5.3 Drill: estimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

Andre ledd i ryggrad-drillen: utled estimatoren, vis forventningsretthet (korriger skjevhet), finn variansen — i alle arkivets fordelinger.

75 min

12 oppgaver

Drillestimatoren fra fordeling til egenskaper (sjanger G)

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Maximum likelihood og momentmetoden 2.2Gammafordelingen, kjikvadrat og Γ-verktøyet

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Punktestimering 6.3Drill: hele kjeden — fordeling → estimator → pivot → eksakt KI (+ CLT + bootstrap-SE)

Dette er andre ledd i ryggrad-drillen (drillsporet 4.3 → 5.3 → 6.3): fra en fordeling til den ferdige estimatoren med alle egenskaper. Sjanger G (estimering + eksakt KI) er i 9 av 10 sett (90 %), og denne drillen dekker G-halvdelen komplett: standard-ML pluss egenskaper (90 %), skjevhetskorreksjon via Γ (A-differensiatoren: Weibull V2021, $\sqrt{}$ -skjevhet V2018), og estimator-sammenligning (V2015, V2017, V2022).

Dette er et drillkapittel: kort løsningsoppskrift, ett gjennomregnet eksamenscase med sensornotater, og deretter mange oppgaver som roterer over arkivets fordelinger (eksponensial, Poisson, gamma, Pareto, Weibull, Rayleigh). Målet er at hele kjeden — likelihood → log → derivér → løs → egenskaper → korreksjon → sammenligning — går på autopilot under tidspress. Prioritet: høyeste.

Forkunnskaper: Alt fra kap. 5.2 (ML-ritualet, standardestimatorene), kap. 5.1 (forventningsretthet, varians, skjevhetskorreksjon), kap. 2.2 (E(Vʳ)-formelen, sum av gamma, Γ-reglene) og transformasjonene fra kap. 2.3 (

(X/\beta)^\alpha

\ln(X/k)

blir eksponensial).

Sist du var her — nøkkelformlene du bruker i hver oppgave:
- ML-ritualet: $L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ , $\ell = \ln L$ , $\ell'(\theta) = 0$ , løs for $\hat\theta$ .
- Forventningsrett? Regn $E(\hat\theta)$ ; er $E(\hat\theta) = c\theta$ med kjent $c \ne 1$ , er $\hat\theta/c$ forventningsrett (kap. 5.1).
- E(Vʳ)-formelen (kap. 2.2): $V \sim \text{gamma}(\alpha, \beta) \Rightarrow E(V^r) = \beta^r\dfrac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)}$ — motoren i skjevhetskorreksjonen.
- Sum av gamma (kap. 2.2): uavhengige $\text{gamma}(\alpha_i, \beta)$ med felles skala summerer til $\text{gamma}(\sum\alpha_i, \beta)$ ; spesielt sum av $n$ eksponensiale $= \text{gamma}(n, \cdot)$ .

Dette leddet forbereder kap. 6.1 (eksakt pivotal-KI): den gamma-fordelte pivoten du bygger her, blir intervallet der.

Løsningsoppskriften for sjanger G (estimeringshalvdelen)

Møter du «utled estimatoren for $\theta$ og undersøk egenskapene», kjør denne faste algoritmen — den løser praktisk talt hver sjanger G-oppgave:

1. Definer og skriv likelihood for ALLE observasjoner. «La $X_1, \dots, X_n$ være iid med tetthet $f(x;\theta)$ .» $L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$ .

2. Ta logaritmen. $\ell(\theta) = \ln L = \sum_{i=1}^n \ln f(x_i;\theta)$ — produkt blir sum.

3. Derivér. $\ell'(\theta)$ ; ledd uten $\theta$ forsvinner.

4. Løs fullstendig $\ell'(\theta) = 0$ for $\hat\theta$ .

5. Forventningsrett? Regn $E(\hat\theta)$ . Er den skjev med kjent faktor $E(\hat\theta) = c\theta$ — korriger via Γ/E(Vʳ): identifiser fordelingen til en passende funksjon av dataene (ofte gamma via transformasjon fra kap. 4.3/2.3), bruk E(Vʳ) til å finne $c$ , og oppgi $\hat\theta/c$ .

6. Varians og SE. $\text{Var}(\hat\theta)$ ; estimert standardfeil ved å sette inn $\hat\theta$ .

7. Flere kandidater? Sjekk forventningsretthet og varians for hver, og velg den forventningsrette med lavest varians — begrunn i begge kriterier.

> Merk parametriseringen for eksponensial hver gang: rate $f = \lambda e^{-\lambda x}$ gir $\hat\lambda = 1/\bar X$ , forventning $f = \tfrac1\mu e^{-x/\mu}$ gir $\hat\mu = \bar X$ .

✏️Gjennomregnet eksamenscase: Weibull-levetid med skjevhetskorreksjon (med sensornotater)

Levetidene

X_1, \dots, X_n

til komponenter er iid Weibull med kjent formparameter

\alpha

og ukjent skalaparameter

\beta

$f(x;\beta) = \frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(x/\beta)^\alpha}, \qquad x \ge 0.$

a) Utled ML-estimatoren $\hat\beta$ .
b) Vis at $n(\hat\beta/\beta)^\alpha \sim \text{gamma}(n, 1)$ .
c) Bruk E(Vʳ)-formelen til å avgjøre om $\hat\beta$ er forventningsrett, og finn en forventningsrett korreksjon.
d) Tallverdi for korreksjonsfaktoren når $\alpha = 2$ og $n = 8$ .

a) Sensornotat: hele regnekjeden må vises — sensorkrav 5.

$L(\beta) = \prod_{i=1}^n \frac{\alpha}{\beta}\left(\frac{x_i}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-(x_i/\beta)^\alpha}, \qquad \ell(\beta) = n\ln\alpha - n\alpha\ln\beta + (\alpha-1)\sum\ln x_i - \beta^{-\alpha}\sum x_i^\alpha.$

Deriver: $\ell'(\beta) = -\dfrac{n\alpha}{\beta} + \alpha\beta^{-\alpha-1}\sum x_i^\alpha = 0$ . Del på $\alpha$ og gang med $\beta^{\alpha+1}$ : $-n\beta^\alpha + \sum x_i^\alpha = 0$ , altså

$\hat\beta = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^\alpha\right)^{1/\alpha}.$

b) Sensornotat: dette er transformasjonskoblingen (kap. 2.3/4.3) — A-poeng. Fra kap. 2.3: $(X_i/\beta)^\alpha \sim$ eksponensial med forventning 1, altså $\text{gamma}(1,1)$ . Nå er

$n\left(\frac{\hat\beta}{\beta}\right)^\alpha = n\cdot\frac{\hat\beta^\alpha}{\beta^\alpha} = n\cdot\frac{\tfrac1n\sum x_i^\alpha}{\beta^\alpha} = \sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\beta}\right)^\alpha.$

Dette er en sum av $n$ uavhengige $\text{gamma}(1,1)$ , som (felles skala 1, kap. 2.2) er $\text{gamma}(n, 1)$ . Altså $W := n(\hat\beta/\beta)^\alpha \sim \text{gamma}(n, 1)$ .

c) Sensornotat: her skiller topbesvarelsen seg — E(Vʳ) på $W$ . Fra (b): $\hat\beta = \beta\,(W/n)^{1/\alpha} = \beta\,n^{-1/\alpha}W^{1/\alpha}$ . Ta forventning og bruk E(Vʳ)-formelen med $V = W \sim \text{gamma}(n, 1)$ , $r = 1/\alpha$ :

$E(W^{1/\alpha}) = 1^{1/\alpha}\frac{\Gamma(n + 1/\alpha)}{\Gamma(n)} = \frac{\Gamma(n + 1/\alpha)}{\Gamma(n)}.$

Dermed

$E(\hat\beta) = \beta\,n^{-1/\alpha}\frac{\Gamma(n + 1/\alpha)}{\Gamma(n)} = c\,\beta, \qquad c = n^{-1/\alpha}\frac{\Gamma(n + 1/\alpha)}{\Gamma(n)}.$

Siden $c \ne 1$ (for $\alpha \ne 1$ ) er $\hat\beta$ skjev. Skjevhetskorreksjon (kap. 5.1): $\hat\beta/c$ er forventningsrett for $\beta$ . Kontroll: ved $\alpha = 1$ (eksponensial) er $c = n^{-1}\Gamma(n+1)/\Gamma(n) = n^{-1}\cdot n = 1$ — da er $\hat\beta = \bar X$ allerede forventningsrett, som ventet.

d) Med $\alpha = 2$ , $n = 8$ : $c = 8^{-1/2}\dfrac{\Gamma(8{,}5)}{\Gamma(8)}$ . Her er $\Gamma(8) = 7! = 5040$ og $\Gamma(8{,}5) = 7{,}5\cdot 6{,}5\cdots 0{,}5\cdot\sqrt\pi \approx 14034{,}4$ , så $\dfrac{\Gamma(8{,}5)}{\Gamma(8)} \approx 2{,}7846$ og $c = \dfrac{2{,}7846}{\sqrt 8} = \dfrac{2{,}7846}{2{,}8284} \approx 0{,}9845$ . ML-estimatoren treffer altså i snitt $98{,}45\,\%$ av $\beta$ ; den forventningsrette korreksjonen er $\hat\beta/0{,}9845$ .

> — naturlig pausepunkt — du har nå sett hele kjeden på ett case: ML → gamma-pivot → E(Vʳ)-korreksjon. Oppgavene under roterer dette over arkivets fordelinger.

Drilloppgaver (eksamensnivå)

Roterer over arkivets fordelinger. Minst tre oppgaver krever skjevhetskorreksjon via Γ, minst to er estimator-sammenligning.

📝Oppgave 1

Ventetidene $X_1, \dots, X_n$ er iid eksponensiale i rateform $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ .

a) Utled ML-estimatoren $\hat\lambda$ .

b) Hva blir estimatoren hvis oppgaven i stedet bruker forventningsform $f(x) = \tfrac1\mu e^{-x/\mu}$ ?

📝Oppgave 2

Antall registrerte skjelvinger per døgn er iid $\text{Poisson}(\lambda)$ , observert over $n$ døgn.

a) Utled $\hat\lambda$ .

b) Vis at $\hat\lambda$ er forventningsrett, og finn $\text{Var}(\hat\lambda)$ .

📝Oppgave 3

Bruddstyrkene $X_1, \dots, X_n$ er iid gammafordelte med kjent form $\alpha = 3$ og ukjent skala $\beta$ .

a) Utled $\hat\beta$ .

b) Vis at $\hat\beta$ er forventningsrett, og finn $\text{Var}(\hat\beta)$ .

📝Oppgave 4

Inntektene $X_1, \dots, X_n$ er iid Pareto med kjent minsteverdi $k$ og ukjent form $\theta$ : $F(x) = 1 - (k/x)^\theta$ , $x \ge k$ . ML-estimatoren er $\hat\theta = n/\sum\ln(X_i/k)$ (fra kap. 5.2).

a) Vis at $\sum_{i=1}^n \ln(X_i/k) \sim \text{gamma}(n, 1/\theta)$ .

b) Bruk E(Vʳ)-formelen (med $r = -1$ ) til å vise at $\hat\theta$ er skjev, og finn en forventningsrett korreksjon.

📝Oppgave 5

Levetidene er iid Weibull med kjent form $\alpha$ og ukjent skala $\beta$ ; ML-estimatoren er $\hat\beta = (\tfrac1n\sum X_i^\alpha)^{1/\alpha}$ , og $W = n(\hat\beta/\beta)^\alpha \sim \text{gamma}(n,1)$ (fra caset over).

a) Vis at $E(\hat\beta) = \beta\,n^{-1/\alpha}\Gamma(n + 1/\alpha)/\Gamma(n)$ .

b) Regn ut korreksjonsfaktoren for $\alpha = 3$ , $n = 5$ , og oppgi den forventningsrette estimatoren. (Bruk $\Gamma(5) = 24$ , $\Gamma(5{,}333) \approx 40{,}13$ .)

📝Oppgave 6

Bølgehøydene $X_1, \dots, X_n$ er iid Rayleigh med tetthet $f(x;\sigma^2) = \tfrac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ , $x \ge 0$ (parameter $\theta = \sigma^2$ ). Utled ML-estimatoren for $\sigma^2$ .

📝Oppgave 7

Levetidene er iid eksponensiale i rateform $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ ; ML-estimatoren er $\hat\lambda = n/\sum X_i$ .

a) Vis at $\sum_{i=1}^n X_i \sim \text{gamma}(n, 1/\lambda)$ .

b) Bruk E(Vʳ)-formelen til å vise at $\hat\lambda$ er skjev, og finn en forventningsrett korreksjon av $\hat\lambda$ .

📝Oppgave 8

Levetidene $X_1, \dots, X_n$ ( $n \ge 3$ ) er iid eksponensiale i forventningsform ( $E(X_i) = \mu$ , $\text{Var}(X_i) = \mu^2$ ). To estimatorer for $\mu$ foreslås: $\hat\mu_1 = \bar X$ og $\hat\mu_2 = \tfrac12(X_1 + X_2)$ .

a) Vis at begge er forventningsrette.

b) Finn variansene og velg med begrunnelse.

📝Oppgave 9

Antall feil per enhet er iid $\text{Poisson}(\lambda)$ , $n = 4$ enheter. To estimatorer for $\lambda$ : $\hat\lambda_1 = \bar X = \tfrac14(X_1+X_2+X_3+X_4)$ og $\hat\lambda_2 = \tfrac12(X_1 + X_2)$ (bruk bare de to første).

a) Vis at begge er forventningsrette.

b) Finn variansene og velg.

📝Oppgave 10

Konsentrasjonene $X_1, \dots, X_n$ er iid gammafordelte med kjent form $\alpha = 2$ og ukjent skala $\beta$ , der $E(X) = \alpha\beta = 2\beta$ .

a) Finn momentestimatoren for $\beta$ .

b) Sammenlign med ML-estimatoren $\hat\beta_{\text{ML}} = \bar X/\alpha$ .

📝Oppgave 11

Målingene $X_1, \dots, X_n$ er iid $N(\mu, \sigma^2)$ , begge parametre ukjente. ML gir $\hat\sigma^2 = \tfrac1n\sum(X_i - \bar X)^2$ .

a) Er $\hat\sigma^2$ forventningsrett for $\sigma^2$ ?

b) Gi den forventningsrette estimatoren og forklar skillet.

📝Oppgave 12

Inntektene er iid Pareto med kjent $k$ og ukjent $\theta$ ; ML-estimatoren er $\hat\theta = n/\sum\ln(X_i/k)$ . Medianinntekten er $m = k\cdot 2^{1/\theta}$ (kap. 2.3).

a) Bruk invariansprinsippet til å gi ML-estimatoren for medianen.

b) Er median-estimatoren forventningsrett? (Kort begrunnelse.)

Typiske feil

- Anta forventningsretthet uten å regne. Mange ML-estimatorer (Pareto- $\hat\theta$ , Weibull- $\hat\beta$ , eksponensial-rate- $\hat\lambda$ , ML-varians) er skjeve. Regn alltid $E(\hat\theta)$ — ikke gjett.
- Glemme Γ-faktoren. Når estimatoren er en potens/rot/invers av en gamma-fordelt størrelse, kvantifiseres skjevheten med E(Vʳ) og korrigeres med $\Gamma$ -forholdet. Å hoppe over dette koster A-poengene.
- Feil frihetsgrad/skala i gamma-pivoten. Sum av $n$ eksponensiale (rate $\theta$ ) er $\text{gamma}(n, 1/\theta)$ — sjekk at skalaen stemmer før du bruker E(Vʳ). Weibull gir $\text{gamma}(n, 1)$ , Pareto/eksponensial $\text{gamma}(n, 1/\theta)$ .
- Velge estimator uten begrunnelse i begge kriterier. Sammenlign forventningsretthet OG varians; skriv hvorfor den valgte vinner.
- Blande eksponensialens parametriseringer. Rate gir $\hat\lambda = 1/\bar X$ , forventning gir $\hat\mu = \bar X$ — les oppgavens definisjon hver gang.
- Forveksle estimator og estimat. Estimatoren skrives med store $X_i$ ; et innsatt tall er et estimat (sensorkrav 6).

Oppskriftskort — flashcards

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing. Formel- og oppskriftskort for sjanger G, til rask oppslag under drilling.

Sjanger G — oppskriften

L(\theta) = \prod f(x_i;\theta)

Likelihood-kortet

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)

Score-kortet

\ell'(\theta) = 0

Forventningsrett-sjekk-kortet

E(\hat\theta)

Skjevhetskorreksjon via E(Vʳ) — kortet

\propto V^r

Gamma-pivot-kortet

n

Weibull-ML-kortet

\hat\beta = (\tfrac1n\sum X_i^\alpha)^{1/\alpha}

Pareto-ML-kortet

\hat\theta = n/\sum\ln(X_i/k)

Estimator-sammenligning-kortet

1/n

Eksponensial-parametrisering-kortet

f = \lambda e^{-\lambda x}

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.