2.3 Drill: den egendefinerte og «eksotiske» tettheten (sjanger C)

Standardtreningen i kontinuerlig sannsynlighet: fra oppgitt tetthet til normering, CDF, median og momenter — og beredskapen mot et ukjent fordelingsnavn.

80 min

10 oppgaver

Drillden egendefinerteeksotiske» tettheten (sjanger C)

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

Brukes videre i

2.PPrøver til del 2: Kontinuerlige fordelinger og gamma-apparatet 7.1Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

Den «navngitte eksotiske» kontinuerlige fordelingen er i 6 av 10 avsluttende skoleeksamener (60 %) i STK1100-arkivet 2015–2024 — en egen UiO-sjanger: Laplace (V2016, V2024), Pareto/inntekt (V2017), Rayleigh (V2019), lognormal/alkoholforbruk (V2020), Weibull/levetid (V2021) og binormal (V2022). Nesten alltid er den inngangen til den store estimeringsoppgaven.

Dette kalles sjanger C i boka: du får servert en tetthet (eller CDF, eller MGF) for en fordeling med et ukjent eller uvant navn, og skal håndtere den med de helt vanlige teknikkene fra kap. 2.1–2.2. Poenget med drillen: et ukjent fordelingsnavn skal ikke skremme. Oppgaven gir deg alltid det du trenger — tetthet, momentformel eller integralet — og resten er standardregning.

Dette er et drillkapittel: kort teori (én løsningsoppskrift), ett gjennomregnet eksamenscase med sensornotater, og deretter mange oppgaver over ulike fordelingsfamilier. Prioritet: høyeste som standardtrening.

Forkunnskaper: Alt fra kap. 2.1 (normeringskonstant, stykkevis

F

, median ved

F(m) = p

, momenter ved integrasjon, eksponensial) og kap. 2.2 (gammaintegralet

\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x/b}dx = b^a\Gamma(a)

, gammafunksjonens regneregler).

Sist du var her — de tre grepene du bruker mest:
- Normering: $\int f = 1$ bestemmer konstanten.
- Median: løs $F(m) = \tfrac12$ (potens-, log- eller andregradslikning).
- Momenter: $E(X) = \int x f\,dx$ , ofte via gammaintegralet.

Nye fordelingsnavn (Laplace, Pareto, Rayleigh, Weibull, lognormal) forklares der de dukker opp — du trenger ikke ha sett dem før.

Løsningsoppskriften for sjanger C

Møter du en oppgitt tetthet $f(x)$ (kjent eller ukjent fordelingsnavn), kjør denne faste algoritmen — den løser praktisk talt hver sjanger C-oppgave:

1. Normer. Er tettheten gitt «proporsjonal med» noe, finn konstanten av $\int f = 1$ . Er $f$ allerede komplett, hopp over — men sjekk gjerne at den integrerer til 1.

2. Utled $F(x)$ . Integrer tettheten fra bunnen av støtten: $F(x) = \int_{A}^{x} f(t)\,dt$ . Skriv den stykkevis — 0 under støtten, formel på støtten, 1 over. (For fordelinger definert ved halen, som Pareto/Weibull, er det ofte lettere å regne $P(X > x) = 1 - F(x)$ direkte.)

3. Regn sannsynligheter fra $F$ : $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ , $P(X > x) = 1 - F(x)$ , og betingede via definisjonen.

4. Median og kvantiler: løs $F(m) = \tfrac12$ (og $F(x_p) = p$ ). Dette blir en potenslikning (Pareto), logaritmelikning (Weibull/Rayleigh) eller andregradslikning — regn nøyaktig.

5. Momenter: $E(X) = \int x f\,dx$ , $E(X^2) = \int x^2 f\,dx$ , $\text{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$ . Bruk gammaintegralet og $\Gamma$ -reglene fra kap. 2.2 der integranden har form $x^{a-1}e^{-\ldots}$ .

6. Pek fremover: kvantilfunksjonen $F^{-1}$ er råstoffet i inversjonsmetoden for simulering (kap. 7.1), og en passende potens- eller logaritmetransformasjon gjør ofte den eksotiske fordelingen om til en eksponensial/gamma (kap. 4.3) — nøkkelen til estimering senere.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: Pareto-fordelt inntekt (med sensornotater)

Årsinntekten

X

(i tusen kroner) over en minsteinntekt

k = 250

er Pareto-fordelt med tetthet

$f(x) = \frac{\theta\,k^\theta}{x^{\theta+1}}, \qquad x \ge k, \quad \theta = 2{,}5.$

a) Vis at $f$ er en gyldig tetthet og finn fordelingsfunksjonen $F$ .
b) Finn medianinntekten.
c) Finn forventet inntekt $E(X)$ .
d) Vis at $2\theta\ln(X/k)$ er kjikvadratfordelt, og angi frihetsgradene.

a) Sensornotat: start med å bekrefte at tettheten er gyldig — 1 poeng nesten gratis. Integrer fra

k

$F(x) = \int_k^x \frac{\theta k^\theta}{t^{\theta+1}}\,dt = \theta k^\theta\left[\frac{t^{-\theta}}{-\theta}\right]_k^x = k^\theta\left(k^{-\theta} - x^{-\theta}\right) = 1 - \left(\frac{k}{x}\right)^{\theta}, \quad x \ge k.$

Stykkevis: $F(x) = 0$ for $x < k$ og $F(x) = 1 - (k/x)^\theta$ for $x \ge k$ . At $F(k) = 0$ og $F(\infty) = 1$ bekrefter at tettheten er gyldig. Sensornotat: her holder det å vise $F(\infty) = 1$ .

b) Sensornotat: median = løs $F(m) = \tfrac12$ , ikke $f(m)$ .

$1 - \left(\frac{k}{m}\right)^\theta = \tfrac12 \;\Rightarrow\; \left(\frac{k}{m}\right)^\theta = \tfrac12 \;\Rightarrow\; \frac{k}{m} = 2^{-1/\theta} \;\Rightarrow\; m = k\cdot 2^{1/\theta}.$

Med $k = 250$ , $\theta = 2{,}5$ : $m = 250\cdot 2^{0{,}4} \approx 250\cdot 1{,}320 = 329{,}9$ tusen kroner.

c) Sensornotat: her kreves $\theta > 1$ for at integralet konvergerer — nevn betingelsen.

$E(X) = \int_k^\infty x\cdot\frac{\theta k^\theta}{x^{\theta+1}}\,dx = \theta k^\theta\int_k^\infty x^{-\theta}\,dx = \theta k^\theta\left[\frac{x^{1-\theta}}{1-\theta}\right]_k^\infty.$

For $\theta > 1$ går den øvre grensen mot 0, og

$E(X) = \theta k^\theta\cdot\frac{k^{1-\theta}}{\theta - 1} = \frac{\theta k}{\theta - 1} = \frac{2{,}5\cdot 250}{1{,}5} \approx 416{,}7 \text{ tusen kroner}.$

Merk: $E(X) > m$ — fordelingen er høyreskjev (rike-halen drar snittet opp).

d) Sensornotat: dette er A-differensiatoren — bruk CDF-metoden. La $Y = 2\theta\ln(X/k)$ . Siden $X \ge k$ er $Y \ge 0$ . For $y \ge 0$ :

$P(Y \le y) = P\!\left(2\theta\ln\tfrac{X}{k} \le y\right) = P\!\left(X \le k\,e^{y/(2\theta)}\right) = F\!\left(k e^{y/(2\theta)}\right).$

Sett inn $F$ : $\left(k/(k e^{y/(2\theta)})\right)^\theta = e^{-y/2}$ , så

$P(Y \le y) = 1 - e^{-y/2}.$

Det er fordelingsfunksjonen til en eksponensial med forventning 2, altså $\text{gamma}(1, 2) = \chi^2_2$ . $Y = 2\theta\ln(X/k) \sim \chi^2_2$ (2 frihetsgrader). Sensornotat: nettopp denne transformasjonen er broen til den eksakte pivotalen for $\theta$ i Del 6.

> — naturlig pausepunkt — nå har du sett hele oppskriften på ett case. Under følger drilloppgavene.

📝Oppgave 1

En variabel har tetthet $f(x) = c\,x^3$ for $0 \le x \le 1$ og 0 ellers.

a) Finn $c$ .
b) Finn $F(x)$ på støtten og medianen.

📝Oppgave 2

For tettheten $f(x) = 4x^3$ på $[0,1]$ (fra oppgave 1), finn $E(X)$ .

📝Oppgave 3

Laplace-fordelingen (dobbelt-eksponensial) har tetthet $f(x) = \tfrac{1}{2b}e^{-|x|/b}$ for alle reelle $x$ , med $b = 2$ .

a) Forklar hvorfor medianen er 0.
b) Finn $P(X > 2)$ .

📝Oppgave 4

Bølgehøyden $X$ (meter) er Rayleigh-fordelt med tetthet $f(x) = \tfrac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ , $x \ge 0$ , med $\sigma = 2$ .

a) Utled $F(x)$ .
b) Finn medianen.
c) Finn $P(X > 3)$ .

📝Oppgave 5

Levetiden $X$ (timer) til en komponent er Weibull-fordelt med $f(x) = \tfrac{\alpha}{\beta}\left(\tfrac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^\alpha}$ , $x \ge 0$ , med formparameter $\alpha = 2$ og skala $\beta = 100$ .

a) Vis at $F(x) = 1 - e^{-(x/\beta)^\alpha}$ .
b) Finn medianlevetiden.
c) Finn $P(X > 120)$ .

📝Oppgave 6

Alkoholforbruket $X$ (liter per år) er lognormalfordelt: $\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$ med $\mu = 1$ og $\sigma = 0{,}5$ . Da er $F(x) = \Phi\!\left(\tfrac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$ , der $\Phi$ er standardnormal fordelingsfunksjon.

a) Finn medianen.
b) Finn $P(X > 5)$ (bruk $\Phi(1{,}22) \approx 0{,}889$ ).

📝Oppgave 7

Formuen $X$ (millioner) er Pareto-fordelt med $f(x) = \theta k^\theta/x^{\theta+1}$ , $x \ge k$ , med $k = 1$ og $\theta = 3$ .

a) Finn $F(x)$ og medianen.
b) Finn $E(X)$ .

📝Oppgave 8

Inntekten $X$ er Pareto-fordelt med kjent minsteinntekt $k$ og ukjent formparameter $\theta$ : $F(x) = 1 - (k/x)^\theta$ , $x \ge k$ .

a) Vis at $Y = \ln(X/k)$ er eksponensialfordelt, og angi forventningen.
b) Bruk dette til å vise at $2\theta\ln(X/k) \sim \chi^2_2$ .

📝Oppgave 9

For en Weibull-variabel $X$ med $F(x) = 1 - e^{-(x/\beta)^\alpha}$ ( $\alpha, \beta$ kjent), vis at $Z = (X/\beta)^\alpha$ er eksponensialfordelt med forventning 1, og finn deretter medianen til $Z$ .

📝Oppgave 10

En stykkevis tetthet er $f(x) = c\,x(2 - x)$ for $0 \le x \le 2$ og 0 ellers.

a) Finn $c$ .
b) Finn $E(X)$ , og forklar hvorfor svaret er 1 uten å regne (symmetri).

Typiske feil

- Glemme normering før du regner videre på en «proporsjonal med»-tetthet — da blir $F$ , median og momenter alle skalert feil.
- Slurve med stykkevis $F$ . For Pareto/Weibull er det ofte lettest å regne halen $P(X > x) = 1 - F(x)$ direkte, men husk at $F = 0$ under støtten.
- Median-algebra. Potenslikning (Pareto: $(k/m)^\theta = \tfrac12$ ), logaritmelikning (Weibull/Rayleigh: $(m/\beta)^\alpha = \ln 2$ ) og andregrad — regn nøyaktig, ikke på øyemål.
- La ukjent fordelingsnavn skremme til gjetting. Navnet er uvesentlig — kjør oppskriften. Oppgaven gir alltid tettheten/CDF/integralet du trenger.
- Glemme konvergensbetingelsen i momentene: Pareto har endelig forventning bare for $\theta > 1$ og endelig varians bare for $\theta > 2$ — nevn betingelsen.

Oppskriftskort — flashcards

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Formel- og oppskriftskort for sjanger C, til rask oppslag under drilling.

Sjanger C — oppskriften

\int f = 1

Normeringskortet

f = c\,g(x)

CDF-kortet

F(x) = \int_A^x f(t)\,dt

Median-kortet

F(m) = \tfrac12

Momentkortet

E(X) = \int x f\,dx

Laplace (dobbelt-eksponensial)

f(x) = \tfrac{1}{2b}e^{-|x-\mu|/b}

Pareto (tung hale)

f(x) = \theta k^\theta/x^{\theta+1}

Pareto → gamma

\ln(X/k)

Rayleigh

f(x) = \tfrac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}

Weibull

f(x) = \tfrac{\alpha}{\beta}(x/\beta)^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^\alpha}

Weibull → eksponensial

(X/\beta)^\alpha

Lognormal

\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)

Potenstetthet

f(x) = (k+1)x^k

Konvergensbetingelser

E(X)

Ukjent fordelingsnavn — beredskap

F

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.