2.2 Cobb-Douglas-verktøykassa: utlede etterspørselen og vise normalitet

Den faste utledningen siden 2023: fra log- eller potensnytte til $c_1 = am/p_1$ — og normalitet vist ved derivasjon, ikke påstand.

55 min

11 oppgaver

Cobb-Douglas-verktøykassautlede etterspørselenvise normalitet

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Nyttemaksimering med tolkningskrav

Brukes videre i

2.3Slutsky: substitusjons- og inntektseffekt

Dette er den mest forutsigbare utledningen i hele emnet. Oppgavesjangeren boka kaller C — Cobb-Douglas-etterspørsel med normalitet (utled etterspørselen fra en gitt nyttefunksjon, og vis ved derivasjon at godet er normalt) har kommet i alle tre siste ordinære eksamenssett: V2023, V2024 og V2025. I tillegg finnes den i 1 av 4 utsatt-sett, og selve normalitetsderivasjonen i 2 av 4.

Sjangeren består av tre faste ledd:

a) Utled etterspørselen fra log-formen eller potensformen av nyttefunksjonen.
b) Vis at godet er normalt ved å derivere med hensyn på inntekten — ikke ved å påstå det.
c) Dekomponer en prisøkning i substitusjons- og inntektseffekt (det tar vi i kap. 2.3).

Det dokumenterte sensortrekket: en verbal påstand om at «godet er normalt fordi konsumenten kjøper mer når hun blir rikere» gir bare delvis uttelling. Det står eksplisitt i veiledningene for både V2023 og V2025. Deriver, og skriv fortegnet.

V2024 la til to ting du bør ha klare: at en monoton omregning av nyttefunksjonen gir samme etterspørsel, og det pene poenget at etterspørselen etter vare 1 ikke avhenger av $p_2$ i det hele tatt. Samme sett spurte også om verdien av Lagrange-multiplikatoren, som for log-formen blir nøyaktig $1/m$ .

Prioritet: dette må sitte. Utledningen er kort nok til å kunne skrives feilfritt på fem minutter, og den gjentar seg i produsentteorien i Del 5.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på:

- kap. 2.1 — maksimeringsproblemet, Lagrange-oppsettet og tilpasningsbetingelsen.
- kap. 1.2 — at nyttefunksjonen bare er en rangering, og at strengt voksende omregninger derfor beskriver de samme preferansene.
- kap. 1.3 — Lagrange- og innsettingsmetoden, og tolkningen av multiplikatoren.

Sist du var her — de tre tingene du trenger klart i hodet:

a) Tilpasningsbetingelsen, som all utledning under starter fra:

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$

b) Budsjettbetingelsen med likhet, som gir den andre likningen:

$p_1c_1 + p_2c_2 = m$

c) Monotone transformasjoner: er $g$ strengt voksende, representerer $v = g(u)$ de samme preferansene som $u$ , fordi rangeringen av handlekurver er uendret. Marginalnyttene endres, men forholdet mellom dem — altså MSB (marginal substitusjonsbrøk) — gjør det ikke.

Regneteknisk trenger du potensregelen for partiell derivasjon, $\partial(c_1^{a}c_2^{b})/\partial c_1 = a\,c_1^{a-1}c_2^{b}$ , og at $\partial(\ln c_1)/\partial c_1 = 1/c_1$ .

En strømkunde bruker omtrent en fast andel av inntekten sin på strøm, år etter år, nesten uavhengig av hvor mye hun tjener. En annen husholdning bruker alltid rundt en tiendedel på transport. Slike faste utgiftsandeler er så vanlige i data at økonomer har en funksjonsform som gir dem eksakt.

Den formen heter Cobb-Douglas, og den er grunnen til at eksamen kan gi deg en nyttefunksjon og forvente et helt konkret svar på fem linjer. Resultatet du skal komme fram til, er

$c_1 = \frac{a\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\,m}{p_2}$

Legg merke til hvor mye som ikke står der: ingen $p_2$ i det første uttrykket, ingen $p_1$ i det andre. Det er ikke en forglemmelse — det er et resultat, og det er verdt et eget poeng på eksamen.

Vi bygger dette i fire løkker: først de to funksjonsformene og hvorfor de er samme sak, så selve utledningen, så budsjettandelen og normaliteten, og til slutt de tre finpoengene som skiller besvarelsene.

Løkke 1 — De to formene er samme preferanser (~12 min)

Eksamen gir deg nyttefunksjonen i én av to drakter. Den ene er en potensform:

$u(c_1, c_2) = c_1^{a}\,c_2^{1-a}, \qquad 0 < a < 1$

Den andre er en log-form:

$u(c_1, c_2) = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2$

Mange studenter behandler disse som to forskjellige oppgaver og regner alt på nytt. Det er unødvendig, for de beskriver nøyaktig de samme preferansene.

Cobb-Douglas-nyttefunksjonen

u(c_1,c_2) = c_1^{a}\,c_2^{b}, \qquad a > 0,\ b > 0

Log-formen av Cobb-Douglas

v(c_1,c_2) = \ln\!\left(c_1^{a}c_2^{b}\right) = a\ln c_1 + b\ln c_2

Monoton transformasjon

v = g(u)

✏️Eksempel 1: Fra potensform til log-form

En konsument har nyttefunksjonen

$u(c_1, c_2) = c_1^{0{,}4}\,c_2^{0{,}6}$

Vis at $v = \ln u$ gir log-formen, at $v$ representerer de samme preferansene, og at MSB er den samme i begge tilfeller.

Omregningen. Ta logaritmen:

$v = \ln\!\left(c_1^{0{,}4}c_2^{0{,}6}\right) = 0{,}4\ln c_1 + 0{,}6\ln c_2$

Hvorfor det er samme preferanser. Logaritmen er strengt voksende: er $u(A) > u(B)$ , så er $\ln u(A) > \ln u(B)$ . Rangeringen av alle handlekurver er dermed uendret, og siden preferanser er en rangering, beskriver $v$ de samme preferansene som $u$ .

Kontroll via MSB. For potensformen:

$u'_1 = 0{,}4\,c_1^{-0{,}6}c_2^{0{,}6}, \qquad u'_2 = 0{,}6\,c_1^{0{,}4}c_2^{-0{,}4}$

$\text{MSB} = \frac{u'_1}{u'_2} = \frac{0{,}4}{0{,}6}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1}$

For log-formen:

$v'_1 = \frac{0{,}4}{c_1}, \qquad v'_2 = \frac{0{,}6}{c_2} \quad \Longrightarrow \quad \text{MSB} = \frac{0{,}4/c_1}{0{,}6/c_2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1}$

Identisk. Marginalnyttene ser helt ulike ut, men forholdet er det samme — og det er bare forholdet som inngår i tilpasningsbetingelsen.

Tolkning i enheter. MSB $= (2/3)(c_2/c_1)$ sier hvor mange enheter av vare 2 konsumenten er villig til å gi fra seg for én enhet mer av vare 1. Uttrykket faller når $c_1$ vokser — akkurat som konvekse preferanser krever.

Praktisk konsekvens for eksamen: velg selv hvilken form du regner på. Får du potensformen og synes derivasjonen er tung, ta logaritmen først og si i én setning hvorfor du har lov.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.)

a) Skriv nyttefunksjonen $u = c_1^{0{,}7}c_2^{0{,}3}$ på log-form.
b) Forklar i to setninger hvorfor de to formene beskriver de samme preferansene.

📝Oppgave 2

En konsument har nyttefunksjonen $u = c_1^{1/2}c_2^{1/2}$ , og en annen har $w = 6\,c_1^{1/2}c_2^{1/2} + 15$ .

a) Regn ut MSB for begge funksjonene.
b) Vil de to konsumentene velge samme handlekurv når de står overfor samme priser og samme inntekt? Begrunn.
c) Er marginalnyttene like for de to? Hva sier det om hvor mye informasjon marginalnytten alene inneholder?

Løkke 2 — Standardutledningen (~18 min)

Dette er kapitlets kjerne. Lær rekkefølgen, ikke svaret.

Oppskriften i fem steg:

1. Regn ut marginalnyttene $u'_1$ og $u'_2$ .
2. Sett dem inn i tilpasningsbetingelsen $u'_1/u'_2 = p_1/p_2$ og forenkle.
3. Løs den for én av mengdene uttrykt ved den andre — for Cobb-Douglas gir dette alltid et pent uttrykk av typen $\displaystyle p_2c_2 = \frac{b}{a}p_1c_1$ .
4. Sett inn i budsjettbetingelsen $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ .
5. Bruk at eksponentene summerer seg til 1, og løs ut.

Steg 5 er trikset som gjør algebraen kort. Vi tar utledningen først på log-formen, som er den enkleste å derivere.

Log-formen, steg for steg. La

u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2

Steg 1 — marginalnyttene. Siden $\partial(\ln c_1)/\partial c_1 = 1/c_1$ :

$u'_1 = \frac{a}{c_1}, \qquad u'_2 = \frac{1-a}{c_2}$

Steg 2 — tilpasningsbetingelsen.

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{a/c_1}{(1-a)/c_2} = \frac{a\,c_2}{(1-a)\,c_1} = \frac{p_1}{p_2}$

Steg 3 — løs for den ene utgiften. Kryssmultipliser:

$a\,p_2c_2 = (1-a)\,p_1c_1 \quad \Longrightarrow \quad p_2c_2 = \frac{1-a}{a}\,p_1c_1$

Steg 4 — sett inn i budsjettet.

$p_1c_1 + \frac{1-a}{a}\,p_1c_1 = m$

Steg 5 — samle og forkort. Faktoriser ut $p_1c_1$ :

$p_1c_1\left(1 + \frac{1-a}{a}\right) = p_1c_1\cdot\frac{a + (1-a)}{a} = p_1c_1\cdot\frac{1}{a} = m$

Her er trikset: $a + (1-a) = 1$ , så hele parentesen kollapser til $1/a$ . Dermed

$p_1c_1 = a\,m \quad \Longrightarrow \quad c_1 = \frac{a\,m}{p_1}$

og symmetrisk $c_2 = (1-a)m/p_2$ .

📜Cobb-Douglas-etterspørselen

For nyttefunksjonen

u = c_1^{a}c_2^{1-a}

(eller log-formen

a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2

), med budsjettet

p_1c_1 + p_2c_2 = m

, er den optimale tilpasningen

$c_1 = \frac{a\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\,m}{p_2}$

Tre egenskaper leses direkte av uttrykkene, og alle tre er egne eksamenspoeng:

a) Fast budsjettandel. Utgiften på vare 1 er $p_1c_1 = am$ , altså andelen $a$ av inntekten — uansett hva prisene er.
b) Normalitet. $\partial c_1/\partial m = a/p_1 > 0$ , så begge goder er normale.
c) Ingen krysspriseffekt. $c_1$ inneholder ikke $p_2$ , så $\partial c_1/\partial p_2 = 0$ .

Potensformen gir samme svar. La

u = c_1^{a}c_2^{1-a}

. Marginalnyttene:

$u'_1 = a\,c_1^{a-1}c_2^{1-a}, \qquad u'_2 = (1-a)\,c_1^{a}c_2^{-a}$

Forholdet forenkles ved å samle potensene for hver variabel — $c_1^{a-1}/c_1^{a} = c_1^{-1}$ og $c_2^{1-a}/c_2^{-a} = c_2$ :

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{a}{1-a}\cdot\frac{c_2}{c_1}$

Det er nøyaktig samme uttrykk som fra log-formen, og resten av utledningen er identisk. Det er den praktiske siden av at de to formene er samme preferanser.

✏️Eksempel 2: Utledningen med tall — potensformen

En husholdning har nyttefunksjonen

$u(c_1,c_2) = c_1^{0{,}25}\,c_2^{0{,}75}$

der $c_1$ er strøm (kilowattimer) og $c_2$ er alt annet konsum. Prisene er $p_1 = 8$ og $p_2 = 12$ kroner, og inntekten er $m = 4\,800$ kroner.

Utled etterspørselen etter begge goder generelt, og regn ut tilpasningen.

Trinn 1 — problemet formelt.

$\max_{c_1,\,c_2}\ c_1^{0{,}25}c_2^{0{,}75} \quad \text{gitt} \quad 8c_1 + 12c_2 = 4\,800$

Likhet i budsjettet fordi preferansene er monotone.

Trinn 2 — utled. Marginalnyttene:

$u'_1 = 0{,}25\,c_1^{-0{,}75}c_2^{0{,}75}, \qquad u'_2 = 0{,}75\,c_1^{0{,}25}c_2^{-0{,}25}$

Tilpasningsbetingelsen:

$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{0{,}25}{0{,}75}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{1}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{p_1}{p_2}$

Kryssmultipliser: $p_2c_2 = 3\,p_1c_1$ . Sett inn i budsjettet:

$p_1c_1 + 3p_1c_1 = 4p_1c_1 = m \quad \Longrightarrow \quad c_1 = \frac{m}{4p_1} = \frac{0{,}25\,m}{p_1}$

og tilsvarende $c_2 = 0{,}75\,m/p_2$ . Dette er den generelle etterspørselen — legg merke til at eksponentene dukker opp igjen som budsjettandeler.

Med tallene:

$c_1 = \frac{0{,}25\cdot 4\,800}{8} = \frac{1\,200}{8} = 150 \text{ kilowattimer}$

$c_2 = \frac{0{,}75\cdot 4\,800}{12} = \frac{3\,600}{12} = 300 \text{ enheter}$

Kontroll: $8\cdot 150 + 12\cdot 300 = 1\,200 + 3\,600 = 4\,800$ ✓. Og MSB i optimum: $\tfrac{1}{3}\cdot 300/150 = 2/3 = 8/12$ ✓.

Trinn 3 — tolk i enheter. Husholdningen bruker 1 200 kroner på strøm, altså nøyaktig 25 % av inntekten — eksponenten $0{,}25$ igjen. MSB i optimum er $2/3$ enheter «alt annet» per kilowattime: hun er villig til å gi fra seg to tredjedels enhet annet konsum for én kilowattime til, og markedet krever nøyaktig det samme (8 kroner mot 12 kroner).

Figur i ord. $c_1$ vannrett, $c_2$ loddrett. Budsjettlinjen går fra $(0, 400)$ til $(600, 0)$ med helning $-2/3$ . Optimum $E = (150, 300)$ markeres med stiplede hjelpelinjer til begge akser, og indifferenskurven gjennom $E$ berører linjen der.

📝Oppgave 3

Sjanger C

En student har nyttefunksjonen

$u(c_1, c_2) = 0{,}6\ln c_1 + 0{,}4\ln c_2$

der $c_1$ er treningstimer ( $p_1 = 30$ kroner) og $c_2$ er kinobilletter ( $p_2 = 20$ kroner). Inntekten er $m = 6\,000$ kroner.

a) Utled begge etterspørselsfunksjonene generelt. Vis alle steg.
b) Regn ut tilpasningen med tallene, og kontroller mot budsjettet.
c) Hvor stor andel av inntekten går til hvert gode?

📝Oppgave 4

En konsument har nyttefunksjonen $u = c_1^{a}c_2^{1-a}$ med $0 < a < 1$ .

a) Utled marginalnyttene og vis at $\displaystyle \text{MSB} = \frac{a}{1-a}\cdot\frac{c_2}{c_1}$ .
b) Vis at MSB avtar når $c_1$ øker langs en indifferenskurve, og forklar hva det betyr om preferansene.

Løkke 3 — Budsjettandelen og normalitet ved derivasjon (~12 min)

— naturlig pausepunkt —

Multipliser etterspørselen med prisen:

$p_1c_1 = p_1\cdot\frac{am}{p_1} = a\,m$

Utgiften på vare 1 er altså andelen $a$ av inntekten, helt uavhengig av hva prisene er. Stiger $p_1$ , kjøper konsumenten forholdsmessig mindre, men bruker akkurat like mange kroner.

Dette er et sterkt resultat, og du bør bruke det som rimelighetskontroll: har du regnet ut $c_1$ og finner at $p_1c_1$ ikke blir $am$ , har du gjort en algebrafeil.

Budsjettandel (utgiftsandel)

s_1 = \frac{p_1c_1}{m}

Nå til normaliteten, og til det dokumenterte sensortrekket.

Et gode er normalt hvis konsumenten kjøper mer av det når inntekten stiger. Det er en påstand om en derivert, og sensor vil se den deriverte. Fra $c_1 = am/p_1$ :

$\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{a}{p_1}$

Her er $a > 0$ og $p_1 > 0$ , så den deriverte er strengt positiv for alle tillatte parameterverdier. Vare 1 er altså normal. Samme regning for vare 2 gir $(1-a)/p_2 > 0$ .

Det er tre linjer. Å skrive «godet er normalt fordi konsumenten kjøper mer når hun blir rikere» i stedet, gir bare delvis uttelling — det står eksplisitt i veiledningene for både V2023 og V2025.

Normalt gode

\frac{\partial c_1}{\partial m} > 0

Mindreverdig gode

\frac{\partial c_1}{\partial m} < 0

✏️Eksempel 3: Normalitet vist ved derivasjon

En pendler har nyttefunksjonen $u = 0{,}35\ln c_1 + 0{,}65\ln c_2$ , der $c_1$ er togbilletter til $p_1 = 45$ kroner. Avgjør om togbilletter er et normalt gode, og forklar hva svaret betyr økonomisk. Hva skjer med utgiften til tog når inntekten stiger fra 8 000 til 12 000 kroner?

Trinn 1 — etterspørselen. Fra standardutledningen er

$c_1 = \frac{0{,}35\,m}{p_1} = \frac{0{,}35\,m}{45}$

Trinn 2 — deriver med hensyn på inntekten.

$\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{0{,}35}{45} \approx 0{,}0078 > 0$

Den deriverte er strengt positiv. Togbilletter er derfor et normalt gode. Merk at fortegnet ikke avhenger av noen bestemt inntekt: telleren $0{,}35$ og nevneren $45$ er begge positive, så konklusjonen gjelder i hele parameterrommet.

Trinn 3 — tolk i enheter. Den deriverte har enheten billetter per krone ekstra inntekt: for hver ekstra tusenlapp i månedsinntekt kjøper pendleren omtrent $0{,}0078\cdot 1\,000 \approx 7{,}8$ flere togbilletter. Det er ikke et utsagn om at hun «liker tog»; det er et utsagn om hvordan tilpasningen forskyves når budsjettlinjen flyttes parallelt utover.

Utgiften. Ved $m = 8\,000$ : $c_1 = 0{,}35\cdot 8\,000/45 \approx 62{,}2$ billetter, og utgiften er $0{,}35\cdot 8\,000 = 2\,800$ kroner. Ved $m = 12\,000$ : $c_1 = 0{,}35\cdot 12\,000/45 \approx 93{,}3$ billetter, og utgiften er $4\,200$ kroner.

Utgiftene har steget med 50 %, nøyaktig som inntekten — budsjettandelen står stille på 35 %. Det er Cobb-Douglas' signatur.

Figur i ord. Tegn inntekten $m$ vannrett og $c_1$ loddrett. Sammenhengen $c_1 = 0{,}35m/45$ er en rett linje gjennom origo med helning $0{,}35/45$ . Marker punktene ved $m = 8\,000$ og $m = 12\,000$ med stiplede hjelpelinjer. At linjen stiger, er den grafiske versjonen av at godet er normalt; at den går gjennom origo, betyr at andelen er konstant.

📝Oppgave 5

Sjanger C, andre ledd

En husholdning har nyttefunksjonen $u = c_1^{0{,}2}c_2^{0{,}8}$ , der $c_1$ er oppvarming og $c_2$ er alt annet konsum.

a) Skriv opp etterspørselen etter oppvarming.
b) Avgjør ved derivasjon om oppvarming er et normalt gode. Skriv fortegnet eksplisitt og si hvorfor det gjelder for alle tillatte parameterverdier.
c) Hvor stor andel av inntekten går til oppvarming, og hvordan endres denne andelen når husholdningen blir rikere?

Løkke 4 — De tre finpoengene (~13 min)

Her ligger poengene som skiller en solid besvarelse fra en veldig god.

Finpoeng 1 — etterspørselen avhenger ikke av den andre prisen.

Se på uttrykket igjen:

$c_1 = \frac{a\,m}{p_1}$

$p_2$ er ikke der. Formelt:

$\frac{\partial c_1}{\partial p_2} = 0$

Dette overrasker mange, for intuisjonen sier at når vare 2 blir dyrere, må jo noe skje med vare 1. Og noe skjer — to ting, som nøyaktig opphever hverandre:

a) Vare 2 er blitt relativt dyrere, så konsumenten vrir seg mot vare 1. Det trekker $c_1$ opp.
b) Konsumenten er blitt reelt fattigere, siden en av varene hun kjøper koster mer. Det trekker $c_1$ ned, siden godet er normalt.

For Cobb-Douglas er disse to virkningene nøyaktig like store og motsatte, så nettoeffekten blir null. Dette er de to kanalene vi skal navngi og måle i kap. 2.3, og eksamen har honorert at studenten kan si det allerede her.

Krysspriseffekt

\frac{\partial c_1}{\partial p_2}

✏️Eksempel 4: Hvorfor $p_2$ ikke står i uttrykket

En konsument har $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ , $m = 2\,000$ , $p_1 = 10$ og $p_2 = 20$ . Prisen på vare 2 stiger til 40. Regn ut tilpasningen før og etter, og forklar resultatet.

Før prisøkningen:

$c_1 = \frac{0{,}5\cdot 2\,000}{10} = 100, \qquad c_2 = \frac{0{,}5\cdot 2\,000}{20} = 50$

Kontroll: $10\cdot 100 + 20\cdot 50 = 1\,000 + 1\,000 = 2\,000$ ✓.

Etter at $p_2$ er doblet til 40:

$c_1 = \frac{0{,}5\cdot 2\,000}{10} = 100, \qquad c_2 = \frac{0{,}5\cdot 2\,000}{40} = 25$

Kontroll: $10\cdot 100 + 40\cdot 25 = 1\,000 + 1\,000 = 2\,000$ ✓.

Resultatet: $c_1$ er helt uendret på 100 enheter. Konsumet av vare 2 er halvert, men kronene brukt på hver vare er de samme som før — 1 000 på hver.

Forklaringen i to kanaler. Vare 2 er blitt dobbelt så dyr, så vare 1 er relativt billigere; isolert sett skulle konsumenten vridd seg mot vare 1. Samtidig er hun blitt reelt fattigere — budsjettlinjen har rotert innover — og siden vare 1 er normal, trekker det i motsatt retning. For Cobb-Douglas er de to virkningene like store, og nettoresultatet er null.

Tolkning i enheter. Konsumenten er dårligere stilt enn før: hun har mistet 25 enheter av vare 2 uten å få noe igjen. At $c_1$ er uendret, betyr altså ikke at hun er upåvirket — bare at hele tilpasningen til den nye prisen skjer i vare 2.

Figur i ord. $c_1$ vannrett, $c_2$ loddrett. Den gamle budsjettlinjen går fra $(0, 100)$ til $(200, 0)$ ; den nye fra $(0, 50)$ til $(200, 0)$ — samme skjæring på $c_1$ -aksen, halvert skjæring på $c_2$ -aksen, altså en rotasjon innover om punktet $(200, 0)$ . Tangeringspunktene $E = (100, 50)$ og $E' = (100, 25)$ ligger loddrett over hverandre, forbundet med en stiplet loddrett linje merket « $c_1$ uendret».

📝Oppgave 6

Sjanger C

En konsument har Cobb-Douglas-preferanser med $u = c_1^{0{,}3}c_2^{0{,}7}$ .

a) Vis formelt at $\partial c_1/\partial p_2 = 0$ .
b) Forklar økonomisk hvorfor virkningen er null, ved å beskrive de to kanalene som opphever hverandre.
c) Betyr dette at konsumenten er upåvirket av at vare 2 blir dyrere? Begrunn.

Finpoeng 2 — verdien av multiplikatoren.

For log-formen $u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2$ har $\lambda$ en usedvanlig pen verdi. Fra førsteordensbetingelsen $u'_1 = \lambda p_1$ :

$\frac{a}{c_1} = \lambda p_1 \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \frac{a}{p_1c_1}$

Og siden vi vet at $p_1c_1 = am$ :

$\lambda = \frac{a}{a\,m} = \frac{1}{m}$

Tolkningen: én ekstra krone i inntekt øker nytten med $1/m$ . Er inntekten liten, er den ekstra kronen mye verdt; er den stor, betyr den lite. Det er nøyaktig avtakende grensenytte av penger, og det er derfor resultatet er verdt å nevne når en oppgave spør om multiplikatoren.

Merk forbeholdet: $\lambda = 1/m$ gjelder for log-formen med eksponenter som summerer seg til 1. For potensformen $c_1^{a}c_2^{1-a}$ blir $\lambda$ et annet uttrykk, fordi nyttenivået da måles i en annen skala — nok en påminnelse om at $\lambda$ ikke er en observerbar størrelse, men avhenger av hvordan nytten er skalert.

Finpoeng 3 — når eksponentene ikke summerer seg til 1.

Eksamen kan gi deg $u = c_1^{a}c_2^{b}$ uten å love at $a + b = 1$ . Da gjelder ikke $c_1 = am/p_1$ direkte. Løsningen er å normalisere: gjenta utledningen, og du får

$c_1 = \frac{a}{a+b}\cdot\frac{m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{b}{a+b}\cdot\frac{m}{p_2}$

Budsjettandelen for vare 1 er altså $a/(a+b)$ , ikke $a$ . Sjekk alltid summen av eksponentene før du skriver ned svaret.

En snarvei som virker, og som er verdt å nevne i besvarelsen: siden $u = c_1^{a}c_2^{b}$ og $u^{1/(a+b)} = c_1^{a/(a+b)}c_2^{b/(a+b)}$ er en monoton transformasjon (potensen $1/(a+b)$ er positiv), kan du normalisere eksponentene først og deretter bruke standardformelen.

✏️Eksempel 5: Eksponenter som ikke summerer seg til 1

En bedriftsleder har nyttefunksjonen $u = c_1^{2}c_2^{3}$ , prisene er $p_1 = 4$ og $p_2 = 5$ , og inntekten er $m = 1\,000$ . Finn tilpasningen.

Trinn 1 — sjekk eksponentene. Her er

a = 2

b = 3

, så

a + b = 5 \ne 1

. Standardformelen

c_1 = am/p_1

kan derfor ikke brukes rått — den ville gitt

c_1 = 2\cdot 1\,000/4 = 500

, som koster 2 000 kroner alene og sprenger budsjettet. Rimelighetskontrollen avslører feilen umiddelbart.

Trinn 2 — utled med normalisering. Marginalnyttene:

$u'_1 = 2c_1c_2^{3}, \qquad u'_2 = 3c_1^{2}c_2^{2}$

$\text{MSB} = \frac{2c_1c_2^{3}}{3c_1^{2}c_2^{2}} = \frac{2}{3}\cdot\frac{c_2}{c_1} = \frac{p_1}{p_2}$

Kryssmultipliser: $2p_2c_2 = 3p_1c_1$ , altså $p_2c_2 = \tfrac{3}{2}p_1c_1$ . Innsatt i budsjettet:

$p_1c_1\left(1 + \tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{5}{2}\,p_1c_1 = m \quad \Longrightarrow \quad p_1c_1 = \tfrac{2}{5}m$

Budsjettandelen er altså $2/5 = a/(a+b)$ , som ventet. Dermed

$c_1 = \frac{2}{5}\cdot\frac{1\,000}{4} = \frac{400}{4} = 100, \qquad c_2 = \frac{3}{5}\cdot\frac{1\,000}{5} = \frac{600}{5} = 120$

Kontroll: $4\cdot 100 + 5\cdot 120 = 400 + 600 = 1\,000$ ✓. Utgiftene fordeler seg 400/600, altså 40/60 — nøyaktig $2/5$ og $3/5$ ✓.

Trinn 3 — tolk. Lederen bruker to femdeler av inntekten på vare 1. Eksponentene sier noe om forholdet mellom vektleggingen av de to godene, ikke om nivået: hadde nyttefunksjonen vært $c_1^{20}c_2^{30}$ , ville tilpasningen vært nøyaktig den samme, fordi $20/50 = 2/5$ .

Snarveien: $u^{1/5} = c_1^{0{,}4}c_2^{0{,}6}$ er en monoton transformasjon av $u$ , og med den formen leser du budsjettandelene 0,4 og 0,6 rett av.

📝Oppgave 7

Sjanger C i full kjede

En husholdning har nyttefunksjonen

$u(c_1, c_2) = c_1^{1/3}\,c_2^{1/6}$

der $c_1$ er kollektivreiser ( $p_1 = 6$ kroner) og $c_2$ er drivstoff ( $p_2 = 4$ kroner). Inntekten er $m = 180$ kroner.

a) Utled begge etterspørselsfunksjonene generelt, og regn ut tilpasningen.
b) Avgjør ved derivasjon om kollektivreiser er et normalt gode.
c) Hva skjer med etterspørselen etter kollektivreiser dersom drivstoffprisen dobles? Begrunn både formelt og økonomisk.
d) Vis at nyttefunksjonen $w = c_1^{2}c_2$ gir nøyaktig samme tilpasning.

📝Oppgave 8

(Krevende. Tester om du forstår hva multiplikatoren er, ikke bare hvordan den regnes ut.)

En konsument har $u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2$ og budsjettet $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ .

a) Vis at $\lambda = 1/m$ .
b) Tolk resultatet økonomisk. Hva sier det om verdien av en ekstra krone for en person med lav mot høy inntekt?
c) En besvarelse hevder at $\lambda = 1/m$ gjelder for alle Cobb-Douglas-preferanser, også potensformen $c_1^{a}c_2^{1-a}$ . Ta stilling til påstanden.

Typiske feil i denne sjangeren

#3 — normalitet påstått uten derivasjon. Kapitlets dyreste feil, og den er dokumentert i veiledningene for både V2023 og V2025. Setningen «godet er normalt fordi konsumenten kjøper mer når hun blir rikere» er en beskrivelse av hva normalitet betyr, ikke et bevis for at det gjelder her. Skriv

\partial c_1/\partial m = a/p_1 > 0

, og si hvorfor fortegnet gjelder for alle tillatte parameterverdier.

Regnefeil i marginalnyttene på potensformen. Den vanligste er å glemme at eksponenten skal ned som faktor og reduseres med 1: $\partial(c_1^{a})/\partial c_1 = a\,c_1^{a-1}$ , ikke $a\,c_1^{a}$ . Sjekk alltid at MSB ender opp proporsjonal med $c_2/c_1$ — gjør den ikke det, ligger feilen i derivasjonen.

Å ikke bruke at eksponentene summerer seg til 1. Uten den forkortingen blir algebraen lang og feilutsatt. Ser du parentesen $\displaystyle \left(1 + \frac{1-a}{a}\right)$ , skal den kollapse til $1/a$ på én linje.

Å tro at log-form og potensform krever ulike svar. De representerer samme preferanser og gir samme etterspørsel. Velg den formen som er lettest å derivere, og si i én setning hvorfor du har lov.

Å bruke $c_1 = am/p_1$ når eksponentene ikke summerer seg til 1. Får du $u = c_1^{2}c_2^{3}$ , er budsjettandelen $2/5$ , ikke 2. Kontrollen er enkel: utgiften $p_1c_1$ kan aldri overstige $m$ .

Å stoppe ved formelen når oppgaven ber om økonomisk forklaring. « $c_1 = am/p_1$ » er svaret på utledningen, men ikke på «forklar». Legg til budsjettandels-tolkningen: konsumenten bruker den faste andelen $a$ av inntekten på vare 1, uansett priser.

Å tro at uendret mengde betyr uendret velferd. At $c_1$ ikke reagerer på $p_2$ , betyr ikke at konsumenten er upåvirket. Budsjettmengden krymper, og hun havner på en lavere indifferenskurve.

Begrepsbank

Blokkene under er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet over.

Etterspørselsfunksjon

c_1(p_1, p_2, m)

Normaliseringstrikset (

a + b = 1

)

u = c_1^{a}c_2^{b}

Partiell derivasjon

\partial u/\partial c_1

Engel-kurve

m

Homotetiske preferanser

c_1 = am/p_1

Substitutter og komplementer

\partial c_1/\partial p_2 > 0

Inntektselastisitet

E_m = \frac{\partial c_1}{\partial m}\cdot\frac{m}{c_1}

Luksusgode og nødvendighetsgode

Et luksusgode er et gode der budsjettandelen stiger når inntekten stiger; et nødvendighetsgode er et gode der andelen faller . Mat er det klassiske nødvendighetsgodet: rike husholdninger bruker flere kroner på mat enn fattige, men en mindre andel av inntekten. Begge er normale goder — skillet gjelder andelen, ikke mengden. Cobb-Douglas kan ikke gi noen av delene, siden andelen alltid er konstant. Det er formens viktigste begrensning, og verdt å nevne i drøftingsoppgaver om hvem en prisøkning rammer hardest.

Homogenitet av grad null

p_1

Skyggepris

\lambda

Marshallsk etterspørsel

c_1(p_1,p_2,m)

Realinntekt (kjøpekraft)

m

Rimelighetskontroll av utledningen

m

Innsettingsmetoden på Cobb-Douglas

c_2 = (m - p_1c_1)/p_2

Cobb-Douglas — egenskapskortet

u = c_1^{a}c_2^{1-a}

Giffen-gode

\partial c_1/\partial p_1 = -am/p_1^{2} < 0

Kvasi-lineær nytte

u = f(c_1) + c_2

Marginalnyttens skalaavhengighet

(c_1^*, c_2^*)

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.