Tilbake
2.2
Alle fag for Høyskole

2.2 Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

STK1100s kjæledegge — gamma(α,β), identiteten χ²ₙ=gamma(n/2,2), gammaintegralet og E(Vʳ)-formelen som bygger alle pivotalene.

60 min
10 oppgaver
GammafordelingenkjikvadratΓ-verktøyet
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på tetthet, fordelingsfunksjon og momenter fra kap. 2.1 — særlig eksponensialfordelingen, som er gammafordelingens enkleste spesialtilfelle.

Du integrerer tyngre uttrykk her: gammaintegralet involverer xa−1e−x/bx^{a-1}e^{-x/b}. Frisk opp bestemt integral i R2 2.4 Bestemt integral og delvis integrasjon i R2 3.2 Delvis integrasjon (brukes til å bygge gammafunksjonens rekursjon). Fagord som frihetsgrader, formparameter og skalaparameter forklares der de innføres.

Sist du var her (kap. 2.1): eksponensial i forventningsform er f(x)=1μe−x/μf(x) = \tfrac1\mu e^{-x/\mu} med E(X)=μE(X) = \mu — dette er akkurat gamma(1,μ)\text{gamma}(1, \mu), som du vil kjenne igjen straks.

Gammafordelingen er en fleksibel familie av høyreskjeve fordelinger på de positive tallene — den beskriver ventetider, levetider og summer av slike. To spesialtilfeller er allerede kjente: eksponensialfordelingen (kap. 2.1) og kjikvadratfordelingen, som er selve motoren i de eksakte konfidensintervallene senere. Verktøyet som binder alt sammen, er gammafunksjonen Γ(α)\Gamma(\alpha) og gammaintegralet.

Kapitlet er seks læringsløkker: gammafunksjonen → gammaintegralet → gammafordelingen → momentformelen E(Vr)E(V^r) → kjikvadrat → sum av gamma. Hver løkke går teori → eksempel → øvingsoppgaver.

> 60-minutters kapittel med pausepunkt ved løkke 4.

Løkke 1 — Gammafunksjonen Γ(α)\Gamma(\alpha) (~10 min)

Gammafunksjonen er en «fakultet for alle tall». For hele tall gir den det vanlige fakultetet, men den er også definert for halvtall og desimaler. Vi trenger fire egenskaper — de dekker alt STK1100 krever av Γ-regning.

Gammafunksjonen
En funksjon som utvider fakultetet til alle positive tall, definert ved integralet

Γ(α)=∫0∞xα−1e−x dx,α>0.\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx, \qquad \alpha > 0.

Du trenger sjelden integralet selv — det er de fire regnereglene under du bruker.

Startverdiene Γ(1)\Gamma(1) og Γ(12)\Gamma(\tfrac12)
De to «ankrene» all Γ-regning trappes ned til:

Γ(1)=1,Γ ⁣(12)=π≈1,7725.\Gamma(1) = 1, \qquad \Gamma\!\left(\tfrac12\right) = \sqrt{\pi} \approx 1{,}7725.

Γ(1)\Gamma(1) brukes for heltalls-argumenter, Γ(12)\Gamma(\tfrac12) for halvtall (som dukker opp i kjikvadrat med odde frihetsgrader).

Rekursjonen Γ(α+1)=α Γ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\,\Gamma(\alpha)
Nedtrappingsregelen som lar deg redusere ethvert argument til Γ(1)\Gamma(1) eller Γ(12)\Gamma(\tfrac12):

Γ(α+1)=α Γ(α).\Gamma(\alpha + 1) = \alpha\,\Gamma(\alpha).

Den følger av delvis integrasjon i integraldefinisjonen. Brukt gjentatte ganger: Γ(52)=32⋅12⋅Γ(12)=34π\Gamma(\tfrac52) = \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot\Gamma(\tfrac12) = \tfrac34\sqrt\pi.

Γ og fakultet
For et positivt heltall aa faller gammafunksjonen sammen med fakultetet:

Γ(a)=(a−1)!.\Gamma(a) = (a-1)!.

For eksempel Γ(4)=3!=6\Gamma(4) = 3! = 6. Slik blir gammafordeling med heltalls formparameter håndterlig uten integraltabeller.

✏️Eksempel 1: Regn ut $\Gamma(\tfrac52)$ og $\Gamma(4)$

Bruk regnereglene til å finne Γ(52)\Gamma(\tfrac52) og Γ(4)\Gamma(4).

Γ(52)\Gamma(\tfrac52): trapp ned med rekursjonen til Γ(12)=π\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi:

Γ ⁣(52)=32 Γ ⁣(32)=32⋅12 Γ ⁣(12)=34π≈1,329.\Gamma\!\left(\tfrac52\right) = \tfrac32\,\Gamma\!\left(\tfrac32\right) = \tfrac32\cdot\tfrac12\,\Gamma\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac34\sqrt\pi \approx 1{,}329.

Γ(4)\Gamma(4): heltall, så Γ(4)=3!=6\Gamma(4) = 3! = 6.

📝Oppgave 1

Bruk regnereglene for gammafunksjonen.

a) Finn Γ(5)\Gamma(5).
b) Finn Γ(72)\Gamma(\tfrac72) uttrykt ved π\sqrt\pi.

Løkke 2 — Gammaintegralet (~9 min)

Ett integral dukker opp igjen og igjen når du normerer tettheter og regner momenter for skjeve fordelinger. Det er verdt å kunne som et ferdig oppslag — ofte gir eksamen det direkte i oppgaveteksten, men du må vite hvordan du bruker det.

Gammaintegralet
For a>0a > 0 og b>0b > 0:

∫0∞xa−1e−x/b dx=ba Γ(a).\int_0^\infty x^{a-1} e^{-x/b}\,dx = b^a\,\Gamma(a).

Med b=1b = 1 er dette bare definisjonen av Γ(a)\Gamma(a). Trikset for å bruke det: skriv integranden på formen xa−1e−x/bx^{a-1}e^{-x/b}, les av aa (potensen pluss 1) og bb (fra eksponenten), og sett inn.

✏️Eksempel 2: Bruk gammaintegralet

Regn ut ∫0∞x3e−x/2 dx\int_0^\infty x^3 e^{-x/2}\,dx.

Skriv integranden på standardform xa−1e−x/bx^{a-1}e^{-x/b}: her er a−1=3a - 1 = 3, altså a=4a = 4, og b=2b = 2. Da:

∫0∞x3e−x/2 dx=ba Γ(a)=24 Γ(4)=16⋅6=96.\int_0^\infty x^3 e^{-x/2}\,dx = b^a\,\Gamma(a) = 2^4\,\Gamma(4) = 16\cdot 6 = 96.

📝Oppgave 2

Bruk gammaintegralet ∫0∞xa−1e−x/b dx=baΓ(a)\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x/b}\,dx = b^a\Gamma(a).

a) Regn ut ∫0∞x2e−x/3 dx\int_0^\infty x^2 e^{-x/3}\,dx.
b) Regn ut ∫0∞x1/2e−x dx\int_0^\infty x^{1/2} e^{-x}\,dx.

Løkke 3 — Gammafordelingen med skalaparameter (~11 min)

Gammafordelingen gamma(α,β)\text{gamma}(\alpha,\beta)
En familie av høyreskjeve fordelinger på x>0x > 0 med formparameter α>0\alpha > 0 og skalaparameter β>0\beta > 0:

f(x)=1βα Γ(α) xα−1e−x/β,x>0.f(x) = \frac{1}{\beta^\alpha\,\Gamma(\alpha)}\,x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \qquad x > 0.

Forventning og varians: E(X)=αβE(X) = \alpha\beta, Var(X)=αβ2\text{Var}(X) = \alpha\beta^2. Formparameteren α\alpha styrer formen (skjevheten), skalaen β\beta strekker fordelingen langs xx-aksen.

Formparameteren α\alpha

Parameteren som styrer fordelingens form. Ved α=1\alpha = 1 er gammafordelingen en eksponensialfordeling (tettheten starter på sitt maksimum i x=0x = 0); for α>1\alpha > 1 får tettheten en pukkel og blir mindre skjev når α\alpha vokser. α\alpha er dimensjonsløs.

Skalaparameteren β\beta

Parameteren som strekker fordelingen langs xx-aksen: dobler du β\beta, dobles både forventning (αβ\alpha\beta) og standardavvik. β\beta har samme enhet som XX. I rateform brukes i stedet raten λ=1/β\lambda = 1/\beta.

Forventning og varians til gamma
For V∼gamma(α,β)V \sim \text{gamma}(\alpha, \beta) (skalaform):

E(V)=αβ,Var(V)=αβ2.E(V) = \alpha\beta, \qquad \text{Var}(V) = \alpha\beta^2.

Disse følger av gammaintegralet: E(V)=∫0∞v f(v) dvE(V) = \int_0^\infty v\,f(v)\,dv blir et gammaintegral med a=α+1a = \alpha+1, som gir αβ\alpha\beta.

Eksponensial som spesialtilfelle
Gammafordelingen med α=1\alpha = 1 er nettopp eksponensialfordelingen:

gamma(1,β):f(x)=1βe−x/β,E=β.\text{gamma}(1, \beta): \quad f(x) = \tfrac1\beta e^{-x/\beta}, \quad E = \beta.

Så eksponensialens forventningsform (kap. 2.1) er gamma(1,μ)\text{gamma}(1, \mu). Dette knytter de to kapitlene sammen.

✏️Eksempel 3: $E(V)$ via gammaintegralet

La V∼gamma(α,β)V \sim \text{gamma}(\alpha, \beta). Vis at E(V)=αβE(V) = \alpha\beta ved å bruke gammaintegralet, og regn ut EE og Var\text{Var} for gamma(3,2)\text{gamma}(3, 2).

E(V)=∫0∞v⋅vα−1e−v/ββαΓ(α) dv=1βαΓ(α)∫0∞vαe−v/β dv.E(V) = \int_0^\infty v\cdot\frac{v^{\alpha-1}e^{-v/\beta}}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}\,dv = \frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty v^{\alpha}e^{-v/\beta}\,dv.

Gammaintegralet med a=α+1a = \alpha + 1, b=βb = \beta gir ∫0∞vαe−v/βdv=βα+1Γ(α+1)\int_0^\infty v^{\alpha}e^{-v/\beta}dv = \beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1). Sett inn og bruk Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha):

E(V)=βα+1αΓ(α)βαΓ(α)=αβ.E(V) = \frac{\beta^{\alpha+1}\alpha\Gamma(\alpha)}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)} = \alpha\beta.

For gamma(3,2)\text{gamma}(3, 2): E=3⋅2=6E = 3\cdot 2 = 6 og Var=3⋅22=12\text{Var} = 3\cdot 2^2 = 12.

📝Oppgave 3

La V∼gamma(2,3)V \sim \text{gamma}(2, 3).

a) Skriv opp tettheten f(v)f(v).
b) Finn E(V)E(V) og Var(V)\text{Var}(V).

Løkke 4 — Momentformelen E(Vr)E(V^r) og skjevhet (~10 min)

> — naturlig pausepunkt — etter momentformelen kommer kjikvadrat.

Noen ganger trenger vi forventningen til en potens eller rot av en gammavariabel — for eksempel E(V)E(\sqrt V) når en estimator inneholder en kvadratrot. Da er det én formel som gir svaret direkte, uten nytt integral. Den brukes til å avsløre skjevhet: at en rot-estimator systematisk bommer (kobling til kap. 5.3).

Momentformelen E(Vr)E(V^r)
For V∼gamma(α,β)V \sim \text{gamma}(\alpha, \beta) og en hvilken som helst potens r>−αr > -\alpha:

E(Vr)=βr Γ(α+r)Γ(α).E(V^r) = \beta^r\,\frac{\Gamma(\alpha + r)}{\Gamma(\alpha)}.

Med r=1r = 1 gir den E(V)=β⋅αΓ(α)/Γ(α)=αβE(V) = \beta\cdot\alpha\Gamma(\alpha)/\Gamma(\alpha) = \alpha\beta; med r=2r = 2 gir den E(V2)=β2α(α+1)E(V^2) = \beta^2\alpha(\alpha+1). Betingelsen r>−αr > -\alpha sikrer at integralet konvergerer.

Skjevhet av en rot-estimator
Fordi kvadratrot er en krum (konkav) funksjon, er E(V)≠E(V)E(\sqrt V) \ne \sqrt{E(V)} — de skiller lag. Momentformelen gir

E(V)=β1/2Γ(α+12)Γ(α)<αβ=E(V).E(\sqrt V) = \beta^{1/2}\frac{\Gamma(\alpha + \tfrac12)}{\Gamma(\alpha)} < \sqrt{\alpha\beta} = \sqrt{E(V)}.

Derfor er V\sqrt V ikke forventningsrett for E(V)\sqrt{E(V)}: den underestimerer systematisk. Dette er A-stoff i estimeringskapitlet (kap. 5.3).

✏️Eksempel 4: $E(\sqrt V)$ og skjevhet

La V∼gamma(4,3)V \sim \text{gamma}(4, 3). Finn E(V)E(\sqrt V) og sammenlign med E(V)\sqrt{E(V)}.

Bruk momentformelen med r=12r = \tfrac12:

E(V)=31/2Γ(4+12)Γ(4)=3⋅Γ(4,5)Γ(4).E(\sqrt V) = 3^{1/2}\frac{\Gamma(4 + \tfrac12)}{\Gamma(4)} = \sqrt 3\cdot\frac{\Gamma(4{,}5)}{\Gamma(4)}.

Her er Γ(4)=3!=6\Gamma(4) = 3! = 6 og Γ(4,5)=72⋅52⋅32⋅12π=10516π≈11,632\Gamma(4{,}5) = \tfrac72\cdot\tfrac52\cdot\tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi = \tfrac{105}{16}\sqrt\pi \approx 11{,}632. Da:

E(V)=1,732⋅11,6326≈3,358.E(\sqrt V) = 1{,}732\cdot\frac{11{,}632}{6} \approx 3{,}358.

Til sammenligning: E(V)=4⋅3=12≈3,464\sqrt{E(V)} = \sqrt{4\cdot 3} = \sqrt{12} \approx 3{,}464. Vi ser E(V)≈3,358<3,464E(\sqrt V) \approx 3{,}358 < 3{,}464 — roten underestimerer, akkurat som skjevheten forutsier.

📝Oppgave 4

La V∼gamma(3,2)V \sim \text{gamma}(3, 2). Bruk momentformelen E(Vr)=βrΓ(α+r)/Γ(α)E(V^r) = \beta^r\Gamma(\alpha+r)/\Gamma(\alpha).

a) Finn E(V2)E(V^2) og bekreft at Var(V)=E(V2)−[E(V)]2=12\text{Var}(V) = E(V^2) - [E(V)]^2 = 12.
b) Finn E(1/V)=E(V−1)E(1/V) = E(V^{-1}).

Løkke 5 — Kjikvadratfordelingen χn2=gamma(n/2,2)\chi^2_n = \text{gamma}(n/2, 2) (~10 min)

Kjikvadratfordelingen er ikke en ny fordeling — den er bare en gammafordeling med skala 2. Denne identiteten er selve nøkkelen til de eksakte konfidensintervallene senere, og den skal sitte. Antall frihetsgrader nn er parameteren som teller hvor mange kvadrerte normalvariable som er lagt sammen (utledes i kap. 4.2 — her presenterer vi fordelingen selv).

Frihetsgrader

Parameteren nn i kjikvadratfordelingen, som teller antall uavhengige kvadrerte standardnormale ledd summen består av. Flere frihetsgrader gir en mindre skjev, mer symmetrisk fordeling med større forventning (E=nE = n). Riktig antall frihetsgrader er avgjørende — feil nn gir feil tabelloppslag.

Kjikvadratfordelingen χn2\chi^2_n
Fordelingen til en sum av nn uavhengige kvadrerte standardnormale variable. Den er en gammafordeling med formparameter n/2n/2 og skala 2:

χn2=gamma ⁣(n2, 2).\chi^2_n = \text{gamma}\!\left(\tfrac{n}{2},\, 2\right).

Støtten er x>0x > 0. Denne identiteten er STK1100s mest brukte — lær den utenat.

Kjikvadratets forventning og varians
Fra χn2=gamma(n/2,2)\chi^2_n = \text{gamma}(n/2, 2) og formlene E=αβE = \alpha\beta, Var=αβ2\text{Var} = \alpha\beta^2:

E(χn2)=n2⋅2=n,Var(χn2)=n2⋅4=2n.E(\chi^2_n) = \tfrac{n}{2}\cdot 2 = n, \qquad \text{Var}(\chi^2_n) = \tfrac{n}{2}\cdot 4 = 2n.

Forventningen er altså lik antallet frihetsgrader — en rask kontroll på at du har riktig nn.

Øvre kvantil χν,α2\chi^2_{\nu,\alpha}
Kjikvadrattabellen slås opp med øvre haleareal: χν,α2\chi^2_{\nu,\alpha} er verdien der

P(χν2>χν,α2)=α.P(\chi^2_\nu > \chi^2_{\nu,\alpha}) = \alpha.

For eksempel χ6, 0,052≈12,59\chi^2_{6,\,0{,}05} \approx 12{,}59: det er 5 % sannsynlighet for å overstige denne verdien med 6 frihetsgrader. Disse persentilene brukes som endepunkter i pivotal-intervallene (kap. 6.1).

✏️Eksempel 5: Kjikvadrat via gamma

Bruk identiteten χ62=gamma(3,2)\chi^2_6 = \text{gamma}(3, 2). Finn forventning og varians, og slå opp χ6, 0,052\chi^2_{6,\,0{,}05}.

Med α=3\alpha = 3, β=2\beta = 2: E=αβ=6E = \alpha\beta = 6 (lik antall frihetsgrader, som forventet) og Var=αβ2=3⋅4=12=2n\text{Var} = \alpha\beta^2 = 3\cdot 4 = 12 = 2n.

Fra kjikvadrattabellen med 6 frihetsgrader og øvre haleareal 0,05: χ6, 0,052≈12,59\chi^2_{6,\,0{,}05} \approx 12{,}59. Det betyr P(χ62>12,59)=0,05P(\chi^2_6 > 12{,}59) = 0{,}05.

📝Oppgave 5

En variabel er χ102\chi^2_{10}-fordelt.

a) Skriv den som en gammafordeling, og finn EE og Var\text{Var}.
b) Fra tabellen er χ10, 0,052=18,31\chi^2_{10,\,0{,}05} = 18{,}31. Forklar med ord hva dette tallet betyr.

Løkke 6 — Sum av uavhengige gamma (~9 min)

Det siste nøkkelresultatet: legger du sammen uavhengige gammavariable som deler skala, får du en ny gammavariabel — formparametrene legges bare sammen. Dette er grunnen til at en sum av eksponensiale ventetider blir gamma (Erlang), og at summer av kjikvadrat blir kjikvadrat. Resultatet bevises via momentgenererende funksjoner i kap. 4.1; her bruker vi det.

Sum av uavhengige gamma (felles skala)
Er V1,…,VkV_1, \dots, V_k uavhengige med Vi∼gamma(αi,β)V_i \sim \text{gamma}(\alpha_i, \beta) (samme skala β\beta), så er summen igjen gamma med samme skala og formparametrene lagt sammen:

∑i=1kVi∼gamma ⁣(∑i=1kαi, β).\sum_{i=1}^k V_i \sim \text{gamma}\!\left(\sum_{i=1}^k \alpha_i,\ \beta\right).

Merk kravet om felles skala β\beta — uten det gjelder ikke regelen.

Erlang: sum av eksponensiale
En sum av nn uavhengige eksponensiale med felles forventning β\beta er gamma med heltalls form:

∑i=1nXi∼gamma(n,β),Xi∼gamma(1,β).\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{gamma}(n, \beta), \qquad X_i \sim \text{gamma}(1, \beta).

Dette kalles Erlang-fordelingen og er tiden til den nn-te hendelsen i en Poisson-prosess. Forventning nβn\beta, varians nβ2n\beta^2.

Sum av uavhengige kjikvadrat
Fordi χn2=gamma(n/2,2)\chi^2_n = \text{gamma}(n/2, 2) alle har skala 2, gir sumregelen:

χn12+χn22=χn1+n22\chi^2_{n_1} + \chi^2_{n_2} = \chi^2_{n_1 + n_2}

for uavhengige ledd. Frihetsgradene legges sammen — nyttig når man setter sammen flere uavhengige utvalg.

✏️Eksempel 6: Sum av eksponensiale ventetider

En maskin har fire komponenter i serie som byttes etter tur. Hver har eksponensialfordelt levetid med forventning β=4\beta = 4 måneder, uavhengig av de andre. Finn fordelingen, forventningen og variansen til den totale levetiden S=X1+X2+X3+X4S = X_1 + X_2 + X_3 + X_4.

Hver Xi∼gamma(1,4)X_i \sim \text{gamma}(1, 4). Med felles skala β=4\beta = 4 gir sumregelen:

S=∑i=14Xi∼gamma(4,4).S = \sum_{i=1}^4 X_i \sim \text{gamma}(4, 4).

Da E(S)=αβ=4⋅4=16E(S) = \alpha\beta = 4\cdot 4 = 16 måneder og Var(S)=αβ2=4⋅16=64\text{Var}(S) = \alpha\beta^2 = 4\cdot 16 = 64, altså SD(S)=8\text{SD}(S) = 8 måneder.

📝Oppgave 6

La X1,…,X5X_1, \dots, X_5 være uavhengige eksponensiale med felles forventning β=2\beta = 2 (dvs. hver gamma(1,2)\text{gamma}(1,2)).

a) Hvilken fordeling har summen S=∑XiS = \sum X_i?
b) Finn E(S)E(S) og Var(S)\text{Var}(S).

Begrepsbank — flashcards

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Kortene samler Γ-verktøyet og gamma/kjikvadrat-identitetene til pugg.

Gammafordelingen — oppsummert
gamma(α,β)\text{gamma}(\alpha,\beta) med skala β\beta: f(x)=1βαΓ(α)xα−1e−x/βf(x) = \tfrac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}, x>0x > 0. E=αβE = \alpha\beta, Var=αβ2\text{Var} = \alpha\beta^2. Høyreskjev, positiv støtte.
Γ-reglene på ett kort
Γ(1)=1\Gamma(1) = 1; Γ(12)=π\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi; Γ(α+1)=αΓ(α)\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha); Γ(a)=(a−1)!\Gamma(a) = (a-1)! for heltall aa. Trapp ethvert argument ned til ett av ankrene.
Gammaintegralet
∫0∞xa−1e−x/b dx=baΓ(a)\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x/b}\,dx = b^a\Gamma(a). Les av aa (potens +1+1) og bb (fra e−x/be^{-x/b}), sett inn. Med b=1b = 1 er det definisjonen av Γ(a)\Gamma(a).
Identiteten χn2=gamma(n/2,2)\chi^2_n = \text{gamma}(n/2, 2)

Kjikvadrat med nn frihetsgrader er gamma med form n/2n/2 og skala 2. Herav E=nE = n, Var=2n\text{Var} = 2n. STK1100s mest brukte identitet — motoren i eksakte KI.

Momentformelen E(Vr)E(V^r)

For V∼gamma(α,β)V \sim \text{gamma}(\alpha,\beta), r>−αr > -\alpha: E(Vr)=βrΓ(α+r)Γ(α)E(V^r) = \beta^r\dfrac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)}. Gir E(V)=αβE(V) = \alpha\beta (r=1r=1) og E(V2)=β2α(α+1)E(V^2) = \beta^2\alpha(\alpha+1) (r=2r=2).

Rot underestimerer
E(V)=β1/2Γ(α+12)/Γ(α)<αβE(\sqrt V) = \beta^{1/2}\Gamma(\alpha+\tfrac12)/\Gamma(\alpha) < \sqrt{\alpha\beta}. En kvadratrot-estimator bommer systematisk nedover — skjevhet som må korrigeres (kap. 5.3).
Sum av gamma (felles skala)

Uavhengige Vi∼gamma(αi,β)V_i \sim \text{gamma}(\alpha_i, \beta) med samme β\beta: ∑Vi∼gamma(∑αi,β)\sum V_i \sim \text{gamma}(\sum\alpha_i, \beta). Krever felles skala.

Erlang / sum av eksponensiale

Sum av nn uavhengige eksponensiale med felles forventning β\beta er gamma(n,β)\text{gamma}(n, \beta) — tiden til nn-te hendelse i en Poisson-prosess. E=nβE = n\beta.

Eksponensial =gamma(1,β)= \text{gamma}(1,\beta)

Eksponensialens forventningsform f=1βe−x/βf = \tfrac1\beta e^{-x/\beta} er gammafordelingen med α=1\alpha = 1. Alt gamma-maskineri gjelder derfor også eksponensial.

Kjikvadrattabellen (øvre hale)
χν,α2\chi^2_{\nu,\alpha} er verdien med P(χν2>χν,α2)=αP(\chi^2_\nu > \chi^2_{\nu,\alpha}) = \alpha (øvre haleareal). Brukes som endepunkt i eksakte pivotal-KI; slå opp med riktig ν\nu.
Form kontra skala
α\alpha (form) styrer skjevheten — ved α=1\alpha = 1 er fordelingen eksponensiell; store α\alpha gir tilnærmet symmetri. β\beta (skala) strekker fordelingen; forveksle den ikke med raten λ=1/β\lambda = 1/\beta.
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.