5.4 Avansert kombinatorikk | Matematikk S1

Hypergeometrisk fordeling

Tenk deg en urne med kuler av to farger. Du trekker et visst antall kuler uten tilbakelegging. Hvor mange av en bestemt farge får du? Sannsynligheten for dette beskrives av den hypergeometriske fordelingen.

Situasjonen oppstår når vi:
- Har en populasjon med to kategorier (f.eks. rød/blå, defekt/ok, gutt/jente)
- Trekker et utvalg uten tilbakelegging
- Er interessert i antall av den ene kategorien

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 1: Trekking av kuler

En urne har 12 kuler: 5 røde og 7 blå. Du trekker 4 kuler uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 røde.

Løsning:

$N = 12$ , $M = 5$ (røde), $n = 4$ , $k = 2$ .

$P(X = 2) = \frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}} = \frac{10 \cdot 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0{,}424$

Sannsynligheten er ca. 42,4 %.

✏️Eksempel 2: Kvalitetskontroll

Et parti med 20 enheter inneholder 3 defekte. Vi trekker 5 for kontroll. Finn $P(X \geq 1)$ .

Løsning:

Det er enklest å bruke komplementsetningen: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

$P(X = 0) = \frac{\binom{3}{0} \cdot \binom{17}{5}}{\binom{20}{5}} = \frac{1 \cdot 6188}{15504} \approx 0{,}399$

$P(X \geq 1) = 1 - 0{,}399 = 0{,}601$

Det er ca. 60,1 % sjanse for å oppdage minst en defekt.

📝Oppgave 1

Løs oppgavene:

En kortstokk har 52 kort. Du trekker 5 kort. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 ess ( $M = 4$ ess).

Finn forventningsverdien $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En klasse har 18 jenter og 12 gutter. Det trekkes 5 elever tilfeldig til et utvalg. Finn sannsynligheten for nøyaktig 3 jenter.

📝Oppgave 3

Løs oppgavene:

Et lotteri har 50 lodd der 8 er gevinst. Du kjøper 6 lodd. Finn $P(X = 0)$ .

Finn $P(X \geq 2)$ .

📝Oppgave 4

Et lager har 100 produkter der 10 er defekte. Kvalitetskontrollen trekker 8 produkter. Finn forventningsverdi og standardavvik for antall defekte i utvalget.

📝Oppgave 5

Løs oppgavene:

Sett opp hele sannsynlighetsfordelingen for antall røde kuler ( $X$ ) når vi trekker 3 kuler fra en urne med 4 røde og 6 blå.

Kontroller at $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$ ved å beregne forventningsverdien fra fordelingen.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Hypergeometrisk fordeling beskriver trekning uten tilbakelegging fra en populasjon med to typer: $P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ .
- Tolkningen: $N$ objekter totalt, $K$ av spesialtypen, vi trekker $n$ og spør om sannsynligheten for nøyaktig $k$ spesielle.
- Forventningsverdi: $E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}$ .
- Minst én: Bruk komplementet: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ .

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Uten tilbakelegging	Sannsynlighetene endres for hvert trekk
$\binom{n}{r}$	Antall måter å velge $r$ av $n$
Komplement	$P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$

Viktige formler

P(X = k) = \dfrac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}

E(X) = n \cdot \dfrac{K}{N}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver