0% fullført
Kapittel 9.4
R1Prosjekt: Optimering
Bruk derivasjon til å løse praktiske optimeringsproblemer.
Hva er optimering?
Optimering handler om å finne den beste løsningen på et problem. I matematikk betyr det ofte å finne maksimum eller minimum av en funksjon.
Eksempler på optimeringsproblemer:
- •Økonomi: Maksimere profitt eller minimere kostnader
- •Produksjon: Finne den mest effektive måten å produsere varer på
- •Geometri: Finne største volum eller minste overflateareal
- •Fysikk: Finne korteste tid eller laveste energiforbruk
- Sett opp en funksjon som beskriver det du vil optimere
- Finn den deriverte av funksjonen
- Finn ekstremalpunkter (hvor f'(x) = 0)
- Sjekk om det er maksimum eller minimum
- Svar på problemet med konkrete verdier
Eksempel: Maksimere areal av rektangel
Problem: Du har 40 meter gjerde og skal lage et rektangulært område. Hva er det største arealet du kan lage?
La x = bredden. Da er lengden = (40 - 2x) / 2 = 20 - x.
Arealet er: A(x) = x · (20 - x) = 20x - x²
Løsningen er at rektangelet skal være en kvadrat med sider på 10 meter, som gir et areal på 100 m².
To positive tall x og y skal ha sum 50 (altså x + y = 50).
Uttrykk produktet P = x · y som en funksjon av bare x. Hint: Siden x + y = 50, er y = 50 - x.
Finn hvilket x som gir maksimalt produkt.
Hva er de to tallene og hva er produktet deres?
En åpen boks skal lages av et rektangulært stykke papp som er 24 cm × 18 cm. Man klipper ut kvadrater i hjørnene og bretter opp sidene. Hvis siden i kvadratene er x cm, blir volumet: V(x) = x · (24 - 2x) · (18 - 2x)
Lag funksjonen V(x).
Finn hvilket x som gir maksimalt volum (søk i intervallet [0, 9]).
Hva er det maksimale volumet?
Et firma produserer x enheter av et produkt. Profitten er gitt ved: P(x) = -0.01x² + 8x - 100 der P er profitt i kroner og x er antall enheter.
Finn hvor mange enheter firmaet skal produsere for å maksimere profitten.
Hva er den maksimale profitten?
Hvor stor er profitten hvis de produserer 300 enheter? 500 enheter?
Oppsummering - Kapittel 9
✓Numerisk derivasjon gir tilnærmede verdier for f'(x)
✓Ekstremalpunkter finnes ved å søke etter f'(x) = 0
✓Newtons metode finner nullpunkter raskt og presist
✓Optimering bruker derivasjon til å løse praktiske problemer