5.4 Hypergeometrisk fordeling | Matematikk S1

Trekking uten tilbakelegging, hypergeometrisk formel og når binomisk fordeling er en god tilnærming.

60 min

11 oppgaver

Uten tilbakeleggingHypergeometrisk fordelingKvalitetskontrollBinomisk tilnærming

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.3Bayes' setning

Brukes videre i

5.6Simulering med digitale verktøy

Hypergeometrisk fordeling

Tenk deg en urne med kuler av to farger. Du trekker et visst antall kuler uten tilbakelegging. Hvor mange av en bestemt farge får du? Sannsynligheten for dette beskrives av den hypergeometriske fordelingen.

Situasjonen oppstår når vi:
- Har en populasjon med to kategorier (f.eks. rød/blå, defekt/ok, gutt/jente)
- Trekker et utvalg uten tilbakelegging
- Er interessert i antall av den ene kategorien

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 1: Trekking av kuler

En urne har 12 kuler: 5 røde og 7 blå. Du trekker 4 kuler uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 røde.

Løsning:

$N = 12$ , $M = 5$ (røde), $n = 4$ , $k = 2$ .

$P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0{,}424$

Svar: Sannsynligheten er ca. 42,4 %.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Et parti med 20 enheter inneholder 3 defekte. Vi trekker 5 for kontroll. Finn $P(X \geq 1)$ .

Løsning:

Det er enklest å bruke komplementsetningen: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{17}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 6188}{15504} \approx 0{,}399$

$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}399 = 0{,}601$

Svar: Det er ca. 60,1 % sjanse for å oppdage minst en defekt.

Når

n

er liten i forhold til

N

(tommelfingerregel:

n < 0{,}1 \cdot N

, altså under ca.

10\,\%

), er trekking uten tilbakelegging nesten det samme som med tilbakelegging.

I slike tilfeller kan vi approksimere den hypergeometriske fordelingen med en binomialfordeling med $p = M/N$ (se 6.2):

$X \approx \text{Bin}\!\left(n,\, \frac{M}{N}\right)$

Eksempel: Velger 10 fra en populasjon på 1000 -- binomial er god approksimasjon. Velger 10 fra en populasjon på 15 -- må bruke hypergeometrisk.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En kortstokk har 52 kort. Du trekker 5 kort. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 ess ( $M = 4$ ess).

Finn forventningsverdien $E(X)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

En klasse har 18 jenter og 12 gutter. Det trekkes 5 elever tilfeldig til et utvalg. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 jenter.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Et lotteri har 50 lodd der 8 er gevinst. Du kjøper 6 lodd. Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X \geq 2)$ .

📝Oppgave 4

(Fordypning) Et lager har 100 produkter der 10 er defekte. Kvalitetskontrollen trekker 8 produkter. Finn forventningsverdi og standardavvik for antall defekte i utvalget.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Sett opp hele sannsynlighetsfordelingen for antall røde kuler ( $X$ ) når vi trekker 3 kuler fra en urne med 4 røde og 6 blå.

Kontroller at $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$ ved å beregne forventningsverdien fra fordelingen.

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

En revisor skal kontrollere 5 tilfeldige bilag fra et regnskap med 40 bilag totalt, der 3 inneholder feil.

Hva er sannsynligheten for at revisoren finner minst 1 bilag med feil?

Er $n = 5$ stor nok i forhold til $N = 40$ til at vi kan bruke binomialapproksimasjon?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Hypergeometrisk fordeling beskriver trekning uten tilbakelegging fra en populasjon med to typer: $P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .
- Tolkningen: $N$ objekter totalt, $M$ av spesialtypen, vi trekker $n$ og spør om sannsynligheten for nøyaktig $k$ spesielle.
- Forventningsverdi: $E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}$ .
- Minst én: Bruk komplementet: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .
- Binomisk tilnærming: Er utvalget under ca. $10\,\%$ av populasjonen, gir binomisk fordeling med $\displaystyle p = \frac{M}{N}$ nesten samme svar.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Uten tilbakelegging	Sannsynlighetene endres for hvert trekk
$\binom{n}{r}$	Antall måter å velge $r$ av $n$
Komplement	$P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$

Viktige formler

P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.