2.3 Slutsky: substitusjons- og inntektseffekt

Prisendringens to kanaler: Slutsky-dekomponeringen i likning, figur og ord — med kursets egne konvensjoner.

55 min

11 oppgaver

Slutskysubstitusjons-inntektseffekt

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.2Cobb-Douglas-verktøykassa: utlede etterspørselen og vise normalitet

Brukes videre i

2.4Kompensasjonsanalyse: prissubsidie mot kontantstøtte 3.2Slutsky med beholdningsledd: netto kjøper mot netto selger

Dette er konsumentoppgavens siste og tyngste ledd. Oppgavesjangeren boka kaller D — dekomponering i substitusjons- og inntektseffekt (splitt virkningen av en prisendring i to kanaler og forklar hver av dem) finnes i 6 av de 7 ordinære eksamenssettene i arkivet: V2018, V2019, V2020, V2023, V2024 og V2025 — altså 86 %, samme frekvens som nyttemaksimeringen selv. Den er også med i 3 av 4 utsatt-sett. Det eneste ordinære settet uten den er V2022.

Tre ting du må vite om formen, før du leser videre:

a) Kurset bruker Slutsky-kompensasjon: konsumenten får akkurat nok ekstra inntekt til å ha råd til den gamle godekurven. Den andre varianten, der kompensasjonen gir samme nyttenivå, nevnes i én fotnote nedenfor og godtas av sensor — men den er ikke kursets hovedspor. Dette står eksplisitt i V2025-veiledningen.

b) Svaret kan gis med likningen, grafisk eller verbalt. Men grafiske og matematiske svar skal alltid tolkes: en figur med tre punkter og ingen forklaring gir ikke full uttelling.

c) At substitusjonseffekten aldri kan være positiv for godet som ble dyrere, er testet direkte som en sann/usann-påstand (V2023), og fasitargumentet var avslørte preferanser. Det argumentet skal du kunne skrive ut.

Prioritet: dette må sitte. Sjangeren gjentar seg med beholdning i kap. 3.2, som er utsatt-eksamenens favoritt.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på:

- kap. 2.1 — budsjettlinjen, tilpasningsbetingelsen og hva som skjer med linjen når én pris endres.
- kap. 2.2 — Cobb-Douglas-etterspørselen og normalitet vist ved derivasjon.

Fra ECON1210-boka har du møtt de to effektene verbalt i Arbeidstilbudet: substitusjons- og inntektseffekt. Her får de en likning.

Sist du var her — de tre tingene du trenger klart i hodet:

a) Cobb-Douglas-etterspørselen, som alle regneeksemplene bruker:

$c_1 = \frac{a\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\,m}{p_2}$

b) Normalitet: $\partial c_1/\partial m = a/p_1 > 0$ . Begge Cobb-Douglas-goder er normale — det blir avgjørende for fortegnet på den ene av de to effektene.

c) Rotasjon av budsjettlinjen: endres $p_1$ alene, roterer linjen om skjæringspunktet $m/p_2$ på den loddrette aksen. Endres $m$ alene, flytter linjen seg parallelt.

Strømprisen dobles. Du bruker mindre strøm. Hvorfor?

To helt ulike grunner blandes sammen i det svaret. Den første er at strøm nå er dyrt sammenliknet med alt annet — du tar på deg en genser i stedet for å skru opp varmen. Den andre er at du rett og slett er blitt fattigere: regningen spiser en større del av lønna, så du kutter litt overalt.

De to grunnene er ikke bare filosofisk forskjellige. De kan trekke i motsatt retning, og for noen goder gjør de det. Derfor holder det ikke å si «etterspørselen faller når prisen stiger» — du må kunne skille kanalene, og du må kunne si hvilken av dem som har et sikkert fortegn.

Det verktøyet heter Slutsky-dekomponering, og det er det siste håndverket i konsumentoppgaven. Vi bygger det i fire løkker: først tankeeksperimentet i tre bilder, så argumentet for at den ene effekten har sikkert fortegn, så likningen og figuren, og til slutt tilfellene der intuisjonen svikter.

Løkke 1 — Tankeeksperimentet i tre bilder (~14 min)

Prisen på vare 1 stiger fra $p_1$ til $p_1'$ . Vi vil skille de to grunnene til at konsumet endres. Trikset er å gjøre endringen i to skritt i stedet for ett.

Skritt 1 — bare relativprisen endres. Vi lar prisen stige, men gir samtidig konsumenten nøyaktig så mange kroner ekstra at hun har råd til den gamle godekurven til de nye prisene. Kjøpekraften hennes er dermed «reparert» i en presis forstand: hun kan fortsatt kjøpe akkurat det hun kjøpte før, om hun vil. Men prisforholdet er nytt, så hun vil vanligvis ikke ville det.

Skritt 2 — bare inntekten endres. Vi tar kompensasjonen tilbake. Prisene står nå stille på de nye verdiene, og det eneste som skjer, er at inntekten faller.

Summen av de to skrittene er den faktiske endringen, siden kompensasjonen først gis og så trekkes inn igjen. Men hvert skritt isolerer én av de to grunnene.

Slutsky-kompensasjon

p_1

Substitusjonseffekten (SE)

p_1

Inntektseffekten (IE)

\text{IE} = c_1(p_1', m) - c_1(p_1', m^s)

Totaleffekten

\text{TE} = c_1(p_1', m) - c_1(p_1, m) = \text{SE} + \text{IE}

✏️Eksempel 1: Tallene i de tre bildene

En husholdning har nyttefunksjonen $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ , der $c_1$ er kilowattimer strøm og $c_2$ er alt annet konsum. Inntekten er $m = 1\,200$ kroner, og prisene er $p_1 = 2$ og $p_2 = 5$ kroner. Strømprisen stiger til $p_1' = 3$ kroner.

Regn ut de tre punktene $A$ , $B$ og $C$ , og finn substitusjons- og inntektseffekten.

Punkt $A$ — utgangspunktet. Med

a = 0{,}5

$c_1^A = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{2} = 300, \qquad c_2^A = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{5} = 120$

Kontroll: $2\cdot 300 + 5\cdot 120 = 600 + 600 = 1\,200$ ✓. Så $A = (300, 120)$ .

Kompensasjonen. Hva koster den gamle kurven til de nye prisene?

$3\cdot 300 + 5\cdot 120 = 900 + 600 = 1\,500$

Hun trenger altså 300 kroner ekstra, som er nøyaktig $(p_1' - p_1)c_1^A = 1\cdot 300$ . Den kompenserte inntekten er $m^s = 1\,500$ .

Punkt $B$ — nye priser, kompensert inntekt.

$c_1^B = \frac{0{,}5\cdot 1\,500}{3} = 250, \qquad c_2^B = \frac{0{,}5\cdot 1\,500}{5} = 150$

Kontroll: $3\cdot 250 + 5\cdot 150 = 750 + 750 = 1\,500$ ✓.

Punkt $C$ — nye priser, opprinnelig inntekt.

$c_1^C = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{3} = 200, \qquad c_2^C = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{5} = 120$

Kontroll: $3\cdot 200 + 5\cdot 120 = 600 + 600 = 1\,200$ ✓.

De to effektene:

$\text{SE} = c_1^B - c_1^A = 250 - 300 = -50 \text{ kilowattimer}$

$\text{IE} = c_1^C - c_1^B = 200 - 250 = -50 \text{ kilowattimer}$

$\text{TE} = -100 \text{ kilowattimer} \quad \text{(kontroll: } 200 - 300 = -100 \text{ ✓)}$

Tolkning i enheter. Av det samlede fallet på 100 kilowattimer skyldes halvparten at strøm er blitt relativt dyrere: selv med full kompensasjon for kjøpekraften velger hun 50 kilowattimer mindre og bruker pengene på annet forbruk i stedet — se at $c_2$ stiger fra 120 til 150 i punkt $B$ . Den andre halvparten skyldes at hun ikke er kompensert: de 300 kronene hun ikke får, gjør henne reelt fattigere, og siden strøm er et normalt gode, kutter hun ytterligere 50 kilowattimer.

At de to effektene er like store her, er ikke en generell regel — det er en egenskap ved Cobb-Douglas med eksponent $a = 0{,}5$ : inntektseffekten utgjør nøyaktig andelen $a$ av totaleffekten og substitusjonseffekten andelen $1-a$ , uansett hvor stor prisøkningen er (vist generelt i eksempel 3).

Figur i ord. $c_1$ (kilowattimer) vannrett, $c_2$ (alt annet) loddrett. Den opprinnelige budsjettlinjen går fra $(0, 240)$ til $(600, 0)$ med helning $-0{,}4$ , og tangerer en indifferenskurve i $A = (300, 120)$ . Den nye linjen går fra $(0, 240)$ til $(400, 0)$ — samme skjæring på den loddrette aksen, brattere helning $-0{,}6$ — og tangerer en lavere indifferenskurve i $C = (200, 120)$ . Den kompenserte linjen er stiplet, har samme helning som den nye ( $-0{,}6$ ), men er skjøvet utover slik at den går nøyaktig gjennom $A$ ; den tangerer i $B = (250, 150)$ — en litt høyere indifferenskurve enn den gjennom $A$ , siden kompensasjonen gir henne råd til den gamle kurven og litt til. Piler langs $c_1$ -aksen: fra 300 til 250 merket «substitusjonseffekt», fra 250 til 200 merket «inntektseffekt».

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.)

a) Hva er Slutsky-kompensasjonen, og hvordan regnes den ut?
b) Hvilken av de to effektene isolerer virkningen av endret relativpris, og hvilken isolerer virkningen av endret realinntekt?

📝Oppgave 2

En student har nyttefunksjonen $u = c_1^{0{,}4}c_2^{0{,}6}$ , der $c_1$ er lunsjer på campus og $c_2$ er alt annet. Inntekten er $m = 2\,000$ kroner, prisene $p_1 = 4$ og $p_2 = 10$ kroner. Lunsjprisen stiger til 5 kroner.

a) Finn punktene $A$ , $B$ og $C$ .
b) Regn ut substitusjons- og inntektseffekten, og kontroller at de summerer seg til totaleffekten.
c) Tolk de to tallene i enheter.

Løkke 2 — Substitusjonseffektens fortegn (~12 min)

— naturlig pausepunkt —

Nå til det ene resultatet i dette kapitlet som gjelder helt uten forbehold: substitusjonseffekten kan aldri være positiv for godet som ble dyrere.

Legg merke til hvor sterkt det er. Vi antar ingenting om normalitet, ingenting om funksjonsform, ingenting om hvor sterke preferansene er. Vi trenger bare at konsumenten velger det hun helst vil ha.

Argumentet heter avslørte preferanser, og det går slik:

I punkt $A$ hadde konsumenten råd til $A$ , og hun valgte $A$ . I punkt $B$ har hun — takket være kompensasjonen — fortsatt råd til $A$ , men hun velger noe annet. Da må $B$ være minst like godt som $A$ etter hennes egen rangering, ellers ville hun bare beholdt $A$ .

Samtidig hadde hun ikke råd til $B$ i den gamle situasjonen. (Hvorfor ikke? Fordi hun ville valgt $B$ framfor $A$ hvis hun hadde hatt råd, siden hun nå viser at hun liker $B$ minst like godt — og hun valgte $A$ .) Altså: $B$ var for dyr før, men er overkommelig nå. Den eneste prisen som er endret, er $p_1$ , og den har steget. En kurv kan bare bli billigere relativt sett ved en prisøkning på vare 1 hvis den inneholder mindre av vare 1.

📜Substitusjonseffektens fortegn

For en økning i

p_1

er substitusjonseffekten på

c_1

aldri positiv:

$\text{SE} = c_1(p_1', m^s) - c_1(p_1, m) \le 0$

I derivertform: $\dfrac{\partial c_1^s}{\partial p_1} \le 0$ , der $c_1^s$ er den kompenserte etterspørselen.

Symmetrisk: for et prisfall er substitusjonseffekten aldri negativ.

Begrunnelsen er avslørte preferanser, ikke en antakelse om funksjonsform. Resultatet gjelder derfor for alle preferanser som er slik at konsumenten velger det hun helst vil ha — også for mindreverdige goder og for Giffen-goder.

Merk hva som ikke følger: totaleffekten kan godt være positiv, for inntektseffekten har ikke sikkert fortegn. Det er bare substitusjonsleddet som er låst.

✏️Eksempel 2: Avslørte preferanser skrevet ut

En konsument kjøper handlekurven $A = (300, 120)$ til prisene $p_1 = 2$ , $p_2 = 5$ og inntekten $m = 1\,200$ . Prisen på vare 1 stiger til 3, og hun kompenseres til $m^s = 1\,500$ . Hun velger nå $B = (250, 150)$ .

Vis, uten å bruke nyttefunksjonen, at $c_1$ måtte falle i dette skrittet.

Trinn 1 — hva hun hadde råd til, og hva hun valgte.

Til de gamle prisene og inntekten hadde hun råd til $A$ (den kostet nøyaktig 1 200), og hun valgte $A$ .

Til de nye prisene og den kompenserte inntekten har hun fortsatt råd til $A$ : $3\cdot 300 + 5\cdot 120 = 1\,500 = m^s$ . Likevel velger hun $B$ .

Trinn 2 — hva valget avslører. Siden $A$ var tilgjengelig da hun valgte $B$ , må $B$ være minst like godt som $A$ etter hennes egen rangering. Ellers hadde hun beholdt $A$ — det er hele innholdet i å velge.

Men i den gamle situasjonen valgte hun $A$ , ikke $B$ . Hvis $B$ hadde vært tilgjengelig da, ville hun valgt $B$ (siden hun nå avslører at $B$ er minst like godt). Altså hadde hun ikke råd til $B$ til de gamle prisene. Kontroll: $2\cdot 250 + 5\cdot 150 = 500 + 750 = 1\,250 > 1\,200$ ✓ — den var faktisk 50 kroner for dyr.

Trinn 3 — hva det tvinger fram. Vi har altså to ulikheter, med $p_1 = 2$ , $p_1' = 3$ , $p_2 = 5$ :

$p_1c_1^B + p_2c_2^B > p_1c_1^A + p_2c_2^A \qquad \text{(}B\text{ var for dyr før)}$

$p_1'c_1^B + p_2c_2^B \le p_1'c_1^A + p_2c_2^A \qquad \text{(}B\text{ er overkommelig nå, og ble valgt)}$

Trekk den første fra den andre. Leddene med $p_2$ faller bort, og vi står igjen med

$(p_1' - p_1)\left(c_1^B - c_1^A\right) < 0$

Siden $p_1' - p_1 = 1 > 0$ , må $c_1^B - c_1^A < 0$ , altså $c_1^B < c_1^A$ . Kontroll: $250 < 300$ ✓.

Trinn 4 — tolkningen. Konklusjonen kom fra to ting: at hun velger det hun helst vil ha, og at prisen på vare 1 har steget. Vi brukte aldri nyttefunksjonen, aldri normalitet og aldri noen antakelse om hvor sterke preferansene er. Det er derfor substitusjonseffektens fortegn er så robust — og derfor det er et godt sensorsvar på sann/usann-påstander om SE.

Figur i ord. $c_1$ vannrett, $c_2$ loddrett. Tegn den gamle budsjettlinjen fra $(0,240)$ til $(600,0)$ og den kompenserte, brattere linjen som krysser den nøyaktig i $A = (300,120)$ . Skraver området som ligger under den kompenserte linjen men over den gamle — det er kurvene som er blitt overkommelige. Hele dette området ligger til venstre for $A$ , altså med mindre $c_1$ . Punktet $B = (250,150)$ ligger der.

📝Oppgave 3

Sjanger L

Ta stilling til hver påstand, og begrunn:

a) «Substitusjonseffekten av en prisøkning på vare 1 kan være positiv.»
b) «Totaleffekten av en prisøkning på vare 1 kan være positiv.»
c) «Substitusjonseffektens fortegn forutsetter at vare 1 er et normalt gode.»

Løkke 3 — Likningen og figuren (~15 min)

Dekomponeringen kan skrives som en likning i deriverte. Den er nyttig når oppgaven ber om et generelt svar i stedet for tall.

Tenk på hva som skjer med $c_1$ når $p_1$ endres litt. Den kompenserte etterspørselen fanger vridningen; kompensasjonen som ikke gis, fanges av inntektsleddet. Kompensasjonsbeløpet per krone prisøkning er $c_1$ — mengden hun kjøpte. Dermed:

📜Slutsky-likningen (uten beholdning)

\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial c_1^s}{\partial p_1}}_{\text{substitusjonsledd}} \; - \; \underbrace{c_1\,\frac{\partial c_1}{\partial m}}_{\text{inntektsledd}}

Ledd for ledd:

- $\partial c_1/\partial p_1$ — totaleffekten: hvordan etterspørselen faktisk endres når prisen stiger med én krone.
- $\partial c_1^s/\partial p_1$ — substitusjonsleddet: endringen når konsumenten kompenseres slik at den gamle kurven fortsatt er overkommelig. Alltid $\le 0$ .
- $c_1\,\partial c_1/\partial m$ — inntektsleddet: hvor mye kjøpekraft som går tapt (mengden $c_1$ per krone prisøkning) ganget med hvordan etterspørselen reagerer på inntekt. Minustegnet foran uttrykker at tapt kompensasjon virker som en inntektsnedgang.

Fortegnsanalysen: for et normalt gode er $\partial c_1/\partial m > 0$ , så inntektsleddet trekker negativt, og totaleffekten er utvetydig negativ. For et mindreverdig gode er $\partial c_1/\partial m < 0$ , så inntektsleddet trekker positivt, og totaleffekten er ubestemt uten mer informasjon.

✏️Eksempel 3: Likningen etterregnet på Cobb-Douglas

Vis at Slutsky-likningen holder for $u = c_1^{a}c_2^{1-a}$ , ved å regne ut alle tre leddene.

Totaleffekten. Fra

c_1 = am\,p_1^{-1}

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = -\frac{a\,m}{p_1^{2}}$

Inntektsleddet. Vi vet at $\partial c_1/\partial m = a/p_1$ , og $c_1 = am/p_1$ , så

$c_1\,\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{a\,m}{p_1}\cdot\frac{a}{p_1} = \frac{a^{2}m}{p_1^{2}}$

Substitusjonsleddet. Den kompenserte etterspørselen er etterspørselen med inntekten $m^s(p_1) = m + (p_1 - p_1^0)c_1^0$ , altså

$c_1^s(p_1) = \frac{a\left(m + (p_1 - p_1^0)c_1^0\right)}{p_1}$

Deriver og evaluer i utgangspunktet $p_1 = p_1^0$ , der $m^s = m$ og $\mathrm{d}m^s/\mathrm{d}p_1 = c_1^0 = am/p_1$ :

$\frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} = \frac{a}{p_1}\cdot\frac{\mathrm{d}m^s}{\mathrm{d}p_1} - \frac{a\,m^s}{p_1^{2}} = \frac{a}{p_1}\cdot\frac{am}{p_1} - \frac{am}{p_1^{2}} = \frac{a^{2}m - am}{p_1^{2}} = \frac{a\,m\,(a-1)}{p_1^{2}}$

Siden $0 < a < 1$ , er $(a-1) < 0$ , så substitusjonsleddet er negativt — som teoremet krever, og det gjelder for alle tillatte verdier av $a$ , $m$ og $p_1$ .

Kontroll av likningen:

$\frac{a\,m\,(a-1)}{p_1^{2}} - \frac{a^{2}m}{p_1^{2}} = \frac{a\,m\,(a - 1 - a)}{p_1^{2}} = -\frac{a\,m}{p_1^{2}} \ ✓$

Nøyaktig totaleffekten. Likningen stemmer.

Tolkning i enheter. Begge ledd har enheten enheter av vare 1 per krone prisøkning, og begge er negative for et normalt gode. Regningen viser også hvor mye av totaleffekten hvert ledd står for: substitusjonsleddet utgjør andelen $1 - a$ og inntektsleddet andelen $a$ . Med $a = 0{,}5$ blir de like store — nøyaktig det Eksempel 1 fant med tall.

📝Oppgave 4

Sjanger D

a) Skriv opp Slutsky-likningen for en prisøkning på vare 1, og forklar hva hvert av de tre leddene betyr.
b) Bruk likningen til å avgjøre fortegnet på totaleffekten når vare 1 er et normalt gode. Begrunn hvert ledd.
c) Hva blir konklusjonen dersom vare 1 i stedet er mindreverdig?

Figuren, og hvordan du beskriver den.

Standardfiguren har tre punkter og tre linjer. Sensor forventer at du navngir alt og forklarer bevegelsene — en figur uten forklaring gir ikke uttelling.

- Linje 1, den opprinnelige budsjettlinjen, med helning $-p_1/p_2$ . Optimum er tangeringspunktet $A$ .
- Linje 2, den nye budsjettlinjen etter prisøkningen: brattere (helning $-p_1'/p_2$ ), rotert om skjæringspunktet $m/p_2$ på den loddrette aksen. Optimum er tangeringspunktet $C$ på en lavere indifferenskurve.
- Linje 3, den kompenserte linjen: samme helning som linje 2, men skjøvet utover slik at den går gjennom $A$ . Optimum er tangeringspunktet $B$ .

Bevegelsen $A \to B$ er substitusjonseffekten, $B \to C$ er inntektseffekten. Mål dem langs $c_1$ -aksen med stiplede hjelpelinjer og navngitte piler.

Tre feil å unngå i figuren: rotere den kompenserte linjen gjennom det nye punktet i stedet for det gamle; tegne den kompenserte linjen med gammel helning; og bytte om på hvilken bevegelse som er hvilken effekt.

📝Oppgave 5

Sjanger D

Prisen på kollektivreiser stiger, mens prisen på alt annet er uendret. Konsumenten har normale goder.

a) Beskriv figuren du ville tegnet, med alle tre linjene, alle tre punktene og begge pilene navngitt.
b) Forklar i ord hvorfor punktet $B$ ligger til venstre for $A$ .
c) Forklar hvorfor $C$ ligger til venstre for $B$ , og hvilken forutsetning som brukes.

Løkke 4 — Når intuisjonen svikter (~14 min)

Tilfelle 1 — kryssprisen, der de to effektene nuller hverandre ut.

I kap. 2.2 fant vi at $\partial c_1/\partial p_2 = 0$ for Cobb-Douglas, og lovet en forklaring. Nå har vi verktøyet.

Stiger $p_2$ , gjelder krysspris-versjonen av likningen:

$\frac{\partial c_1}{\partial p_2} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_2} - c_2\,\frac{\partial c_1}{\partial m}$

Substitusjonsleddet er nå positivt: vare 2 er blitt relativt dyrere, så konsumenten vrir seg mot vare 1. Inntektsleddet er negativt, siden vare 1 er normal og kjøpekraften faller. For Cobb-Douglas er de to nøyaktig like store.

✏️Eksempel 4: De to effektene nuller hverandre ut

En husholdning har $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ , $m = 1\,200$ , $p_1 = 2$ og $p_2 = 5$ . Prisen på vare 2 stiger til 6. Dekomponer virkningen på $c_1$ .

Punkt $A$ :

c_1^A = 300

c_2^A = 120

(som i Eksempel 1).

Kompensasjonen. Nå er det $p_2$ som har steget, så kompensasjonen er $(p_2' - p_2)c_2^A = 1\cdot 120 = 120$ kroner, altså $m^s = 1\,320$ . Kontroll: den gamle kurven koster nå $2\cdot 300 + 6\cdot 120 = 600 + 720 = 1\,320$ ✓.

Punkt $B$ (nye priser, kompensert):

$c_1^B = \frac{0{,}5\cdot 1\,320}{2} = 330, \qquad c_2^B = \frac{0{,}5\cdot 1\,320}{6} = 110$

Punkt $C$ (nye priser, opprinnelig inntekt):

$c_1^C = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{2} = 300, \qquad c_2^C = \frac{0{,}5\cdot 1\,200}{6} = 100$

Effektene på $c_1$ :

$\text{SE} = 330 - 300 = +30, \qquad \text{IE} = 300 - 330 = -30, \qquad \text{TE} = 0$

Tolkning i enheter. Substitusjonseffekten er positiv med 30 enheter: vare 2 er blitt dyrere, så husholdningen vrir seg mot vare 1. Inntektseffekten er negativ med 30 enheter: hun har ikke fått de 120 kronene, så realinntekten er lavere, og siden vare 1 er normal, kutter hun. De to er nøyaktig like store, så nettoresultatet på $c_1$ er null.

Er hun uberørt? Nei. Konsumet av vare 2 faller fra 120 til 100 enheter, og hun havner på en lavere indifferenskurve. Nyttenivået går fra $\sqrt{300\cdot 120} \approx 189{,}7$ til $\sqrt{300\cdot 100} \approx 173{,}2$ . Uendret mengde av ett gode er ikke uendret velferd.

Figur i ord. $c_1$ vannrett, $c_2$ loddrett. Den gamle linjen går fra $(0,240)$ til $(600,0)$ ; den nye fra $(0,200)$ til $(600,0)$ — samme skjæring på $c_1$ -aksen, lavere skjæring på $c_2$ -aksen, altså en rotasjon om punktet $(600,0)$ . Den kompenserte linjen er stiplet, parallell med den nye, og går gjennom $A = (300,120)$ ; den treffer aksene ved $(0,220)$ og $(660,0)$ . Punktene $A = (300,120)$ , $B = (330,110)$ og $C = (300,100)$ merkes, og $A$ og $C$ forbindes med en stiplet loddrett linje merket « $c_1$ uendret». Pilen $A \to B$ peker mot høyre (positiv substitusjonseffekt), pilen $B \to C$ mot venstre.

📝Oppgave 6

Prisen på vare 2 faller, mens $p_1$ og $m$ er uendret. Konsumenten har Cobb-Douglas-preferanser.

a) Hvilket fortegn har substitusjonseffekten på $c_1$ ? Begrunn.
b) Hvilket fortegn har inntektseffekten på $c_1$ ? Begrunn, og si hvilken forutsetning du bruker.
c) Hva blir totaleffekten, og hva er den økonomiske lærdommen?

Tilfelle 2 — mindreverdige goder og Giffen-muligheten.

For et mindreverdig gode trekker inntektseffekten motsatt vei av substitusjonseffekten. Prisen stiger, konsumenten blir fattigere, og fordi godet er mindreverdig, kjøper hun mer av det når hun er fattigere.

Er den virkningen sterk nok, kan totaleffekten bli positiv: etterspørselen stiger når prisen stiger. Et slikt gode kalles et Giffen-gode. Det er en logisk mulighet innenfor modellen, ikke en kuriositet man kan avvise — men det er aldri testet i noen av arkivsettene, og Cobb-Douglas kan aldri gi det, siden $\partial c_1/\partial p_1 = -am/p_1^2 < 0$ alltid.

Det du trenger fra dette, er fortegnsdisiplinen: si alltid hvilken forutsetning som gir inntektseffekten sitt fortegn. «Etterspørselen faller fordi prisen steg» er ikke et fullstendig svar; «etterspørselen faller fordi substitusjonseffekten er negativ og inntektseffekten også er negativ når godet er normalt» er.

Fotnote om den andre kompensasjonsmåten.

Det finnes en alternativ konvensjon, kalt Hicks-kompensasjon, der konsumenten kompenseres slik at hun oppnår samme nyttenivå som før prisendringen, i stedet for samme godekurv. Da glir det kompenserte punktet langs den opprinnelige indifferenskurven i stedet for å ligge på en linje gjennom det gamle punktet.

Alle kvalitative konklusjoner i dette kapitlet er de samme under begge konvensjoner: substitusjonseffekten er aldri positiv for godet som ble dyrere, og inntektseffektens fortegn avhenger av normalitet. Tallene blir litt forskjellige, siden kompensasjonsbeløpene er ulike.

Kurset bruker Slutsky-varianten — samme kurv — og det er den du bør bruke. V2025-veiledningen sier at den andre varianten godtas, men den er ikke hovedsporet, og du sparer tid på å holde deg til én konvensjon. Denne fotnoten er eneste sted i kapitlet der alternativet omtales.

📝Oppgave 7

Sjanger D i full kjede

En pendlerhusholdning har nyttefunksjonen $u = c_1^{0{,}5}c_2^{0{,}5}$ , der $c_1$ er drivstoff (liter) og $c_2$ er alt annet konsum. Inntekten er $m = 1\,200$ kroner, og prisene er $p_1 = 6$ og $p_2 = 4$ kroner. En avgiftslettelse senker drivstoffprisen til $p_1' = 4$ kroner.

a) Finn tilpasningen før og etter, og regn ut totaleffekten på drivstoffkonsumet.
b) Dekomponer totaleffekten i substitusjons- og inntektseffekt med Slutsky-kompensasjon. Vis kompensasjonsbeløpet.
c) Forklar fortegnet på hver effekt, og si hvilken forutsetning hvert fortegn hviler på.
d) Beskriv figuren du ville tegnet.

📝Oppgave 8

(Krevende. Tester fortegnsdisiplin i hele parameterrommet.)

a) Vis generelt at substitusjonsleddet for Cobb-Douglas er $\displaystyle \frac{am(a-1)}{p_1^{2}}$ , og avgjør fortegnet for alle tillatte verdier av $a$ .
b) Hvor stor andel av totaleffekten utgjør substitusjonsleddet? Uttrykk andelen ved $a$ , og tolk resultatet.
c) Kan et Cobb-Douglas-gode være et Giffen-gode? Begrunn ved å regne ut totaleffekten.

Typiske feil i denne sjangeren

Bruke den andre kompensasjonskonvensjonen som hovedspor. Kurset bruker Slutsky-kompensasjon: råd til samme godekurv. Kompenserer du til samme nyttenivå, får du andre tall. Sensor godtar det, men du sparer tid og unngår regnefeil på å holde deg til én konvensjon — og den kompenserte linjen skal gå gjennom det gamle punktet.

#1 — levere figuren uten tolkning. Tre punkter og to piler er ikke et svar. Sensorveiledningene krever at grafiske og matematiske svar tolkes: hva skjer i hvert skritt, og hvorfor.

Feil retning på substitusjonseffekten. Ved en prisøkning på vare 1 må $B$ ligge til venstre for $A$ . Kontroller mot avslørte preferanser: bare kurver med mindre $c_1$ er blitt overkommelige.

Rotere den kompenserte linjen gjennom feil punkt. Den skal gå gjennom det gamle konsumpunktet $A$ , ikke gjennom det nye. Går den gjennom $C$ , har du regnet en annen dekomponering enn den oppgaven ber om.

Glemme normalitetsforbeholdet på inntektseffekten. Substitusjonseffektens fortegn krever ingen antakelse om godets art; inntektseffektens gjør det. Skriv forutsetningen ut — det er et selvstendig poeng, og å plassere forbeholdet på feil ledd viser at mekanismen ikke sitter.

Blande hvilken bevegelse som er hvilken effekt. $A \to B$ er substitusjon (ny helning, gammel kurv overkommelig), $B \to C$ er inntekt (parallelt skift). Merk pilene i figuren, hver gang.

Tro at uendret mengde betyr uendret velferd. Når krysseffekten er null, er konsumenten likevel dårligere stilt av en prisøkning: budsjettmengden er mindre, og nyttenivået faller. Si det.

Konkludere bestemt for mindreverdige goder. Da er totaleffekten ubestemt, ikke positiv. Skriv betingelsen ut: bare hvis inntektsleddet dominerer, snur totaleffekten.

Begrepsbank

Blokkene under er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet over.

Avslørte preferanser

X

Kompensert etterspørsel

c_1^s

Kompensasjonsbeløpet

p_1

Normalt gode

\partial c_1/\partial m > 0

Mindreverdig gode

\partial c_1/\partial m < 0

Giffen-gode

\partial c_1/\partial p_1 > 0

Kompensert budsjettlinje

A

Egenpriseffekt

\partial c_1/\partial p_1

Krysspriseffekt

\partial c_1/\partial p_2

Realinntekt (kjøpekraft)

m

Nyttevirkningen av en prisendring

En prisøkning uten kompensasjon gjør konsumenten svakt dårligere stilt, og strengt dårligere stilt hvis hun kjøpte noe av godet. Begrunnelsen er enkel og krever ingen regning: budsjettmengden krymper. Alle kurver hun kan velge etter prisøkningen, kunne hun også valgt før, mens noen av de gamle er falt bort. Hun kan derfor ikke oppnå høyere nytte, og hvis hennes gamle optimum er blitt uoverkommelig, oppnår hun strengt lavere. Merk at dette gjelder uansett hva som skjer med mengdene. Selv når totaleffekten på et gode er null, har nyttenivået falt. Dette resonnementet blir helt sentralt i beholdningsøkonomien i kap. 3.2, der konklusjonen faktisk kan snu.

Slutsky-dekomponering

A

Punktene A, B og C

A

Loven om etterspørsel

Loven om etterspørsel — at etterspørselen faller når prisen stiger — er ikke en logisk nødvendighet, men en konklusjon som krever en forutsetning. Slutsky-likningen viser hvorfor: substitusjonsleddet er alltid negativt, men inntektsleddet kan snu fortegn. For normale goder trekker begge nedover, og loven holder entydig. For sterkt mindreverdige goder kan den brytes. Dette er broen til ECON1210, der etterspørselskurven ble postulert som fallende. Her er den utledet — og forbeholdet gjort eksplisitt.

Substitutter og komplementer

\partial c_1/\partial p_2 > 0

Rotasjon mot parallellskift

A

Når det blir tre effekter

m

Kontrollrutinen i Slutsky-oppgaver

A

Ubestemt mot null

\partial c_1/\partial p_2 = 0

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.