Halveringsmetoden

I dette kapitlet skal du lære en numerisk metode for å finne nullpunkter når abc-formelen ikke fungerer eller er vanskelig å bruke.

Hva er halveringsmetoden?

Halveringsmetoden (biseksjonsmetoden) er en numerisk metode for å finne nullpunkter. Metoden baserer seg på å dele intervallet i to og finne ut hvilken halvdel nullpunktet ligger i.

Fremgangsmåte:

Finn et intervall [a, b] der funksjonen skifter fortegn
Finn midtpunktet m = (a + b) / 2
Sjekk hvilken halvdel nullpunktet ligger i
Gjenta med det nye, mindre intervallet
Stopp når intervallet er lite nok

Fortegnskifte

Hvis f(a) og f(b) har forskjellig fortegn (en positiv og en negativ), må funksjonen krysse x-aksen et sted mellom a og b. Det betyr at det finnes et nullpunkt i intervallet [a, b].

Enkelt eksempel: Finne √2

La oss bruke halveringsmetoden til å finne √2, ved å løse likningen x² - 2 = 0. Vi definerer f(x) = x² - 2 og leter etter nullpunktet.

Eksempel: Finne √2 med halveringsmetoden

PythonAuto-lagret

Hvordan fungerer sjekken?

f(m) * f(a) < 0 betyr at f(m) og f(a) har forskjellig fortegn. Hvis produktet av to tall er negativt, må ett være positivt og ett negativt. Da vet vi at nullpunktet ligger mellom a og m.

Generell implementasjon

Vi kan lage en generell funksjon for halveringsmetoden som fungerer for alle typer funksjoner:

Eksempel: Generell halveringsmetode

PythonAuto-lagret

Tips

Halveringsmetoden er spesielt nyttig for funksjoner der vi ikke har en eksakt formel for å finne nullpunkter, som for eksempel x³ - x - 2 = 0.

Oppgaver

Oppgave 6.3a: Finne √3

Bruk halveringsmetoden til å finne √3 ved å løse x² - 3 = 0. Start med intervallet [1, 2] og bruk toleranse 0.001.

Lett

PythonAuto-lagret

Oppgave 6.3b: Tredjegradsfunksjon

Finn nullpunktet til funksjonen g(x) = x³ - 5 i intervallet [1, 2] med toleranse 0.0001. Skriv ut antall iterasjoner (gjentakelser).

Medium

PythonAuto-lagret

Oppgave 6.3c: Funksjonsanalyse

Funksjonen h(x) = x³ - 2x - 5 har et nullpunkt i intervallet [2, 3]. Bruk halveringsmetoden til å finne det med toleranse 0.00001. Verifiser ved å beregne h(nullpunkt).

Medium

PythonAuto-lagret

Oppsummering

✓Halveringsmetoden finner nullpunkter numerisk ved å dele intervaller i to

✓Metoden krever et startintervall der funksjonen skifter fortegn

✓Vi sjekker fortegn med f(m) * f(a) < 0

✓Toleransen bestemmer hvor nøyaktig svaret skal være

✓Metoden fungerer for alle kontinuerlige funksjoner

Forrige kapittel

6.2: Polynomer og nullpunkter

Analyser polynomfunksjoner og finn nullpunkter.

Neste kapittel

6.4: Prosjekt - Funksjonsanalyse

Analyser komplekse funksjoner med Python.

Tips: Bruk ← og → piltaster for å navigere