1.3 Lagrange- og innsettingsmetoden

- Kap. 1.2 — nyttefunksjonen, marginalnyttene $u'_1$ og $u'_2$, og den marginale substitusjonsbrøken.
- Kap. 1.1 — notasjonen og budsjettbetingelsen.
- Sist du var her fikk du disse tre, som du bruker i dag:
- budsjettbetingelsen $p_1c_1 + p_2c_2 = m$, som holder med likhet fordi mer er bedre;
- marginalnytten $u'_1$ = den partielle deriverte av $u$ med hensyn på $c_1$;
- MSB $= u'_1/u'_2$ = hvor mange enheter av vare 2 konsumenten vil gi for én enhet mer av vare 1.
- Matematikk: derivasjon av potenser og logaritmer, og kjerneregelen. Begge friskes opp i løkke 1.

Tilbake til de 400 kronene i butikken. Du vil ha det best mulig, men du kan ikke bruke mer enn du har. Det er et maksimeringsproblem med en bibetingelse, og matematikken har to standardmåter å løse slike:

- Innsetting: bruk begrensningen til å kvitte deg med én variabel, og maksimer det som er igjen. Enkelt, men krever at begrensningen kan løses ut.
- Lagrange: bygg begrensningen inn i en ny funksjon med en ekstra ukjent, og deriver alt. Litt mer maskineri, men virker alltid — og gir en bonus: den ekstra ukjente har en økonomisk tolkning.

Vi lærer begge, og vi lærer når hver av dem er den rette. Vi bruker samme problem hele veien slik at du ser at svaret blir det samme.

Løkke 1 — Verktøyene: partiell derivasjon og kjerneregelen (~8 min)

To regneteknikker holder for hele boka.

Partiell derivasjon. Deriver med hensyn på én variabel og behandle de andre som konstanter. For $u = c_1^{1/4}c_2^{3/4}$:

$$u'_1 = \frac{1}{4}c_1^{-3/4}c_2^{3/4}, \qquad u'_2 = \frac{3}{4}c_1^{1/4}c_2^{-1/4}.$$

Trikset er å behandle $c_2^{3/4}$ som et tall når du deriverer med hensyn på $c_1$.

Kjerneregelen. Deriverer du en sammensatt funksjon, ganger du med den indre deriverte: $\displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. To former du møter hele tiden:

$$\frac{d}{dc_1}\ln(ac_1) = \frac{1}{c_1}, \qquad \frac{d}{dc_1}\sqrt{c_1} = \frac{1}{2\sqrt{c_1}}.$$

Den første kan du også få ved å skrive $\ln(ac_1) = \ln a + \ln c_1$ først — konstanten forsvinner ved derivasjon.

Ett formelt begrep før vi starter: en bibetingelse er en likning løsningen må oppfylle. Budsjettbetingelsen er en bibetingelse; kravet om å produsere en gitt mengde er en annen. Funksjonen vi maksimerer eller minimerer, kalles målfunksjonen.

Løkke 2 — Innsettingsmetoden (~10 min)

Framgangsmåten i tre steg:

1. Løs bibetingelsen for én av variablene. Budsjettbetingelsen $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ gir $c_2 = (m - p_1c_1)/p_2$.
2. Sett uttrykket inn i målfunksjonen. Nå er nytten en funksjon av én variabel.
3. Deriver med hensyn på den ene variabelen, sett lik null, og løs.

Metoden er helt legitim på eksamen i nyttemaksimeringsoppgaver — sensor godtar den — og den er ofte raskere når nyttefunksjonen er enkel. Den har to begrensninger: den fungerer bare når bibetingelsen kan løses ut på en håndterlig form, og den gir deg ikke multiplikatoren $\lambda$, som selv er et eksamenstema.

Løkke 3 — Lagrange-metoden (~12 min)

Lagrange-metoden løser samme problem uten å eliminere noen variabel. I stedet legger vi til én.

Steg 1: sett opp Lagrange-funksjonen. Ta målfunksjonen, og trekk fra multiplikatoren $\lambda$ ganget med bibetingelsen skrevet slik at den er null når den er oppfylt:

$$\mathcal{L}(c_1,c_2,\lambda) = u(c_1,c_2) - \lambda\left(p_1c_1 + p_2c_2 - m\right).$$

Steg 2: deriver med hensyn på alle tre og sett lik null. Dette gir tre førsteordensbetingelser:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} = u'_1 - \lambda p_1 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2} = u'_2 - \lambda p_2 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(p_1c_1 + p_2c_2 - m) = 0.$$

Den siste er bare budsjettbetingelsen tilbake — den er innebygd i metoden, ikke noe du må huske separat.

Steg 3: del de to første på hverandre. Dette er selve håndverksgrepet, og det er her de fleste stopper for tidlig:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{\lambda p_1}{\lambda p_2} = \frac{p_1}{p_2}.$$

Multiplikatoren $\lambda$ forsvinner, og vi står igjen med tilpasningsbetingelsen:

$$\boxed{\;\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}\;}$$

Steg 4: kombiner med budsjettet for å finne tallene.

Hvorfor virker metoden? Betingelsene sier at målfunksjonens nivåkurve — indifferenskurven — har samme helning som bibetingelsen i optimum. Er helningene ulike, kan du bevege deg langs budsjettlinja til en høyere indifferenskurve; da var du ikke i optimum. Tangeringen er altså ikke et tilleggsargument, men det geometriske bildet av likningen.

Tolkning i enheter, som må stå i besvarelsen: venstresiden er hvor mange enheter av vare 2 konsumenten er villig til å gi fra seg for én enhet mer av vare 1. Høyresiden er hvor mange enheter av vare 2 markedet krever for den samme enheten. I optimum er de like — ellers finnes en byttehandel som gjør henne bedre.

— naturlig pausepunkt —

Du har nå selve håndverket: to metoder som gir samme svar, og tilpasningsbetingelsen med enhetstolkning. Resten av kapitlet handler om hva $\lambda$ betyr, og om det ene problemet der innsetting ikke er et alternativ.

Løkke 4 — Hva $\lambda$ betyr: skyggeprisen (~10 min)

Multiplikatoren er ikke bare regneteknisk søppel du kvitter deg med. Den har en presis tolkning:

$$\lambda = \text{hvor mye målfunksjonen øker når bibetingelsen slakkes med én enhet.}$$

I konsumentproblemet er bibetingelsen budsjettet, så $\lambda$ er hvor mye nytten øker av én ekstra krone — marginalnytten av penger. Det er derfor $\lambda$ kalles skyggeprisen på bibetingelsen.

Førsteordensbetingelsene sier det samme på en annen måte. Skriv om $u'_1 = \lambda p_1$ til

$$\lambda = \frac{u'_1}{p_1} = \frac{u'_2}{p_2}.$$

Nytten per krone brukt skal være den samme uansett hvilket gode du bruker kronen på. Var den ikke det, ville du flyttet en krone dit den ga mer. Dette er den samme innsikten som butikkeksemplet i innledningen — nå som en likning.

Det pene resultatet fra V2024. For logaritmisk nytte $u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2$ blir

$$\lambda = \frac{1}{m}.$$

Utledningen tar tre linjer: førsteordensbetingelsen $a/c_1 = \lambda p_1$ gir $p_1c_1 = a/\lambda$, og på samme måte $p_2c_2 = (1-a)/\lambda$. Legg sammen og bruk budsjettet:

$$m = p_1c_1 + p_2c_2 = \frac{a + (1-a)}{\lambda} = \frac{1}{\lambda} \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{1}{m}.$$

Merk hvor forsiktig man må være med å tolke tallnivået. Nyttenivået er ordinalt (kap. 1.2), og en monoton transformasjon endrer $\lambda$: bruker du potensformen $u = c_1^ac_2^{1-a}$ i stedet for logaritmeformen, blir $\lambda = u^*/m$ der $u^*$ er nytten i optimum — et helt annet tall. Det som ikke endres, er tilpasningsbetingelsen og etterspørselen. Tolkningen «nytteøkning per ekstra krone» er derfor riktig, men tallet betyr bare noe innenfor den nyttefunksjonen du har valgt.

Løkke 5 — Når innsetting ikke er et alternativ (~10 min)

Bedriftens kostnadsminimeringsproblem ser slik ut: produsér en gitt mengde $\bar y$ så billig som mulig, gitt teknologien og faktorprisene $r$ (kapital) og $w$ (arbeid):

$$\min_{K,\,L}\; rK + wL \quad \text{gitt} \quad F(K,L) = \bar y.$$

Lagrange-funksjonen bygges likt som før, med kostnaden som målfunksjon:

$$\mathcal{L} = rK + wL - \lambda\left(F(K,L) - \bar y\right).$$

Førsteordensbetingelsene er $r = \lambda F'_K$ og $w = \lambda F'_L$, og deler vi dem på hverandre:

$$\frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}.$$

Venstresiden kalles den marginale tekniske substitusjonsbrøken (MTSB) — hvor mye arbeid du kan spare ved å bruke én enhet mer kapital og fortsatt lage det samme. Høyresiden er prisforholdet mellom faktorene. Betingelsen sier at kroneverdien av det siste du putter inn, skal være like stor uansett hvilken faktor du velger.

Hvorfor Lagrange er metoden her. Bibetingelsen $F(K,L) = \bar y$ er en implisitt nivåkurve i teknologien. For de fleste teknologier finnes ingen pen lukket form for $L$ som funksjon av $K$, og der den finnes, blir uttrykket tungt å derivere. Enda viktigere: sensorveiledningen for V2025 sier eksplisitt at innsetting ikke er tilgjengelig her, fordi det er betingelsen $F'_K/F'_L = r/w$ oppgaven ber om — og den får du bare ved å kombinere førsteordensbetingelsene. Å forsøke innsetting er feil #5 i bokas feilregister.

Vær presis på nyansen: for en teknologi som $F(K,L) = \sqrt{KL}$ kan man faktisk løse ut $L = \bar y^2/K$, og innsetting gir riktig tallsvar. Men du mister betingelsen sensor spør etter, og metoden bryter sammen så snart teknologien er mindre snill. Lær Lagrange-sporet, og bruk det hver gang.

Til sist en nyttefunksjon med en spesiell egenskap. Kvasi-lineær nytte har formen $u = f(c_1) + c_2$: vare 2 går rett inn, uten krumning. Da er $u'_2 = 1$, og tilpasningsbetingelsen blir særlig enkel. For $u = 2\sqrt{c_1} + c_2$ er $u'_1 = 1/\sqrt{c_1}$, så

$$\frac{1}{\sqrt{c_1}} = \frac{p_1}{p_2} \;\Longrightarrow\; c_1 = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2.$$

Etterspørselen etter vare 1 avhenger bare av prisforholdet, ikke av inntekten — så lenge inntekten er stor nok til at det blir noe igjen til vare 2. Denne formen ble testet i V2023, og vi bruker den igjen når vi regner ut likevektspriser i kap. 4.2.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.