4.3 Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

Første ledd i ryggrad-drillen: gjør en observasjon om til en gamma/χ²-størrelse på autopilot — råmaterialet til den eksakte pivotalen.

80 min

12 oppgaver

Drilltransformasjon til gamma/χ²pivot-fabrikken (eget drillmål)

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.2Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi 2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Transformasjon: broen til pivotalen 6.1Eksakt pivotal-KI via gamma/χ² 6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

Transformasjonen til gamma/ $\chi^2$ er broen til pivotal-KI-et i 7 av 10 avsluttende skoleeksamener (70 %) i STK1100-arkivet 2015–2024, og analysen kaller den «emnets viktigste bro». Dette er drillsporets første ledd: her lærer du å gjøre en observasjon om til en gamma-/

\chi^2

-størrelse på autopilot — råmaterialet til den eksakte pivotalen (fortsettes i kap. 5.3 og kap. 6.3).

Dette kalles sjanger E i boka (transformasjon mot pivotal). Standardgrepene som går igjen: $2X/\mu \sim \chi^2_2$ (eksponensial), summen $2\sum X_i/\mu \sim \chi^2_{2n}$ ; $(X-\mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2_1$ , summen $\sim \chi^2_n$ ; Weibull-potensløftet mot gamma $(n,1)$ ; Pareto-log-løftet mot $\chi^2_{2n}$ . Prioritet: høyeste — A-kandidatens signaturbro.

Dette er et drillkapittel: kort oppskrift, ett gjennomregnet eksamenscase med sensornotater, og deretter mange varianter. Der sitter poengene: ulikhetshåndteringen i CDF-steget, MGF-entydigheten for summen, og — viktigst — riktige frihetsgrader ( $2n$ vs. $n$ ).

Forkunnskaper: kap. 4.2 (CDF-metoden) og kap. 2.2 (gamma,

\chi^2_n = \text{gamma}(n/2,2)

, sum av gamma med felles skala). MGF-entydigheten er fra kap. 4.1.

Sist du var her — de tre formlene hele dette drillkapitlet hviler på:

$\textbf{CDF-metoden:}\quad F_Y(y) = P(g(X) \le y) = F_X(g^{-1}(y)) \ \text{(voksende } g),\ \text{deriver til } f_Y.$

$\textbf{Sum av gamma (felles skala):}\quad \sum_{i=1}^n V_i \sim \text{gamma}\!\left(\sum \alpha_i,\ \beta\right)\ \text{for } V_i \sim \text{gamma}(\alpha_i, \beta).$

$\textbf{Kjikvadrat-identiteten:}\quad \chi^2_n = \text{gamma}(n/2,\ 2), \qquad \text{dvs. gamma}(k, 2) = \chi^2_{2k}.$

Disse tre er alt du trenger. Eksponensial oppgis i både rate- og forventningsform i arkivet — les alltid oppgavens egen definisjon (som i kap. 2.1).

Løsningsoppskriften: fra observasjon til $\chi^2$ /gamma

Møter du en sjanger E-oppgave («vis at $\ldots$ er kjikvadrat-/gammafordelt», «finn fordelingen til $\sum \ldots$ »), kjør denne faste algoritmen:

1. Identifiser transformasjonen som gjør observasjonen standard. Se på oppgavens fordeling:
- eksponensial → skalér: $2X/\mu$ (forventningsform) eller $2\lambda X$ (rateform);
- normal med kjent $\mu$ → standardiser og kvadrer: $(X-\mu)^2/\sigma^2$ ;
- Weibull → potensløft: $(X/\beta)^\alpha$ ;
- Pareto → log-løft: $2\theta\ln(X/k)$ ;
- Rayleigh → kvadrat: $X^2/\sigma^2$ .

2. Vis med CDF-metoden at den enkelte transformerte størrelsen er eksponensial/gamma/ $\chi^2$ . Skriv $F_Y(y) = P(g(X) \le y)$ , oversett til en hendelse om $X$ (snu ulikheten hvis $g$ avtar), sett inn $F_X$ , og kjenn igjen $1 - e^{-y/2}$ ( $\chi^2_2$ ), $1 - e^{-y}$ (eksponensial forventning 1), osv.

3. Løft til summen. Bruk «sum av uavhengige gamma med felles skala er gamma $(\sum\alpha, \beta)$ » (bevist via MGF i kap. 4.1). Pass frihetsgradene:

Fordeling	Enkelt-ledd	Sum av $n$
Eksponensial ( $2X/\mu$ el. $2\lambda X$ )	$\chi^2_2$	$\chi^2_{2n}$
Normal, kjent $\mu$ ( $(X-\mu)^2/\sigma^2$ )	$\chi^2_1$	$\chi^2_n$
Weibull ( $(X/\beta)^\alpha$ )	gamma $(1,1)$	gamma $(n,1)$
Pareto ( $2\theta\ln(X/k)$ )	$\chi^2_2$	$\chi^2_{2n}$ = gamma $(n,2)$

4. Pek fremover. Størrelsen du nettopp bygde er

W(X; \theta)

— en pivotal der den ukjente parameteren har falt ut av fordelingen. Det er nøyaktig råstoffet som gir det eksakte konfidensintervallet i kap. 6.1.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: eksponensiale levetider (med sensornotater)

Levetidene $X_1, \ldots, X_{10}$ til ti komponenter er uavhengige og eksponensialfordelte i forventningsform med forventning $\mu$ , altså $f(x) = \tfrac{1}{\mu}e^{-x/\mu}$ , $x \ge 0$ .

a) Vis ved CDF-metoden at $2X_1/\mu \sim \chi^2_2$ .
b) Angi med begrunnelse fordelingen til $W = 2\sum_{i=1}^{10} X_i/\mu$ .
c) Forklar hvorfor $W$ er nyttig for å lage et konfidensintervall for $\mu$ .

a) Sensornotat: gå via CDF — ikke gjett tettheten. Ulikhetshåndteringen gir 1 poeng. La

Y = 2X_1/\mu

. Transformasjonen

g(x) = 2x/\mu

er voksende, med invers

g^{-1}(y) = \mu y/2

. For

y > 0

$F_Y(y) = P\!\left(\tfrac{2X_1}{\mu} \le y\right) = P\!\left(X_1 \le \tfrac{\mu y}{2}\right) = F_X\!\left(\tfrac{\mu y}{2}\right) = 1 - e^{-(\mu y/2)/\mu} = 1 - e^{-y/2}.$

Dette er fordelingsfunksjonen til eksponensial med forventning 2, altså gamma $(1, 2)$ . Og gamma $(1,2) = \text{gamma}(2/2, 2) = \chi^2_2$ . Dermed $2X_1/\mu \sim \chi^2_2$ . Sensornotat: at $\mu$ faller ut er hele poenget — noter det.

b) Sensornotat: her sitter A-poenget — riktig antall frihetsgrader OG entydighetsargumentet. Hver $2X_i/\mu \sim \chi^2_2 = \text{gamma}(1, 2)$ , og de er uavhengige med felles skala 2. Ved sum-av-gamma-regelen (bevist via MGF-entydighet i kap. 4.1):

$W = \sum_{i=1}^{10} \frac{2X_i}{\mu} \sim \text{gamma}\!\left(\sum_{i=1}^{10} 1,\ 2\right) = \text{gamma}(10, 2) = \chi^2_{20}.$

Altså $W \sim \chi^2_{2n}$ med $2n = 20$ frihetsgrader — ikke $\chi^2_{10}$ . Sensornotat: den vanligste feilen er $\chi^2_n = \chi^2_{10}$ ; dobbeltsjekk at eksponensial gir $2n$ .

c) Sensornotat: dette peker mot Del 6 — behøver ikke regnes her, men vis at du ser broen. $W = 2\sum X_i/\mu$ inneholder den ukjente $\mu$ , men fordelingen til $W$ er $\chi^2_{20}$ — helt uten $\mu$ . En slik størrelse kalles en pivotal. Fordi vi kjenner $\chi^2_{20}$ -persentilene, kan vi skrive $P(\chi^2_{20, 0{,}975} \le W \le \chi^2_{20, 0{,}025}) = 0{,}95$ og løse ulikheten for $\mu$ — det gir et eksakt 95 %-konfidensintervall for $\mu$ (kap. 6.1). Broen du bygde her er selve inngangen til den oppgaven.

> — naturlig pausepunkt — nå har du hele oppskriften på ett case. Under følger drilloppgavene; ta dem i porsjoner.

Drilloppgaver — roter variantene

📝Oppgave 1

Vanntrykket $X$ (bar) i et rør er eksponensialfordelt i forventningsform med forventning $\mu$ , $f(x) = \tfrac1\mu e^{-x/\mu}$ . Vis ved CDF-metoden at $2X/\mu \sim \chi^2_2$ .

📝Oppgave 2

Ventetiden $X$ (minutter) mellom kundeankomster er eksponensialfordelt i rateform med rate $\lambda$ , $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ , $F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x}$ . Vis at $2\lambda X \sim \chi^2_2$ .

📝Oppgave 3

En måling $X$ er normalfordelt med kjent forventning $\mu$ og ukjent varians $\sigma^2$ . Vis at $(X-\mu)^2/\sigma^2 \sim \chi^2_1$ .

📝Oppgave 4

Levetidene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og eksponensialfordelte i forventningsform med felles forventning $\mu$ . Angi med full begrunnelse fordelingen til $W = 2\sum_{i=1}^n X_i/\mu$ .

📝Oppgave 5

Ventetidene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og eksponensialfordelte i rateform med felles rate $\lambda$ . Angi fordelingen til $W = 2\lambda\sum_{i=1}^n X_i$ , og forklar hvorfor $W$ ikke inneholder $\lambda$ i fordelingen.

📝Oppgave 6

Målingene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og $N(\mu, \sigma^2)$ med kjent $\mu$ . Angi fordelingen til $W = \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2/\sigma^2$ , og sammenlign frihetsgradene med det eksponensiale tilfellet.

📝Oppgave 7

Levetidene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og Weibull-fordelte med kjent formparameter $\alpha$ og skala $\beta$ , $F_X(x) = 1 - e^{-(x/\beta)^\alpha}$ .

a) Vis at $Y_i = (X_i/\beta)^\alpha$ er eksponensialfordelt med forventning 1.
b) Angi fordelingen til $\sum_{i=1}^n (X_i/\beta)^\alpha$ .

📝Oppgave 8

Inntektene $X_1, \ldots, X_n$ (over minsteinntekt $k$ ) er uavhengige og Pareto-fordelte med $F_X(x) = 1 - (k/x)^\theta$ , $x \ge k$ , med kjent $k$ og ukjent $\theta$ .

a) Vis at $Y_i = 2\theta\ln(X_i/k) \sim \chi^2_2$ .
b) Angi fordelingen til $2\theta\sum_{i=1}^n \ln(X_i/k)$ .

📝Oppgave 9

Bølgehøydene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og Rayleigh-fordelte med $F_X(x) = 1 - e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ , $x \ge 0$ , med ukjent $\sigma$ .

a) Vis at $X_i^2/\sigma^2 \sim \chi^2_2$ .
b) Angi fordelingen til $\sum_{i=1}^n X_i^2/\sigma^2$ .

📝Oppgave 10

En «oppskriftsfordeling» dukker opp: konsentrasjonen $X$ (mg/L) har fordelingsfunksjon $F_X(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^3}$ for $x \ge 0$ , med ukjent skala $\theta$ (dette er Weibull med form 3, men behandle den bare fra $F_X$ ). Observasjonene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige.

a) Identifiser en transformasjon som gir en standard eksponensial, og vis det med CDF-metoden.
b) Bygg en $\chi^2$ -pivotal av summen og angi frihetsgradene.

📝Oppgave 11

To studenter drøfter en oppgave der $X_1, \ldots, X_{12}$ er uavhengige eksponensiale (forventningsform, forventning $\mu$ ). Den ene påstår at $2\sum X_i/\mu \sim \chi^2_{12}$ , den andre at det er $\chi^2_{24}$ .

a) Avgjør hvem som har rett, med full begrunnelse.
b) Angi forventning og varians til den korrekte $\chi^2$ -fordelingen (bruk $E(\chi^2_\nu) = \nu$ , $\text{Var}(\chi^2_\nu) = 2\nu$ ).

📝Oppgave 12

Inntektene $X_1, \ldots, X_n$ er uavhengige og Pareto-fordelte med $F_X(x) = 1 - (k/x)^\theta$ , $x \ge k$ (kjent $k$ , ukjent $\theta$ ). Bygg en pivotal for $\theta$ og forklar hvordan den brukes til et konfidensintervall.

Typiske feil

- Frihetsgrader $n$ i stedet for $2n$ (eller omvendt). Eksponensial og Pareto/Rayleigh gir $\chi^2_2$ per ledd → $\chi^2_{2n}$ for summen; normal med kjent $\mu$ gir $\chi^2_1$ per ledd → $\chi^2_n$ . Dette er den dyreste feilen i hele sjangeren — tell frihetsgrader hver gang.
- Slurve med ulikhetsretningen i CDF-steget. Er transformasjonen voksende, brukes $\le$ ; er den avtakende, snus til $\ge$ (og halen $1 - F_X$ dukker opp).
- Hoppe over MGF-entydigheten for summen. « $W$ er en sum av $\chi^2_2$ -er, altså $\chi^2_{2n}$ » krever begrunnelsen «sum av uavhengige gamma med felles skala er gamma med lagt-sammen form (MGF-entydighet)».
- Glemme potens-/log-løftet for Weibull/Pareto og prøve å bruke apparatet direkte på $X$ . Weibull krever $(X/\beta)^\alpha$ , Pareto krever $2\theta\ln(X/k)$ — først da blir det eksponensial/ $\chi^2$ .
- Blande eksponensialens to parametriseringer: rateform gir $2\lambda X \sim \chi^2_2$ , forventningsform gir $2X/\mu \sim \chi^2_2$ . Les oppgavens egen $f(x)$ .

Oppskriftskort — flashcards

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Ti korte «formelkort» som samler pivot-fabrikkens standardgrep.

Oppskrift: observasjon →

\chi^2

\chi^2

Frihetsgrad-tabellen

2X/\mu

Eksponensial, forventningsform

f(x) = \tfrac1\mu e^{-x/\mu}

Eksponensial, rateform

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}

Normal med kjent

\mu

(X-\mu)^2/\sigma^2 = Z^2 \sim \chi^2_1

Weibull-potensløftet

\beta

Pareto-log-løftet

k

Sum-av-gamma-regelen

\beta

Pivotal — hva og hvorfor

W(X;\theta)

\chi^2

-gamma-oversettingen

(k, 2) = \chi^2_{2k}

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

4.3 Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)

Løsningsoppskriften: fra observasjon til χ2\chi^2χ2/gamma

Drilloppgaver — roter variantene

Oppskriftskort — flashcards

Løsningsoppskriften: fra observasjon til $\chi^2$ /gamma