0% fullført
Kapittel 9.3
R1Newtons metode
Bruk derivasjon til å finne nullpunkter av funksjoner med Newtons metode.
Hva er Newtons metode?
Newtons metode er en kraftig måte å finne nullpunkter på - altså punkter hvor f(x) = 0. Metoden bruker den deriverte til å "gjette" seg fram til løsningen.
Newtons formel:
xny = x - f(x) / f'(x)
Vi starter med et gjett (x) og regner ut en bedre tilnærming (xny). Dette gjentas til vi har funnet nullpunktet.
Vi søker nullpunktet til f(x) = x² - 2, som er det samme som å løse x² = 2, altså finne √2. Newtons metode finner svaret med fantastisk presisjon på bare noen få iterasjoner!
Implementere Newtons metode
La oss lage en generell funksjon som bruker Newtons metode til å finne nullpunkter:
Bruk Newtons metode til å finne ∛10 (kubikkroten av 10).
Lag en funksjon g(x) = x³ - 10. Nullpunktet er ∛10.
Bruk newton-funksjonen med startverdi x = 2.
Sjekk svaret ved å regne ut x³.
Løs ligningen `x³ - 2x - 5 = 0` med Newtons metode.
Lag funksjonen h(x) = x³ - 2x - 5.
Prøv startverdi x = 2 og finn nullpunktet.
Sjekk ved å sette x-verdien inn i ligningen.
Finn skjæringspunktet mellom funksjonene f(x) = x² og g(x) = 2x + 1. Hint: Skjæringspunktet er der f(x) = g(x), altså der f(x) - g(x) = 0.
Lag en funksjon h(x) = x² - 2x - 1.
Bruk Newtons metode med startverdi x = 3 for å finne det positive skjæringspunktet.
Hva er y-verdien i dette punktet?
Oppsummering
✓Newtons metode finner nullpunkter: xny = x - f(x) / f'(x)
✓Metoden konvergerer raskt når startverdien er god
✓Kan brukes til å finne røtter (√x, ∛x) og løse ligninger
✓Itererer til løsningen er god nok (f(x) ≈ 0)