Tilbake
6.2
Alle fag for Høyskole

6.2 CLT-tilnærmet KI og eksakt-vs-Wald-dekningen

Det CLT-baserte Wald-intervallet som alternativ — og hvorfor det eksakte pivotal-intervallet foretrekkes ved lav n (dekning 95,9 % mot 91,1 %).

55 min
5 oppgaver
CLT-tilnærmet KIeksakt-vs-Wald-dekningen
Din fremgang i kapitlet
0 / 5 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: kap. 6.1 (eksakt pivotal-KI — som dette kapitlet sammenligner mot). Momentregnereglene er fra kap. 1.2, estimatoregenskapene fra kap. 5.1.

Sist du var her — det eksakte intervallet du nå får et alternativ til:

Eksakt (fra 6.1):μ∈[2∑xiχ2n,α/22, 2∑xiχ2n,1−α/22](asymmetrisk).\textbf{Eksakt (fra 6.1):}\quad \mu \in \left[\frac{2\sum x_i}{\chi^2_{2n,\alpha/2}},\ \frac{2\sum x_i}{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}\right] \quad (\text{asymmetrisk}).

Dette intervallet har dekning nøyaktig lik konfidensgraden, uansett nn. I dette kapitlet bygger vi det enklere Wald-intervallet basert på CLT, og ser presist når det svikter.

Ikke alle estimatorer har en pen eksakt pivot. Da er redningen sentralgrenseteoremet: for stor nn er en gjennomsnittsbasert estimator tilnærmet normalfordelt, og vi kan legge et symmetrisk normalintervall rundt den. Det gir Wald-intervallet — arbeidshesten i praktisk statistikk.

Men «stor nn» er nøkkelen. Vi bygger tre læringsløkker: (1) CLT presist formulert, (2) Wald-intervallet, og (3) den avgjørende sammenligningen eksakt vs. Wald via dekningsgrad — der vi ser med egne (simulerte) tall hvorfor det eksakte intervallet vinner ved lav nn. Sett av ca. 55 minutter.

Løkke 1 — Sentralgrenseteoremet presist (~18 min)

Sentralgrenseteoremet (CLT)
Gjennomsnittet av mange uavhengige, likt fordelte målinger er tilnærmet normalfordelt — uansett formen på den underliggende fordelingen. Presist: for X1,…,XnX_1,\ldots,X_n som er uavhengige og identisk fordelte med E(Xi)=μE(X_i)=\mu og endelig varians Var(Xi)=σ2<∞\text{Var}(X_i)=\sigma^2 < \infty, gjelder

Xˉ−μσ/n → tilnærmet  N(0,1)for stor n.\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \ \xrightarrow{\ \text{tilnærmet}\ }\ N(0,1) \quad \text{for stor } n.

Alle tre forutsetningene må med når du formulerer teoremet: uavhengige, identisk fordelte, og endelig varians. Utelater du én, er formuleringen ufullstendig (sensortrekk). Merk at det er den standardiserte størrelsen som blir N(0,1)N(0,1)-fordelt — ikke Xˉ\bar X selv.

Standardisering av gjennomsnittet
Å trekke fra forventningen og dele på standardavviket, slik at størrelsen får forventning 0 og varians 1 — i symboler:

Z=Xˉ−μσ/n,E(Z)=0, Var(Z)=1.Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n}, \qquad E(Z)=0,\ \text{Var}(Z)=1.

Her er σ/n\sigma/\sqrt n standardavviket til Xˉ\bar X (standardfeilen), siden Var(Xˉ)=σ2/n\text{Var}(\bar X)=\sigma^2/n (fra kap. 5.1). CLT sier at nettopp denne standardiserte størrelsen nærmer seg N(0,1)N(0,1).

✏️Eksempel 1: CLT-formulering og en tilnærmet sannsynlighet

En maskin fyller poser med en forventet vekt μ=500\mu=500 g og standardavvik σ=20\sigma=20 g per pose (fordelingen er ukjent, men har endelig varians). n=100n=100 poser veies.

a) Formuler CLT for gjennomsnittsvekten Xˉ\bar X, med alle forutsetninger.
b) Finn tilnærmet P(Xˉ>503)P(\bar X > 503).

a) Posevektene X1,…,X100X_1,\ldots,X_{100} antas uavhengige og identisk fordelte med E(Xi)=500E(X_i)=500 og endelig varians σ2=400\sigma^2 = 400. Da er, ved CLT, (Xˉ−500)/(20/100)(\bar X - 500)/(20/\sqrt{100}) tilnærmet N(0,1)N(0,1) — altså er Xˉ\bar X tilnærmet N(500, 202/100)=N(500, 4)N(500,\ 20^2/100) = N(500,\ 4) (standardfeil 2 g).

b) Standardiser: P(Xˉ>503)=P ⁣(Z>503−5002)=P(Z>1,5)≈1−Φ(1,5)=1−0,9332=0,0668.P(\bar X > 503) = P\!\left(Z > \frac{503-500}{2}\right) = P(Z > 1{,}5) \approx 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668.
Altså ca. 6,7 % sjanse for at snittvekten overstiger 503 g.

📝Oppgave 1

En student formulerer CLT slik: «Gjennomsnittet Xˉ\bar X er tilnærmet normalfordelt for stor nn.» Hvilke tre forutsetninger mangler i den presise formuleringen, og hva er det egentlig som blir N(0,1)N(0,1)?

Løkke 2 — Wald-intervallet (~17 min)

ML-estimatorens tilnærmede normalitet
For stor nn er en maximum-likelihood-estimator tilnærmet normalfordelt om sann parameter — i symboler:

θ^ → tilnærmet  N(θ, Var(θ^))for stor n.\hat\theta \ \xrightarrow{\ \text{tilnærmet}\ }\ N\big(\theta,\ \text{Var}(\hat\theta)\big) \quad \text{for stor } n.

Dette er en følge av CLT (ML-estimatoren er ofte et gjennomsnitt eller en glatt funksjon av ett). Resultatet lar oss legge et normalintervall rundt θ^\hat\theta — men gjelder bare tilnærmet, og best når nn er stor.

Estimert standardfeil
Standardavviket til estimatoren, der ukjente parametre er byttet ut med sine estimater — i symboler:

SE^=Var^(θ^).\widehat{\text{SE}} = \sqrt{\widehat{\text{Var}}(\hat\theta)}.

For eksponensiell forventning er Var(Xˉ)=μ2/n\text{Var}(\bar X)=\mu^2/n, så SE(μ^)=μ/n\text{SE}(\hat\mu)=\mu/\sqrt n; siden μ\mu er ukjent brukes SE^=μ^/n=Xˉ/n\widehat{\text{SE}} = \hat\mu/\sqrt n = \bar X/\sqrt n. At standardfeilen selv avhenger av parameteren er nettopp grunnen til at Wald-intervallet sliter ved lav nn (løkke 3).

Wald-intervallet (CLT-basert KI)
Et symmetrisk konfidensintervall bygget på at estimatoren er tilnærmet normalfordelt — i symboler:

θ^±zα/2⋅SE^,[θ^−zα/2SE^, θ^+zα/2SE^].\hat\theta \pm z_{\alpha/2}\cdot \widehat{\text{SE}}, \qquad \big[\hat\theta - z_{\alpha/2}\widehat{\text{SE}},\ \hat\theta + z_{\alpha/2}\widehat{\text{SE}}\big].

Her er zα/2z_{\alpha/2} normalkvantilen (f.eks. z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96 for 95 %). Intervallet er alltid symmetrisk om θ^\hat\theta — i motsetning til det asymmetriske eksakte intervallet fra kap. 6.1. Det er enkelt å regne, men bygger på en tilnærmelse som krever stor nn.

✏️Eksempel 2: Wald-intervall for eksponensiell forventning

Tjuefem levetider antas eksponensialfordelte i forventningsform med forventning μ\mu; observert ∑xi=160\sum x_i = 160, så μ^=6,4\hat\mu = 6{,}4.

a) Finn den estimerte standardfeilen SE^(μ^)\widehat{\text{SE}}(\hat\mu).
b) Konstruer et 95 % Wald-intervall for μ\mu.

a) For eksponensial er Var(Xˉ)=μ2/n\text{Var}(\bar X)=\mu^2/n, så SE(μ^)=μ/n\text{SE}(\hat\mu)=\mu/\sqrt n. Estimert: SE^=μ^/n=6,4/25=6,4/5=1,28\widehat{\text{SE}} = \hat\mu/\sqrt n = 6{,}4/\sqrt{25} = 6{,}4/5 = 1{,}28.

b) Med z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96:
μ^±z0,025SE^=6,4±1,96⋅1,28=6,4±2,51=[3,89, 8,91].\hat\mu \pm z_{0{,}025}\widehat{\text{SE}} = 6{,}4 \pm 1{,}96\cdot 1{,}28 = 6{,}4 \pm 2{,}51 = [3{,}89,\ 8{,}91].

Intervallet er symmetrisk om 6,4 — til forskjell fra det eksakte pivotal-intervallet, som ville vært asymmetrisk (og noe bredere oppover).

📝Oppgave 2

En estimator har θ^=12,0\hat\theta = 12{,}0 og estimert standardfeil SE^=1,5\widehat{\text{SE}} = 1{,}5. Konstruer et 95 % Wald-intervall for θ\theta (z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96).

Løkke 3 — Eksakt vs. Wald: dekningsgraden avgjør (~20 min)

Dekningsgrad (coverage)
Den faktiske andelen gjentatte konfidensintervaller som inneholder sann parameter — til forskjell fra den tilsiktede konfidensgraden:

dekningsgrad=P(intervallet dekker sann θ).\text{dekningsgrad} = P\big(\text{intervallet dekker sann } \theta\big).

For et eksakt intervall er dekningsgraden lik konfidensgraden (1−α1-\alpha) per konstruksjon. For et tilnærmet (Wald) intervall kan den avvike — særlig ved lav nn, der den ofte er lavere enn tilsiktet (undercoverage). Dekning måles med en simuleringsstudie (kobling kap. 7.2).

Eksakt vs. Wald — dekningspoenget
Når standardavviket til estimatoren avhenger av parameteren, har det eksakte pivotal-intervallet bedre dekning ved lav/moderat nn enn Wald-intervallet:

lav n:dekningeksakt≈1−α > dekningWald.\text{lav } n:\quad \text{dekning}_{\text{eksakt}} \approx 1-\alpha \ >\ \text{dekning}_{\text{Wald}}.

Konkret V2024-illustrasjon (eksponensiell modell, nominelt 95 %, n=10n=10): eksakt dekket 95,9 %, Wald 91,1 %. Ved n=100n=100 nærmet begge seg 94 %. Wald godtas som alternativ, men er aldri «det beste» for lite utvalg — og et smalere Wald-intervall er ikke «riktigere», det bare undervurderer usikkerheten.

Simuleringen bak tallene

Dekningstallene er ikke tatt ut av lufta — de kommer fra en dekningssimulering som du selv kan kjøre (fullt apparat i kap. 7.2). Ideen: trekk nn eksponensiale observasjoner med kjent sann μ\mu, bygg begge intervallene, og tell hvor ofte de dekker sann μ\mu. Gjentar vi 1000 ganger for n=10n=10 (nominelt 95 %):

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(13)
n, mu, alpha, B = 10, 5.0, 0.05, 1000
z = stats.norm.ppf(1 - alpha/2)
chi_lo = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, 2*n)   # stor kvantil -> nedre grense
chi_hi = stats.chi2.ppf(alpha/2, 2*n)       # liten kvantil -> ovre grense
cov_exact = cov_wald = 0
for _ in range(B):
    x = rng.exponential(mu, size=n)
    s, mhat = x.sum(), x.mean()
    # eksakt pivotal-KI (fra kap. 6.1)
    if 2*s/chi_lo <= mu <= 2*s/chi_hi:
        cov_exact += 1
    # Wald-KI: SE = mhat/sqrt(n)
    se = mhat/np.sqrt(n)
    if mhat - z*se <= mu <= mhat + z*se:
        cov_wald += 1
print(cov_exact, cov_wald)   # -> 959 911

Utfallet er 959 (95,9 %) for det eksakte og 911 (91,1 %) for Wald. Det eksakte treffer sitt tilsiktede 95 %-nivå (avviket 95,9 % er ren simuleringsstøy — 1000 gjentakelser gir usikkerhet på ca. ±0,7\pm 0{,}7 prosentpoeng), mens Wald underdekker klart. Øker vi til n=100n=100, nærmer begge seg 94 %, og forskjellen forsvinner — CLT-tilnærmingen blir god.

✏️Eksempel 3: tolke en dekningsstudie

I en simuleringsstudie med 1000 gjentakelser og n=10n=10 (nominelt 95 %) dekket det eksakte intervallet sann μ\mu 959 ganger og Wald-intervallet 911 ganger.

a) Hvilket intervall foretrekker du for n=10n=10, og hvorfor?
b) Hva skjer når nn øker til 100?
c) Er det smalere (Wald) intervallet «riktigere»?

a) Jeg foretrekker det eksakte intervallet. Det treffer sitt tilsiktede 95 %-nivå (95,9 % er simuleringsstøy rundt 95 %), mens Wald bare dekker 91,1 % — det underdekker, altså gir en falsk følelse av presisjon. Fordi standardfeilen μ/n\mu/\sqrt n selv avhenger av μ\mu, er normaltilnærmingen dårlig ved lav nn.

b) Ved n=100n=100 blir CLT-tilnærmingen god, og begge intervallene dekker ca. 94 % — forskjellen forsvinner. For store utvalg er Wald et fullgodt, enklere alternativ.

c) Nei. Et smalere intervall er ikke «riktigere» hvis det underdekker — det undervurderer usikkerheten. Bredden må stå i forhold til den faktiske dekningen. Det asymmetriske eksakte intervallet er korrekt.

📝Oppgave 3

For n=8n=8 eksponensiale observasjoner med μ^=5\hat\mu = 5 og ∑xi=40\sum x_i = 40 er det eksakte 95 %-intervallet [2,77, 11,58][2{,}77,\ 11{,}58] (bredde 8,81) og Wald-intervallet [1,54, 8,46][1{,}54,\ 8{,}46] (bredde 6,93). Wald er smalest. Forklar hvorfor det likevel ikke er å foretrekke ved denne nn-en.

📝Oppgave 4

Forklar med egne ord hvorfor det er uforsvarlig å bruke et CLT-basert Wald-intervall på et lite, tydelig skjevt datasett (f.eks. n=6n=6 levetider) uten forbehold — og hva du heller bør gjøre.

📝Oppgave 5

Tjuefem eksponensiale observasjoner gir μ^=6,4\hat\mu = 6{,}4, ∑xi=160\sum x_i = 160.

a) Gi både det eksakte 95 %-KI-et og Wald-intervallet. Oppgitt: χ50,0,0252=71,42\chi^2_{50,0{,}025}=71{,}42, χ50,0,9752=32,36\chi^2_{50,0{,}975}=32{,}36, z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96.
b) Sammenlign form og bredde, og si hvilket du melder som hovedsvar for n=25n=25.

Begrepsbank — formelkort

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

CLT — tre-forutsetnings-kortet
CLT presist: for X1,…,XnX_1,\ldots,X_n uavhengige, identisk fordelte, med endelig varians σ2\sigma^2, er

Xˉ−μσ/n→tilnærmetN(0,1).\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \xrightarrow{\text{tilnærmet}} N(0,1).

Alle tre stikkordene må med, ellers er formuleringen ufullstendig.

Wald-formel-kortet
Det CLT-baserte konfidensintervallet:

θ^±zα/2⋅SE^.\hat\theta \pm z_{\alpha/2}\cdot\widehat{\text{SE}}.

Symmetrisk om θ^\hat\theta, enkelt å regne, men hviler på normaltilnærming — godt først når nn er stor.

z-kvantil-kortet

Normalkvantilene (øvre haleareal) fra formelsamlingen: z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96 (95 %), z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 (90 %), z0,005=2,576z_{0{,}005}=2{,}576 (99 %). Brukes i Wald: bredere intervall ved høyere konfidensgrad.

Dekningstall-kortet (95,9 vs. 91,1)

V2024-illustrasjonen (eksponensiell, nominelt 95 %): for n=10n=10 dekket eksakt 95,9 %, Wald 91,1 %; for n=100n=100 dekket begge ca. 94 %. Konklusjon: eksakt foretrekkes ved lav nn; forskjellen forsvinner ved stor nn.

Når velge eksakt vs. Wald — kortet
Lav/moderat nn og pivot finnes: velg eksakt (korrekt dekning). Stor nn: Wald er fullgodt og enklere. Ingen pivot: Wald/CLT er redningen, med forbehold om at nn må være stor nok.
Standardfeil avhenger av parameteren — kortet

For eksponensial er SE(μ^)=μ/n\text{SE}(\hat\mu)=\mu/\sqrt n — den avhenger selv av μ\mu. Nettopp derfor svikter Wald-intervallet ved lav nn: normaltilnærmingen får ikke tak i den parameteravhengige skjevheten, mens den eksakte pivoten gjør det.

Undercoverage-kortet
Underdekning betyr at intervallet dekker sann parameter sjeldnere enn den tilsiktede konfidensgraden (Wald: 91,1 % mot nominelt 95 % ved n=10n=10). Et underdekkende intervall gir falsk presisjon — bredden er for liten.
Symmetrisk vs. asymmetrisk — kortet

Wald er symmetrisk om θ^\hat\theta (±zSE^\pm z\widehat{\text{SE}}). Det eksakte χ2\chi^2-intervallet er asymmetrisk (høyreskjevt). Ved lav nn er den asymmetriske formen mer korrekt — symmetrien er en av grunnene til at Wald bommer.

CLT gjelder standardisert størrelse — kortet

Det er (Xˉ−μ)/(σ/n)(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n) som blir N(0,1)N(0,1), ikke Xˉ\bar X selv. Xˉ\bar X blir tilnærmet N(μ, σ2/n)N(\mu,\ \sigma^2/n). Standardfeilen er σ/n\sigma/\sqrt n.

Konfidensgrad vs. dekningsgrad — kortet
Konfidensgrad 1−α1-\alpha: nivået vi sikter mot. Dekningsgrad: den faktiske andelen intervaller som dekker sann θ\theta. For eksakte intervaller er de like; for tilnærmede (Wald) kan dekningen være lavere ved lav nn.
Wald godtas som alternativ — kortet

På eksamen: presenter det eksakte som hovedsvar der en pivot finnes, og nevn Wald som et alternativ. Skriv aldri at Wald er «best» for lite utvalg — det er sensorens eksplisitte poeng (V2024).

Dekningssimulering-oppsettet — kortet

Mål dekning: trekk nn observasjoner med kjent sann θ\theta, bygg intervallet, tell treff, gjenta BB ganger. Andelen treff ≈\approx dekningsgraden. Fullt apparat i kap. 7.2.

CLT-forbeholdet — kortet

Bruk aldri CLT/Wald på liten eller tydelig skjev nn uten å si det: «for n=6n=6 er normaltilnærmingen usikker». Angi forbeholdet, og foretrekk eksakt der en pivot finnes.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.