Total fremgang
0%
11.1: Øvelser bestått0 av 0

0% fullført

Lærebok/Kapittel 11.1
R2 - Integrasjon

Kapittel 11.1

Numerisk integrasjon

I dette kapitlet skal du lære hvordan du kan beregne arealet under en kurve ved hjelp av numeriske metoder og Riemann-summer.

Arealet under en kurve

Når vi skal finne arealet under en funksjonskurve, bruker vi integrasjon. I matematikk kan vi ofte bruke antiderivasjon, men med Python kan vi bruke numerisk integrasjon - det vil si at vi tilnærmer arealet ved hjelp av beregninger.

Integralnotasjon

Vi skriver integralet fra a til b av funksjonen f(x) som:

∫ab f(x) dx

Dette betyr: arealet mellom kurven y = f(x) og x-aksen, fra x = a til x = b.

Riemann-sum: Dele i rektangler

Den enkleste måten å tilnærme et integral på er å dele området under kurven inn i n rektangler med lik bredde. Dette kalles en Riemann-sum.

Slik fungerer det

  1. Del intervallet [a, b] inn i n like brede deler
  2. Bredden på hvert rektangel: Δx = (b - a) / n
  3. Høyden bestemmes av funksjonsverdien f(x)
  4. Summer arealet av alle rektanglene

Venstre og høyre sum

Det finnes to hovedmåter å velge høyden på rektanglene:

Venstre sum

Bruk funksjonsverdien ved venstre kant av hvert rektangel

Høyde = f(xi) der xi er venstre punkt

Høyre sum

Bruk funksjonsverdien ved høyre kant av hvert rektangel

Høyde = f(xi+1) der xi+1 er høyre punkt
Eksempel: Riemann-sum (venstre sum)
Python
Loading...
Sammenligning: Venstre vs høyre sum
Python
Loading...

Eksempel: ∫₀¹ x² dx

La oss beregne det berømte integralet ∫₀¹ x² dx. Vi vet fra analytisk matematikk at det eksakte svaret er 1/3 ≈ 0.3333.

Beregn integral med ulike antall rektangler
Python
Loading...

Oppgaver

Oppgave 11.1: Beregn areal med venstre sum

Lag en funksjon som beregner ∫₀² x³ dx ved hjelp av venstre sum.

a

Bruk n = 50 rektangler

b

Sammenlign med det eksakte svaret: 4 (siden ∫x³dx = x⁴/4, så ∫₀² x³dx = 16/4 = 4)

c

Hvor mange prosent feil er tilnærmingen din?

Lett
Python
Loading...
Oppgave 11.2: Høyre sum for sinus
Beregn ∫₀^π sin(x) dx ved hjelp av høyre sum med n = 100. Husk: Du må importere sin fra math-biblioteket. Det eksakte svaret er 2.0 (siden ∫sin(x)dx = -cos(x), så ∫₀^π sin(x)dx = -cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 2)
Medium
Python
Loading...
Oppgave 11.3: Generaliser Riemann-sum
Lag en funksjon riemann_sum(f, a, b, n, metode) som kan beregne både venstre, høyre og midtpunkt-sum. Parametere: - f: funksjonen som skal integreres - a, b: grensene - n: antall rektangler - metode: "venstre", "hoyre" eller "midtpunkt" Test funksjonen med f(x) = x² fra 0 til 1 med n = 100 for alle tre metodene.
Vanskelig
Python
Loading...

Oppsummering

✓Numerisk integrasjon beregner arealet under en kurve ved tilnærming

✓Riemann-summer deler området i rektangler med bredde Δx = (b-a)/n

✓Venstre sum bruker f(xi), høyre sum bruker f(xi+1)

✓Midtpunktsregel gir ofte bedre nøyaktighet enn venstre/høyre sum

✓Flere rektangler (større n) = mer nøyaktig resultat

Forrige kapittel

10.4: Prosjekt - Statistisk inferens

Gjennomfør en komplett statistisk undersøkelse.

Neste kapittel

11.2: Trapesmetoden og Simpson

Bruk trapesmetoden og Simpsons regel for integrasjon.