8.3 Øvingseksamen 1: den ordinære malen

- Lagrange og tilpasningsbetingelsen: kap. 1.3, kap. 2.1
- Cobb-Douglas og normalitet: kap. 2.2
- Slutsky: kap. 2.3; med beholdningsledd: kap. 3.2
- Beholdningsbudsjettet: kap. 3.1
- Bytteboksen: kap. 4.1; definisjoner og Walras: kap. 4.2; teoremene: kap. 4.3; omfordeling: kap. 4.4
- Skalautbytte: kap. 5.1; kostnadsminimering: kap. 5.2; kostnadsfunksjoner: kap. 5.3; profittmaks og nullprofitt: kap. 5.4

Sist du var her — de tre formlene settet lever av:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}, \qquad \frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}, \qquad \frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}$$

Øvingseksamen 1 — oppgavesettet (4 timer)

Alle svar skal begrunnes. Der oppgaven ber om en utledning, er figur ikke tilstrekkelig — men figur i tillegg er alltid en styrke. Alle formelle betingelser skal tolkes i økonomiske enheter. Deloppgavene innad i hver oppgave teller likt.

---

Oppgave 1 (35 %) — Konsumenten med egen beholdning

Ingrid driver en fjellstue. Hun bruker inntekten sin på to ting: ved (vare 1, målt i favner) og alt annet forbruk (vare 2, målt i tusen kroner, med prisen normalisert til $p_2 = 1$). Preferansene hennes kan representeres ved

$$u(c_1, c_2) = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2, \qquad 0 < a < 1.$$

a) Anta først at Ingrid har en gitt pengeinntekt $m$. Sett opp nyttemaksimeringsproblemet formelt, løs det med Lagrange-metoden, og kombiner førsteordensbetingelsene til tilpasningsbetingelsen. Forklar i økonomiske enheter hva betingelsen sier.

b) Utled begge etterspørselsfunksjonene. Avgjør ved derivasjon om godene er normale, og forklar hva løsningen sier om hvordan Ingrid fordeler inntekten.

c) Anta nå at Ingrid ikke har pengeinntekt, men eier $\omega_1 = 4$ favner ved og $\omega_2 = 24$ enheter av vare 2, og at hun fritt kan kjøpe og selge ved til markedsprisen. Sett opp budsjettbetingelsen, og vis at beholdningspunktet alltid ligger på budsjettlinjen. Med $a = \tfrac{1}{2}$, $p_1 = 2$ og $p_2 = 1$: regn ut tilpasningen, og avgjør om Ingrid er netto kjøper eller netto selger av ved.

d) Vedprisen stiger fra $p_1 = 2$ til $p_1 = 4$. Regn ut den nye tilpasningen. Dekomponer endringen i vedforbruket i substitusjonseffekt, ordinær inntektseffekt og beholdningsvirkning ved hjelp av Slutsky-likningen med beholdningsledd, og tolk hvert ledd. Avgjør om nytten stiger eller faller, og begrunn svaret. Beskriv til slutt presist figuren du ville tegnet: akser, kurver, punkter og hjelpelinjer.

e) Et nytt eksportmarked for ved åpner, og vedprisen dobles for alle. Drøft hvem blant norske husholdninger som varmer med ved, som rammes hardest. Det finnes ikke ett riktig svar — bruk apparatet.

---

Oppgave 2 (35 %) — Bytteøkonomi og velferd

To gårdsbruk, $A$ og $B$, handler med hverandre i to varer: høy (vare 1) og poteter (vare 2). Beholdningene er

$$\omega^A = (2, 16), \qquad \omega^B = (10, 8).$$

Begge har preferanser som kan representeres ved $u(c_1, c_2) = \tfrac{1}{2}\ln c_1 + \tfrac{1}{2}\ln c_2$. Sett $p_2 = 1$ gjennom hele oppgaven.

a) Beskriv byttediagrammet (Edgeworth-boksen) for denne økonomien presist: hva bestemmer sidene, hvor ligger de to origoene, hvor ligger beholdningspunktet $W$, og hvordan krummer indifferenskurvene? Les av figuren hvem som eier mest av hva.

b) Definer presist begrepene allokering, markedslikevekt og forskjellen mellom generell og partiell likevekt. Forklar hva markedslikevekten svarer til i byttediagrammet.

c) Beregn likevektsprisen $p_1$ og likevektsallokeringen. Forklar hvorfor du bare trenger å klarere ett av markedene, og navngi resultatet du bruker. Kontroller til slutt at det andre markedet klarerer.

d) Formuler begge velferdsteoremene presist. Sett opp forutsetningene bak dem, rangert etter hvor sentrale de er, og gjør rede for hva det andre teoremet krever i tillegg. Gi deretter et argument for at markedslikevekten i denne økonomien er Pareto-effektiv, uten å bruke figur.

e) Myndighetene overfører 4 enheter av vare 2 fra $B$ til $A$ før handelen starter, som en engangsoverføring. Beregn den nye likevekten. Ta så stilling til påstandene, med begrunnelse for hver:
(i) «Den nye likevekten er en Pareto-forbedring i forhold til den gamle.»
(ii) «Den nye likevekten er Pareto-effektiv.»

---

Oppgave 3 (30 %) — Produsenten

En trevarefabrikk produserer limtrebjelker med produktfunksjonen

$$F(K, L) = K^{1/3}L^{1/3},$$

der $K$ er kapitalinnsats og $L$ er arbeidsinnsats. Faktorprisene er $r = 5$ og $w = 20$, og bedriften er pristaker i alle markeder.

a) Avgjør hvilket skalautbytte teknologien har ved å utføre testen på $F(tK, tL)$ for $t > 1$. Forklar med ord hva svaret betyr for kostnadene ved å doble produksjonen.

b) Bedriften skal produsere en gitt mengde $\bar{y}$ til lavest mulig kostnad. Sett opp problemet, forklar hvorfor det må løses med Lagrange-metoden, og utled førsteordensbetingelsen. Tolk betingelsen i enheter. Utled deretter kostnadsfunksjonen $c(y)$ for de oppgitte faktorprisene.

c) Produktprisen er $p = 90$. Finn den profittmaksimerende produksjonen og profitten. Vis at kostnadsfunksjonen er konveks, og gjør rede for hvordan resultatet henger sammen med svaret i a). Beskriv figuren med marginal- og gjennomsnittskostnad, og pek ut profitten som et areal.

d) Anta i stedet at teknologien er $G(K, L) = \sqrt{KL}$ med samme faktorpriser. Utled kostnadsfunksjonen, beskriv bedriftens tilbud, og gjør rede for hva som må gjelde for produktprisen i en markedslikevekt med fri etablering. Ta så stilling til påstanden: «Et regnskap som viser overskudd år etter år, motbeviser nullprofitt-resultatet.»

e) I flere norske næringer har lønnsomheten ligget over det man skulle forvente, i mange år. Drøft hvorfor det kan skje, og hva slags opplysninger du ville trengt for å avgjøre hvilken forklaring som passer i et konkret tilfelle.

Løsningsforslag

Under følger en A-besvarelse for hver oppgave, ført etter bokas tretrinnsmal: sett opp problemet formelt, utled steg for steg, og oversett resultatet til bytteforhold i enheter. Åpne dem én om gangen — helst etter at du har forsøkt selv. Hver løsning avsluttes med et notat om hvor begrunnelsespoengene sitter, og hvor mye tid deloppgaven er verdt.

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å nøle. De åpne boksene peker på hva du bør repetere før øvingseksamen 2.

Oppgave 1 — konsumenten

- ☐ 1a: Lagrange satt opp, førsteordensbetingelsene delt på hverandre, budsjettlikheten begrunnet, tolkningen i enheter.
- ☐ 1b: $c_1 = am/p_1$ utledet med $a + (1-a) = 1$-trikset, og normalitet vist ved derivasjon.
- ☐ 1c: vist at $W$ ligger på linjen, riktig tilpasning $(8, 16)$, og nettoposisjonen konkludert.
- ☐ 1d: $c_1^s = 6$ funnet, begge inntektsvirkningene ($-2$ og $+1$) hver for seg, nyttefallet begrunnet med at den gamle kurven koster 48 mot inntekt 40, og figuren beskrevet med punktene $A$, $B$, $C$.
- ☐ 1e: minst tre navngitte mekanismer koblet til casen, og en betinget konklusjon som lander.

Oppgave 2 — bytteøkonomi

- ☐ 2a: sidene = totale beholdninger, $B$s origo oppe til høyre, kurvene krummer mot hvert sitt origo.
- ☐ 2b: «samlet etterspørsel = tilgang i alle markeder» med i likevektsdefinisjonen.
- ☐ 2c: $p_1 = 2$ og allokeringen $(5,10)$ / $(7,14)$, Walras' lov navngitt, det andre markedet kontrollert.
- ☐ 2d: begge teoremer riktig vei, kjernetrioen først, konveksitet og kostnadsfri omfordeling som tilleggskrav, og verdimaksimeringsargumentet ført uten figur.
- ☐ 2e: ny likevekt $(6,12)$ til begge, og forbedring skilt fra effektivitet.

Oppgave 3 — produsenten

- ☐ 3a: testen utført: $t^{2/3}F < tF$.
- ☐ 3b: begrunnelsen for Lagrange, MTSB tolket i enheter, og $c(y) = 20y^{3/2}$ utledet.
- ☐ 3c: $y^* = 9$, $\pi = 270$, $c'' > 0$ vist, og profittarealet identifisert i figuren.
- ☐ 3d: $c(y) = 20y$, tilbudet i alle tre prisintervaller, og nullprofitt forklart som renprofitt.
- ☐ 3e: hovedregelen først, deretter det brutte leddet — og hvilke opplysninger som skiller forklaringene.

Slik leser du resultatet: manglet du bare enkeltbokser, repeter det aktuelle kapitlet og gå videre. Manglet du en hel deloppgave-familie (for eksempel alle beholdningsspørsmålene), ta hele kap. 3.2 og drillen i kap. 3.4 før du fortsetter til kap. 8.4.