2.1 Nyttemaksimering med tolkningskrav

$$60\,c_1 + 40\,c_2 = 3\,000$$

Trinn 2 — regn ut. Løst for $c_2$:

$$c_2 = \frac{3\,000}{40} - \frac{60}{40}\,c_1 = 75 - 1{,}5\,c_1$$

- Skjæring med den loddrette aksen (alt på reiser): $c_2 = 3\,000/40 = 75$ billetter.
- Skjæring med den vannrette aksen (alt på mat): $c_1 = 3\,000/60 = 50$ kilo.
- Helning: $-p_1/p_2 = -60/40 = -1{,}5$.

Trinn 3 — tolk i enheter. Tallverdien $1{,}5$ har enheten billetter per kilo: for å kjøpe én kilo mat mer må studenten gi avkall på 1,5 kollektivbilletter. Det er markedets pris på mat målt i reiser — helt uavhengig av hva studenten selv synes om mat og reiser.

Figur i ord. Tegn $c_1$ (kilo mat) langs den vannrette aksen og $c_2$ (billetter) langs den loddrette. Budsjettlinjen er en rett linje fra punktet $(0, 75)$ på den loddrette aksen ned til $(50, 0)$ på den vannrette. Budsjettmengden er den fylte trekanten mellom linjen og de to aksene. Punktet $(20, 45)$ ligger på linjen (kontroll: $60\cdot 20 + 40\cdot 45 = 1\,200 + 1\,800 = 3\,000$), mens $(20, 30)$ ligger innenfor og lar 600 kroner stå ubrukt. Marker begge punktene med stiplede hjelpelinjer ned til aksene.

$$\max_{c_1,\,c_2}\ u(c_1,c_2) \quad \text{gitt} \quad p_1c_1 + p_2c_2 = m$$

Bibetingelsen skrives med likhet fordi preferansene er monotone: ubrukte kroner kan alltid omsettes i mer nytte, så optimum ligger på budsjettlinjen.

Trinn 2 — utled. Lagrange-funksjonen:

$$\mathcal{L} = u(c_1,c_2) - \lambda\,(p_1c_1 + p_2c_2 - m)$$

Deriver og sett lik null:

$$u'_1 = \lambda p_1, \qquad u'_2 = \lambda p_2, \qquad p_1c_1 + p_2c_2 = m$$

Del de to første på hverandre. $\lambda$ elimineres, og vi står igjen med

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$$

Sammen med budsjettbetingelsen gir dette to likninger i de to ukjente $c_1$ og $c_2$.

Trinn 3 — tolk i enheter. Venstresiden $u'_1/u'_2$ er MSB: hvor mange enheter av vare 2 konsumenten er villig til å gi fra seg for én enhet mer av vare 1, uten å bli dårligere stilt. Høyresiden $p_1/p_2$ er hvor mange enheter av vare 2 markedet krever for det samme byttet. I optimum er de to like: konsumentens egen verdsetting av den siste enheten stemmer nøyaktig med prisen markedet setter.

En bonus fra utledningen: siden $u'_1 = \lambda p_1$ og $u'_2 = \lambda p_2$, er $\lambda = u'_1/p_1 = u'_2/p_2$. Multiplikatoren er altså marginalnytten per krone, og den er den samme uansett hvilken vare den siste kronen brukes på. Det er skyggeprisen på budsjettet fra kap. 1.3: den ekstra nytten en krone til i inntekt ville gitt.

Figur i ord. I et diagram med $c_1$ vannrett og $c_2$ loddrett tegnes budsjettlinjen fra $(0, m/p_2)$ til $(m/p_1, 0)$. Indifferenskurvene krummer mot origo. Optimum er punktet $E$ der den høyeste oppnåelige indifferenskurven berører linjen i ett punkt. Stiplede hjelpelinjer fra $E$ ned til $c_1^*$ på den vannrette aksen og bort til $c_2^*$ på den loddrette. Kurver som ligger lenger ut, er ikke oppnåelige; kurver som skjærer linjen, gir lavere nytte.

$$\max\ c_1^{1/2}c_2^{1/2} \quad \text{gitt} \quad 3c_1 + 6c_2 = 180$$

Likhet på grunn av monotoni.

Trinn 2 — utled. Marginalnyttene:

$$u'_1 = \tfrac{1}{2}c_1^{-1/2}c_2^{1/2}, \qquad u'_2 = \tfrac{1}{2}c_1^{1/2}c_2^{-1/2}$$

MSB blir da

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{\tfrac{1}{2}c_1^{-1/2}c_2^{1/2}}{\tfrac{1}{2}c_1^{1/2}c_2^{-1/2}} = \frac{c_2}{c_1}$$

Tilpasningsbetingelsen $u'_1/u'_2 = p_1/p_2$ gir

$$\frac{c_2}{c_1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad c_1 = 2c_2$$

Sett inn i budsjettet: $3(2c_2) + 6c_2 = 180$, altså $12c_2 = 180$ og $c_2^* = 15$. Da er $c_1^* = 30$.

Kontroll: $3\cdot 30 + 6\cdot 15 = 90 + 90 = 180$ ✓. Og MSB i optimum: $c_2/c_1 = 15/30 = 0{,}5 = p_1/p_2$ ✓.

Trinn 3 — tolk i enheter. I optimum er MSB lik $0{,}5$ togbilletter per reservedel: syklisten er villig til å gi fra seg en halv billett for én reservedel til. Markedet krever nøyaktig det samme — en del koster 3 kroner, en billett 6, så en del «koster» en halv billett. Byttet er dermed uinteressant i begge retninger, og det er nettopp det som gjør punktet optimalt.

Legg også merke til utgiftsfordelingen: 90 kroner på hver vare. Det er ikke tilfeldig for denne typen nyttefunksjon, men det poenget tar vi systematisk i kap. 2.2.

Figur i ord. Med $c_1$ (deler) vannrett og $c_2$ (billetter) loddrett går budsjettlinjen fra $(0, 30)$ til $(60, 0)$. Optimumspunktet $E = (30, 15)$ ligger midt på linjen, med stiplede hjelpelinjer til begge akser. Indifferenskurven gjennom $E$ krummer mot origo og berører linjen akkurat der.

Høyresiden. Markedet krever 1,20 kroner av «alt annet» for hver ekstra kilowattime. Siden $p_2 = 1$, er «alt annet» målt direkte i kroner, og bytteforholdet blir 1,20 kroner per kilowattime.

Venstresiden. I optimum er husholdningens marginale betalingsvilje for den siste kilowattimen også 1,20 kroner. Hun er akkurat villig til å gi avkall på 1,20 kroner av annet forbruk for én kilowattime til — ikke mer, ikke mindre.

Hvorfor likhet er optimum. Anta at hun i stedet hadde verdsatt den siste kilowattimen til 2 kroner. Da kunne hun kuttet 1,20 kroner av annet forbruk, kjøpt én kilowattime til, og sittet igjen med en gevinst verdt 0,80 kroner i «alt annet»-enheter. Budsjettet holder fortsatt, men nytten har økt — altså var utgangspunktet ikke optimalt. Motsatt: verdsatte hun den siste kilowattimen til bare 0,50 kroner, ville hun tjent på å kutte forbruket og bruke pengene på noe annet. Bare når verdsettingen er nøyaktig 1,20, finnes det ingen slik gevinst i noen retning.

*Merk hva vi ikke har sagt. Vi har ikke sagt at strøm er «verdt 1,20 kroner» for husholdningen generelt. De første kilowattimene — de som holder kjøleskapet og varmen i gang — er verdt langt mer. Betingelsen gjelder bare den siste*, marginale enheten. Denne presiseringen er verdt et poeng når oppgaven ber om økonomisk forklaring.

Figur i ord. Med kilowattimer vannrett og kroner til «alt annet» loddrett faller budsjettlinjen med helning $-1{,}20$. Optimumspunktet $E$ er der en indifferenskurve akkurat berører linjen. Tegn i tillegg en tenkt tangent til indifferenskurven i et punkt $D$ lenger til venstre på linjen: der er indifferenskurven brattere enn linjen, altså MSB større enn 1,20, og pilen langs budsjettlinjen mot høyre viser hvor husholdningen kan bevege seg for å komme opp på en høyere kurve.

$$\frac{p_1}{p_2} = \frac{10}{5} = 2$$

med enheten enheter vare 2 per enhet vare 1. Kontroller først at punktene faktisk ligger på budsjettlinjen:

- $P$: $10\cdot 5 + 5\cdot 30 = 50 + 150 = 200$ ✓
- $Q$: $10\cdot 12 + 5\cdot 16 = 120 + 80 = 200$ ✓
- $R$: $10\cdot 8 + 5\cdot 24 = 80 + 120 = 200$ ✓

Alle tre er altså tillatte og bruker opp hele budsjettet. Forskjellen ligger utelukkende i helningen på indifferenskurven.

Trinn 2 — vurder hvert punkt.

I $P$ er $\text{MSB} = 4 > 2$. Konsumenten er villig til å gi 4 enheter vare 2 for én enhet vare 1, mens markedet bare krever 2. Byttet er lønnsomt: gir hun fra seg 2 enheter vare 2, får hun én enhet vare 1, og hun sitter igjen med en gevinst tilsvarende 2 enheter vare 2 i verdsetting. Ikke optimum — hun bør bevege seg langs linjen mot mer $c_1$.

I $Q$ er $\text{MSB} = 1 < 2$. Nå er hun bare villig til å gi 1 enhet vare 2 for én enhet vare 1, mens markedet krever 2. Hun har kjøpt for mye av vare 1. Ikke optimum — hun bør bevege seg mot mindre $c_1$ og mer $c_2$.

I $R$ er $\text{MSB} = 2 = p_1/p_2$. Verdsettingen stemmer med markedet, og ingen bevegelse langs linjen lønner seg. Optimum.

Legg merke til konsistensen: MSB faller fra 4 i $P$ ($c_1 = 5$) via 2 i $R$ ($c_1 = 8$) til 1 i $Q$ ($c_1 = 12$). Det er nøyaktig avtakende MSB, altså konvekse preferanser.

Trinn 3 — figur i ord. Tegn $c_1$ vannrett og $c_2$ loddrett. Budsjettlinjen går fra $(0, 40)$ til $(20, 0)$ med helning $-2$. Marker $P$, $R$ og $Q$ på linjen, i den rekkefølgen fra venstre mot høyre, med stiplede hjelpelinjer til begge akser. Gjennom $P$ tegnes en indifferenskurve som skjærer linjen brattere enn den (den krysser altså linjen); gjennom $Q$ en som skjærer slakere; gjennom $R$ en som akkurat berører linjen. En pil langs budsjettlinjen fra $P$ mot høyre og en fra $Q$ mot venstre peker begge mot $R$.

$$\max\ c_1c_2 \quad \text{gitt} \quad 5c_1 + 10c_2 = 200$$

Trinn 2 — utled. $u'_1 = c_2$ og $u'_2 = c_1$, så $\text{MSB} = c_2/c_1$. Tilpasningsbetingelsen:

$$\frac{c_2}{c_1} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad c_1 = 2c_2$$

Innsatt i budsjettet: $5(2c_2) + 10c_2 = 20c_2 = 200$, altså $c_2^* = 10$ og $c_1^* = 20$. Kontroll: $5\cdot 20 + 10\cdot 10 = 100 + 100 = 200$ ✓. Nyttenivået er $u = 20\cdot 10 = 200$.

Trinn 3 — tolk. I optimum er $\text{MSB} = 10/20 = 0{,}5$ enheter vare 2 per enhet vare 1, nøyaktig lik markedets bytteforhold $5/10 = 0{,}5$. Konsumentens verdsetting av den siste enheten vare 1 stemmer med prisen.

b) Velg et punkt lenger til venstre på linjen, for eksempel $D = (8, 16)$. Kontroll at det ligger på linjen: $5\cdot 8 + 10\cdot 16 = 40 + 160 = 200$ ✓.

I $D$ er $\text{MSB} = c_2/c_1 = 16/8 = 2$, mens markedets bytteforhold er $0{,}5$. Konsumenten er altså villig til å gi fra seg 2 enheter vare 2 for én enhet vare 1, mens markedet bare krever en halv. Byttet er sterkt lønnsomt, og hun bør flytte seg mot mer $c_1$.

Vi kan vise gevinsten direkte: nyttenivået i $D$ er $8\cdot 16 = 128$, mot 200 i optimum. Beveger hun seg langs linjen fra $D$ mot høyre, stiger nytten hele veien fram til $(20, 10)$.

c) Ta et punkt strengt innenfor, for eksempel $(8, 10)$: her brukes $5\cdot 8 + 10\cdot 10 = 140$ kroner, og 60 kroner står ubrukt. Med monotone preferanser kan konsumenten da kjøpe mer av minst én vare — for eksempel 12 enheter mer av vare 1 for de 60 kronene — og komme til $(20, 10)$, som gir strengt høyere nytte ($200 > 80$). Et punkt som lar penger stå ubrukt kan derfor aldri være optimalt, og det er nettopp derfor kurset skriver budsjettbetingelsen med likhet.

Figur i ord. Budsjettlinjen går fra $(0, 20)$ til $(40, 0)$ med helning $-0{,}5$. Optimum $E = (20, 10)$ ligger midt på, med stiplede hjelpelinjer til aksene, og indifferenskurven $c_1c_2 = 200$ berører linjen der. Punktet $D = (8, 16)$ ligger oppe til venstre på linjen; indifferenskurven $c_1c_2 = 128$ gjennom $D$ krysser budsjettlinjen brattere enn linjen selv. Punktet $(8, 10)$ ligger tydelig innenfor linjen, og en pil derfra rett opp og til høyre viser at hele området mellom det punktet og linjen er tilgjengelig og bedre.