4.2 Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

Finn fordelingen til Y=g(X) med CDF-metoden, og til (U,V)=g(X,Y) med Jacobi-determinanten — teknikkene som identifiserer fordelinger og bygger pivotaler.

65 min

10 oppgaver

TransformasjonsteknikkeneCDF-metodenJacobi

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet 3.1Simultantetthet: marginaler, betinget tetthet og område-sannsynligheter

Brukes videre i

4.3Drill: transformasjon til gamma/χ² — pivot-fabrikken (eget drillmål)7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

Transformasjon er i 9 av 10 avsluttende skoleeksamener (90 %) i STK1100-arkivet 2015–2024 — den mest brukte teknikken overhodet, og «broen til pivotalen» som hele estimerings-kjeden hviler på. To sjangre bor her: sjanger E (finn fordelingen til

Y = g(X)

med CDF-metoden) og sjanger J (finn fordelingen til

(U,V) = g(X,Y)

med Jacobi-determinanten, forekom som ren oppgave i ~3/10 sett).

Sammen med MGF-en fra kap. 4.1 er dette de tre transformasjonsverktøyene: CDF-metoden (for én variabel), Jacobi (for to), og MGF-identifikasjon (for summer). Prioritet: høyeste (nivå 1).

Sensor krever at du utleder — aldri gjetter — fordelingen: (1) gå alltid via fordelingsfunksjonen $F_Y$ , ikke ved å «bytte inn» i tettheten; (2) snu ulikheten når $g$ er avtakende; (3) i Jacobi-formelen står absoluttverdien $|J|$ av determinanten, og du må tegne integrasjonsområdet før du integrerer ut en marginal.

Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på gammafordelingen og

\chi^2_n = \text{gamma}(n/2, 2)

fra kap. 2.2, på simultantetthet, marginaler og dobbeltintegral fra kap. 3.1, og på fordelingsfunksjonen

F_X

fra kap. 2.1. MGF-metoden fra kap. 4.1 er den tredje transformasjonsteknikken.

Du deriverer $F$ til $f$ og bruker kjerneregelen hele veien; frisk opp R1 4.1 Derivasjonsregler. Fagordene CDF-metoden, Jacobi-determinant og marginaltetthet forklares der de innføres.

Du har en variabel $X$ med kjent fordeling, og du er interessert i en funksjon av den — kvadratet $X^2$ , logaritmen $\ln X$ , summen $X + Y$ . Hva er fordelingen til den nye variabelen? Dette spørsmålet er selve motoren i STK1100: det er slik en observasjon gjøres om til en $\chi^2$ -størrelse som gir eksakt konfidensintervall senere.

Det finnes to hovedmetoder. For én variabel bruker vi CDF-metoden: regn ut fordelingsfunksjonen til $Y = g(X)$ ved å oversette hendelsen $\{g(X) \le y\}$ til en hendelse om $X$ , og deriver til tetthet. For to variable bruker vi Jacobi-formelen, som er flerdimensjonal substitusjon: bytt variabler, gang med absoluttverdien av Jacobi-determinanten, og integrer ut det du ikke trenger.

Kapitlet er seks læringsløkker: CDF-metoden for voksende $g$ → for avtakende $g$ → kroneksempelet $Z^2 \sim \chi^2_1$ → standardtransformasjonene mot gamma/ $\chi^2$ → Jacobi-formelen → Jacobi med marginalisering. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

> 65-minutters kapittel. Naturlig pausepunkt er markert ved løkke 4 (overgangen til Jacobi).

Løkke 1 — CDF-metoden for voksende $g$ (~9 min)

Grunnideen i CDF-metoden er å regne fordelingsfunksjonen til $Y = g(X)$ først, og derivere til tetthet etterpå. Nøkkelen er å oversette hendelsen $\{Y \le y\} = \{g(X) \le y\}$ til en hendelse om $X$ . Er $g$ monotont voksende, kan vi bruke den inverse $g^{-1}$ direkte: $g(X) \le y$ er det samme som $X \le g^{-1}(y)$ .

CDF-metoden (monotont voksende

g

)

Y = g(X)

✏️Eksempel 1: En lineær transformasjon

Levetiden $X$ (år) er eksponensialfordelt i forventningsform med $\mu = 3$ . En omregnet størrelse er $Y = 2X + 1$ . Finn tettheten til $Y$ med CDF-metoden.

Her er

g(x) = 2x + 1

voksende, med invers

g^{-1}(y) = (y-1)/2

. Støtten

x \ge 0

blir

y \ge 1

. Fordelingsfunksjonen (

F_X(x) = 1 - e^{-x/3}

$F_Y(y) = P(2X + 1 \le y) = P\!\left(X \le \tfrac{y-1}{2}\right) = 1 - e^{-(y-1)/6}, \qquad y \ge 1.$

Deriver:

$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left(1 - e^{-(y-1)/6}\right) = \tfrac16 e^{-(y-1)/6}, \qquad y \ge 1.$

Dette er en (forskjøvet) eksponensialtetthet. Kontroll av forventningen: $E(Y) = 2E(X) + 1 = 2\cdot 3 + 1 = 7$ .

📝Oppgave 1

En variabel $X$ er eksponensialfordelt i rateform med rate $\lambda = 0{,}5$ (altså $F_X(x) = 1 - e^{-0{,}5x}$ , $x \ge 0$ ). Sett $Y = 3X$ .

a) Finn $F_Y(y)$ med CDF-metoden.
b) Deriver til $f_Y(y)$ og angi hvilken fordeling $Y$ har.

Løkke 2 — CDF-metoden for avtakende $g$ : snu ulikheten (~9 min)

Er $g$ avtakende, snur ulikheten når du løser for $X$ : $g(X) \le y$ betyr nå $X \ge g^{-1}(y)$ (en stor $Y$ -verdi svarer til en liten $X$ -verdi). Da blir $F_Y(y) = P(X \ge g^{-1}(y)) = 1 - F_X(g^{-1}(y))$ . Å glemme å snu ulikheten er den vanligste feilen i CDF-metoden.

CDF-metoden (avtakende

g

)

g

✏️Eksempel 2: Fra eksponensial til uniform

La $X$ være eksponensialfordelt med rate 1 ( $F_X(x) = 1 - e^{-x}$ , $x \ge 0$ ), og sett $Y = e^{-X}$ . Finn fordelingen til $Y$ .

Funksjonen

g(x) = e^{-x}

er avtakende, og for

x \ge 0

ligger

Y = e^{-X}

(0, 1]

. For

0 < y \le 1

snur vi ulikheten:

$F_Y(y) = P(e^{-X} \le y) = P(-X \le \ln y) = P(X \ge -\ln y).$

Halen er $P(X \ge x) = e^{-x}$ , så med $x = -\ln y$ :

$F_Y(y) = e^{-(-\ln y)} = e^{\ln y} = y, \qquad 0 < y \le 1.$

Deriver: $f_Y(y) = 1$ på $(0, 1)$ . $Y$ er uniformt fordelt på $[0,1]$ . (Dette er ikke tilfeldig: $Y = 1 - F_X(X)$ -typen transformasjon gir alltid uniform — grunnlaget for inversjonsmetoden i kap. 7.1.)

📝Oppgave 2

La $U$ være uniformt fordelt på $[0,1]$ ( $F_U(u) = u$ ), og sett $Y = -\ln U$ .

a) Er $g(u) = -\ln u$ voksende eller avtakende? Finn $F_Y(y)$ for $y > 0$ .
b) Deriver til $f_Y(y)$ og angi fordelingen til $Y$ .

Løkke 3 — Kroneksempelet: $Z^2 \sim \chi^2_1$ (~11 min)

Nå til den enkelttransformasjonen STK1100 elsker mest: kvadratet av en standardnormal er kjikvadratfordelt med én frihetsgrad. Her er $g(x) = x^2$ ikke monoton (både $+z$ og $-z$ gir samme kvadrat), så vi kan ikke bruke en enkelt invers — vi må samle begge greinene i CDF-steget. Skriv $\Phi$ for standardnormalens fordelingsfunksjon og $\varphi(z) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$ for tettheten.

Kvadrat av standardnormal:

Z^2 \sim \chi^2_1

Z \sim N(0,1) \;\Rightarrow\; Z^2 \sim \chi^2_1 = \text{gamma}\!\left(\tfrac12, 2\right).

✏️Eksempel 3: Utled $Z^2 \sim \chi^2_1$ med CDF-metoden

La $Z \sim N(0,1)$ og $Y = Z^2$ . Vis ved CDF-metoden at $Y \sim \text{gamma}(\tfrac12, 2)$ .

Siden

Y = Z^2 \ge 0

, ser vi på

y > 0

. Hendelsen

\{Z^2 \le y\}

\{-\sqrt y \le Z \le \sqrt y\}

(begge greiner):

$F_Y(y) = P(-\sqrt y \le Z \le \sqrt y) = \Phi(\sqrt y) - \Phi(-\sqrt y) = 2\Phi(\sqrt y) - 1,$

der vi brukte symmetrien $\Phi(-\sqrt y) = 1 - \Phi(\sqrt y)$ . Deriver med kjerneregelen ( $\Phi' = \varphi$ , $\tfrac{d}{dy}\sqrt y = \tfrac{1}{2\sqrt y}$ ):

$f_Y(y) = 2\varphi(\sqrt y)\cdot \frac{1}{2\sqrt y} = \frac{\varphi(\sqrt y)}{\sqrt y} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,y^{-1/2}\,e^{-y/2}, \qquad y > 0.$

Sammenlign med gamma $(\tfrac12, 2)$ -tettheten $\displaystyle \frac{1}{2^{1/2}\Gamma(1/2)}y^{1/2-1}e^{-y/2}$ . Siden $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ er $2^{1/2}\Gamma(\tfrac12) = \sqrt 2\cdot\sqrt\pi = \sqrt{2\pi}$ — nøyaktig samme konstant. Altså $Y \sim \text{gamma}(\tfrac12, 2) = \chi^2_1$ .

📝Oppgave 3

Levetiden $X$ (timer) er Weibull-fordelt med $F_X(x) = 1 - e^{-(x/\beta)^\alpha}$ , $x \ge 0$ , med kjent formparameter $\alpha$ og skala $\beta$ . Sett $Y = (X/\beta)^\alpha$ .

a) Er $g(x) = (x/\beta)^\alpha$ voksende på $x \ge 0$ ? Finn $F_Y(y)$ .
b) Angi fordelingen til $Y$ .

Løkke 4 — Standardtransformasjonene mot gamma/ $\chi^2$ (~9 min)

> — naturlig pausepunkt — nå går vi fra én til to variable (Jacobi). Ta gjerne en pause.

Noen få transformasjoner dukker opp om og om igjen fordi de bygger de eksakte pivotalene i Del 6. De er alle bare CDF-metoden anvendt på en standardfordeling. Her er de fire som skal sitte — vi drillsetter dem i kap. 4.3, men du bør kjenne dem igjen allerede nå.

Standardtransformasjonene (kroneksemplene)

\chi^2

✏️Eksempel 4: $2X/\mu \sim \chi^2_2$ for eksponensial

La $X$ være eksponensialfordelt i forventningsform med forventning $\mu$ ( $F_X(x) = 1 - e^{-x/\mu}$ ). Vis at $W = 2X/\mu \sim \chi^2_2$ .

g(x) = 2x/\mu

er voksende,

g^{-1}(w) = \mu w/2

. For

w > 0

$F_W(w) = P\!\left(\tfrac{2X}{\mu} \le w\right) = P\!\left(X \le \tfrac{\mu w}{2}\right) = 1 - e^{-(\mu w/2)/\mu} = 1 - e^{-w/2}.$

Dette er fordelingsfunksjonen til eksponensial med forventning 2, altså gamma $(1, 2)$ . Og gamma $(1,2) = \text{gamma}(2/2, 2) = \chi^2_2$ . $W = 2X/\mu \sim \chi^2_2$ (2 frihetsgrader). Legg merke til at $\mu$ -en faller helt ut — det er dette som gjør $W$ til en pivotal (fordelingen avhenger ikke av $\mu$ ).

📝Oppgave 4

La $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ med kjent $\mu$ , og sett $W = (X - \mu)^2/\sigma^2$ .

a) Vis at $Z = (X-\mu)/\sigma \sim N(0,1)$ , og skriv $W$ ved $Z$ .
b) Angi fordelingen til $W$ med begrunnelse.

Løkke 5 — Jacobi-formelen for $(X,Y) \to (U,V)$ (~14 min)

For to variable trenger vi en flerdimensjonal utgave av substitusjon. Jacobi-formelen sier: uttrykk de gamle variablene ved de nye ( $X = x(U,V)$ , $Y = y(U,V)$ ), sett inn i simultantettheten, og gang med absoluttverdien av Jacobi-determinanten $|J|$ . Determinanten korrigerer for hvor mye byttet strekker eller krymper arealet — akkurat som $|g^{-1}{}'(y)|$ gjorde i én dimensjon.

Jacobi-determinanten

J = \det\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\[8pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}.

Jacobi-formelen for simultantetthet

(U,V) = g(X,Y)

Utledning (idé). For en liten rektangelbit i

(u,v)

-planet med areal

du\,dv

svarer en tilsvarende bit i

(x,y)

-planet med areal

|J|\,du\,dv

(det er nettopp hva determinanten måler — hvor mye et areal skaleres av byttet). Sannsynligheten i biten er den samme uansett koordinater, så

f_{UV}(u,v)\,du\,dv = f_{XY}(x,y)\,dx\,dy = f_{XY}(x,y)\,|J|\,du\,dv

. Del på

du\,dv

, og formelen står igjen.

Intuisjon: $|J|$ er «vekslingskursen» mellom de to arealmålene; uten den ville tettheten ikke integrere til 1 i de nye koordinatene.

✏️Eksempel 5: $U = X + Y$, $V = X$ med tegnet område

La $X$ og $Y$ være uavhengige og eksponensialfordelte med rate 1 (forventning 1), så $f_{XY}(x,y) = e^{-(x+y)}$ for $x, y > 0$ . Sett $U = X + Y$ og $V = X$ . Finn simultantettheten til $(U,V)$ , tegn integrasjonsområdet, og finn marginaltettheten til $U$ .

Inverse:

V = X

gir

X = V

;

U = X + Y

gir

Y = U - V

Jacobi: $x = v \Rightarrow \tfrac{\partial x}{\partial u} = 0,\ \tfrac{\partial x}{\partial v} = 1$ ; $y = u - v \Rightarrow \tfrac{\partial y}{\partial u} = 1,\ \tfrac{\partial y}{\partial v} = -1$ . Determinanten:

$J = (0)(-1) - (1)(1) = -1, \qquad |J| = 1.$

Simultantetthet: sett $x = v$ , $y = u - v$ inn i $f_{XY}$ :

$f_{UV}(u,v) = e^{-(v + (u-v))}\cdot 1 = e^{-u}.$

Støtte: $x > 0 \Rightarrow v > 0$ ; $y > 0 \Rightarrow u - v > 0 \Rightarrow v < u$ . Altså $0 < v < u$ — en trekantformet «kile» under linjen $v = u$ (se figuren under).

Marginal til $U$ : for fast $u > 0$ integrerer vi $v$ fra 0 til $u$ :

$f_U(u) = \int_0^u e^{-u}\,dv = u\,e^{-u}, \qquad u > 0.$

Dette er gamma $(2, 1)$ -tettheten — summen av to uavhengige eksponensiale (forventning 1) er gamma $(2,1)$ , akkurat som Erlang-resultatet i kap. 2.2.

📝Oppgave 5

La $X, Y$ være uavhengige og eksponensialfordelte med rate 1, $f_{XY}(x,y) = e^{-(x+y)}$ for $x, y > 0$ . Sett $U = X + Y$ og $V = X - Y$ .

a) Finn inversen $X, Y$ uttrykt ved $U, V$ og regn $|J|$ .
b) Finn $f_{UV}(u,v)$ (du trenger ikke støtten).

Løkke 6 — Jacobi med marginalisering: $U = X+Y$ , $V = X/(X+Y)$ (~13 min)

Den klassiske eksamensvarianten (sjanger J, V2019) kombinerer Jacobi med et forhold. Byttet $U = X + Y$ , $V = X/(X+Y)$ splitter «totalen» $U$ fra «andelen» $V$ . Etter Jacobi må du tegne området og integrere ut for å få marginalene — og her faller det ofte ut at $U$ og $V$ blir uavhengige.

✏️Eksempel 6: Total og andel — $U = X+Y$, $V = X/(X+Y)$

La $X, Y$ være uavhengige og eksponensialfordelte med rate 1, $f_{XY}(x,y) = e^{-(x+y)}$ for $x, y > 0$ . Sett $U = X + Y$ og $V = X/(X+Y)$ . Finn $f_{UV}$ , marginaltetthetene, og avgjør om $U$ og $V$ er uavhengige.

Inverse:

V = X/(X+Y) = X/U

gir

X = UV

; da er

Y = U - X = U(1 - V)

Jacobi: $x = uv \Rightarrow \tfrac{\partial x}{\partial u} = v,\ \tfrac{\partial x}{\partial v} = u$ ; $y = u(1-v) \Rightarrow \tfrac{\partial y}{\partial u} = 1 - v,\ \tfrac{\partial y}{\partial v} = -u$ . Determinanten:

$J = (v)(-u) - (u)(1 - v) = -uv - u + uv = -u, \qquad |J| = u.$

Simultantetthet: $x + y = uv + u(1-v) = u$ , så

$f_{UV}(u,v) = e^{-u}\cdot u = u\,e^{-u}, \qquad u > 0,\ 0 < v < 1.$

Støtte: $x, y > 0$ gir $u > 0$ og $0 < v < 1$ — et rektangel (uendelig langt i $u$ ). Her trenger vi ikke tegne en kile: støtten er et produktområde.

Marginaler: integrer ut hver variabel:

$f_U(u) = \int_0^1 u e^{-u}\,dv = u e^{-u}\ (\text{gamma}(2,1)); \qquad f_V(v) = \int_0^\infty u e^{-u}\,du = 1\ (\text{uniform på }[0,1]).$

Uavhengighet: $f_{UV}(u,v) = u e^{-u}\cdot 1 = f_U(u)\,f_V(v)$ for alle $(u,v)$ i støtten, og støtten er et produktområde. Altså er $U$ og $V$ uavhengige — totalen og andelen er uavhengige for eksponensiale. (Marginalen $f_V$ integrerer $\int_0^\infty u e^{-u}du = \Gamma(2) = 1$ , gammaintegralet fra kap. 2.2.)

📝Oppgave 6

La $X, Y$ være uavhengige med $X \sim \text{gamma}(2, 1)$ og $Y \sim \text{gamma}(3, 1)$ , altså $f_{XY}(x,y) = \tfrac{1}{\Gamma(2)\Gamma(3)} x^{1} y^{2} e^{-(x+y)}$ for $x, y > 0$ . Sett $U = X + Y$ og $V = X/(X+Y)$ .

a) Finn $|J|$ og $f_{UV}(u,v)$ (bruk $X = UV$ , $Y = U(1-V)$ ).
b) Vis at $U$ og $V$ er uavhengige, og identifiser marginalfordelingen til $U$ .

Typiske feil

- Gjette tettheten til $Y = g(X)$ i stedet for å gå via $F_Y$ . Metoden krever alltid CDF-steget først, derivasjon etterpå.
- Glemme å snu ulikheten for avtakende $g$ . $g(X) \le y$ blir $X \ge g^{-1}(y)$ når $g$ avtar — og halen $1 - F_X$ dukker opp. Sjekk retningen med et talleksempel.
- Glemme absoluttverdien $|J|$ i Jacobi-formelen. En negativ determinant gir en negativ «tetthet» — umulig. Bruk alltid $|J|$ .
- Derivere feil ledd i kjerneregelen. I $\tfrac{d}{dy}F_X(g^{-1}(y))$ må du gange med $\tfrac{d}{dy}g^{-1}(y)$ .
- Feil grenser etter Jacobi fordi området ikke er tegnet. Oversett den gamle støtten til de nye variablene og tegn den før du setter integrasjonsgrenser (særlig for trekant-/kileområder).
- Bruke $\chi^2_2$ der det skal være $\chi^2_1$ (eller omvendt): $(X-\mu)^2/\sigma^2$ er $\chi^2_1$ (én kvadrert normal), mens $2X/\mu$ for eksponensial er $\chi^2_2$ .

Begrepsbank — flashcards

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Kortene samler transformasjonsbegrepene til pugg og raskt oppslag.

CDF-metoden — oppskrift

Y = g(X)

Snu ulikheten

g

Deriver med kjerneregelen

f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\cdot |\tfrac{d}{dy}g^{-1}(y)|

Ikke-monoton

g

g

Z^2 \sim \chi^2_1

\chi^2_1 = \text{gamma}(\tfrac12, 2)

2X/\mu \sim \chi^2_2

E(X) = \mu

Weibull-potensløftet

\beta

Jacobi-formelen

(U,V) = g(X,Y)

Absoluttverdien i

|J|

|J|

Finn inversen først

U, V

Tegn integrasjonsområdet

x, y > 0

Marginal etter Jacobi

f_{UV}

Uavhengighet etter bytte

f_{UV}(u,v)

Tre transformasjonsteknikker

F_Y

\Phi

og symmetrien

\Phi

Monotoni og invers

g

Skalering av gamma

c\cdot\text{gamma}(\alpha, \beta) = \text{gamma}(\alpha, c\beta)

Pivotal — forvarsel

2X/\mu \sim \chi^2_2

Uniform-transformasjonen

Y = F_X(X)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

4.2 Transformasjonsteknikkene: CDF-metoden og Jacobi

Løkke 1 — CDF-metoden for voksende ggg (~9 min)

Løkke 2 — CDF-metoden for avtakende ggg: snu ulikheten (~9 min)

Løkke 3 — Kroneksempelet: Z2∼χ12Z^2 \sim \chi^2_1Z2∼χ12​ (~11 min)

Løkke 4 — Standardtransformasjonene mot gamma/χ2\chi^2χ2 (~9 min)

Løkke 5 — Jacobi-formelen for (X,Y)→(U,V)(X,Y) \to (U,V)(X,Y)→(U,V) (~14 min)

Løkke 6 — Jacobi med marginalisering: U=X+YU = X+YU=X+Y, V=X/(X+Y)V = X/(X+Y)V=X/(X+Y) (~13 min)