetrisk, klokkeformet kurve med de fleste i midten og stadig færre ut mot kantene. Det samme skjer med fødselsvekter, testresultater og målefeil i laboratorier. Formen har et navn: normalfordelingen — den viktigste kontinuerlige sannsynlighetsfordelingen av dem alle.

Kurven er symmetrisk om forventningsverdien $\mu$, og spredningen bestemmes av standardavviket $\sigma$. Vi skriver $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ for en normalfordelt variabel. Selve tetthetsfunksjonen ser avskrekkende ut,

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

men du trenger sjelden å røre den direkte. Sannsynligheter beregnes som arealet under kurven: $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$, og i praksis lar vi GeoGebra eller kalkulatoren gjøre integralene.

Det du derimot bør kunne på fingrene, er 68-95-99,7-regelen. For enhver normalfordeling gjelder at cirka 68 % av verdiene ligger innenfor ett standardavvik fra $\mu$, cirka 95 % innenfor to, og cirka 99,7 % innenfor tre.

Prøv den på sesjonsdataene: menns høyde er omtrent normalfordelt med $\mu = 180$ cm og $\sigma = 7$ cm. Hvor stor andel er mellom 173 og 187 cm? Intervallet er nøyaktig $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$, så svaret er omtrent 68,3 % — uten en eneste integrasjon.

Z-score — alle normalfordelinger i én

Sesjonskontoret får et spørsmål: hvor stor andel av mennene er over 190 cm? Intervallgrensene treffer ikke lenger pent på hele standardavvik, så vi trenger et mer presist verktøy: standardisering.

Enhver normalfordelt variabel kan omgjøres til standardnormalfordelingen $Z \sim N(0, 1)$ — normalfordelingen med gjennomsnitt 0 og standardavvik 1 — ved transformasjonen

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Tallet $z$ kalles z-score og forteller hvor mange standardavvik en verdi ligger fra gjennomsnittet. En positiv z-score betyr over snittet, en negativ under. Det geniale er at alle normalfordelinger dermed kan slås opp i én og samme tabell — eller beregnes med ett og samme kommandosett i GeoGebra.

For høydespørsmålet: $\displaystyle z = \frac{190 - 180}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43$. En mann på 190 cm ligger altså 1,43 standardavvik over snittet, og

$$P(X > 190) = P(Z > 1{,}43) \approx 0{,}0764$$

Omtrent 7,6 % av mennene er over 190 cm.

Z-scoren gjør også verdier fra ulike fordelinger sammenlignbare. Er 85 poeng på en prøve med $\mu = 70, \sigma = 10$ bedre enn 78 på en med $\mu = 65, \sigma = 8$? Regn ut: $z_1 = 1{,}5$ mot $z_2 = 1{,}625$ — den andre prestasjonen er faktisk sterkere relativt til sin gruppe. Og sammenhengen kan snus: kjenner du andelen, kan du gå fra $z$ tilbake til $x = \mu + z\sigma$ og bestemme ukjente grenser, eller til og med finne ukjente $\mu$ eller $\sigma$ fra observerte andeler. Det er denne fleksibiliteten som gjør normalfordelingen til arbeidshesten i alt fra kvalitetskontroll til meningsmålinger — som du skal se i kapitlene som følger.

Oppsummering: én kurve, tusen anvendelser

Sesjonsmålingene tegnet klokkekurven selv, og du har nå verktøyene til å regne på den. Normalfordelingen $N(\mu, \sigma)$ beskriver utallige naturlige størrelser — høyde, vekt, måleresultater — med en symmetrisk kurve sentrert i forventningsverdien $\mu$ og spredning styrt av standardavviket $\sigma$. Sannsynligheter er arealer under kurven, og de beregnes med digitale verktøy.

68-95-99,7-regelen gir lynraske overslag: omtrent 68 % av verdiene ligger innenfor $\mu \pm \sigma$, 95 % innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og 99,7 % innenfor $\mu \pm 3\sigma$. Når grensene ikke treffer hele standardavvik, standardiserer du med z-scoren $\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma}$, som oversetter enhver normalfordeling til standardnormalfordelingen $N(0, 1)$ — slik fant vi at bare 7,6 % av mennene er over 190 cm. Formelen kan snus til $x = \mu + z\sigma$ når du kjenner andelen og leter etter grensen, og z-scorer gjør prestasjoner fra ulike fordelinger direkte sammenlignbare.

Normalfordelingen er ikke bare en kuriositet fra sesjonshallen: i kapittel 6.6 skal du se at selv binomiske forsøksrekker — valgmålinger, kvalitetskontroller — nærmer seg klokkeformen når antallet blir stort. Da blir z-scoren ditt viktigste regneverktøy.