1.2 Preferanser, nytte og indifferenskurver

- Kap. 1.1 — særlig notasjonsstandarden ($c_1, c_2$ for konsum, $p_1, p_2$ for priser, $m$ for inntekt) og skillet mellom å postulere en kurve og å utlede den.
- Sist du var her fikk du to formler du bruker igjen med en gang: budsjettbetingelsen $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ og observasjonen at etterspørselen er løsningen av et maksimeringsproblem. Selve maksimeringen kommer i kap. 1.3 — her bygger vi målfunksjonen den skal maksimere.
- Matematikk: derivasjon av potens- og logaritmefunksjoner. Partiell derivasjon forklares fra bunnen i løkke 3 nedenfor, så du trenger den ikke på forhånd.

Du står foran to handlekurver på et bord. I den ene ligger fire kilo laks og ni kilo poteter; i den andre ni kilo laks og fire kilo poteter. Du får velge én. Du nøler litt, og sier så: «Egentlig er de like gode for meg.»

Den setningen er alt du trenger for å komme i gang med dette kapitlet. Den sier ingenting om hvor lykkelig du blir — bare at du rangerer de to kurvene likt. Hele konsumentteorien i ECON2220 er bygget på slike rangeringer, og på tre spørsmål: hvilke rangeringer er fornuftige å tillate, hvordan skriver vi dem som en funksjon, og hva ser rangeringen ut som i et diagram?

Vi tar de tre i tur og orden.

Løkke 1 — Preferanser og de forutsetningene vi faktisk trenger (~8 min)

Utgangspunktet er ikke tall, men en rangering: gitt to godekurver kan konsumenten si hvilken hun foretrekker, eller at hun er likegyldig. Vi skriver «kurv $X$ er minst like god som kurv $Y$» og bygger alt annet på det.

For at rangeringen skal være til å regne med, kreves to ting:

- Fullstendighet: for hvilke som helst to kurver kan konsumenten rangere dem. Ingen kombinasjon får svaret «vet ikke».
- Transitivitet: foretrekker hun $X$ framfor $Y$, og $Y$ framfor $Z$, så foretrekker hun $X$ framfor $Z$. Uten dette kunne hun gå i ring og aldri velge.

To andre egenskaper er ikke logiske krav, men antakelser vi gjør fordi de passer godene vi studerer:

- Monotoni («mer er bedre»): mer av et gode, uten mindre av det andre, er bedre. Denne antakelsen er grunnen til at budsjettbetingelsen alltid holder med likhet — det er aldri optimalt å la penger stå ubrukt når mer alltid er bedre.
- Lokalt umettelige preferanser: hvor liten omegn vi enn ser på rundt en kurv, finnes det en kurv der som er strengt bedre. Dette er en svakere variant av «mer er bedre», og det er nettopp denne varianten som dukker opp i forutsetningslisten til velferdsteoremene i kap. 4.3. Merk deg navnet nå; du får bruk for det.

Løkke 2 — Nyttefunksjonen er en rangering, ikke en måling (~10 min)

En nyttefunksjon $u(c_1,c_2)$ er en praktisk måte å skrive rangeringen: den gir hver godekurv et tall, slik at kurver konsumenten foretrekker, får høyere tall. Det er alt den gjør.

Dette er lettere sagt enn trodd, så vi sier det skarpt: tallene betyr ingenting i seg selv. At $u = 8$ og $u' = 4$, betyr at den første kurven er bedre — ikke at den er «dobbelt så god». Nytte er ordinal (en rangering), ikke kardinal (en måling med enheter som kroner eller kilo). Det finnes ingen enhet nytte måles i.

Konsekvensen er stor og eksamensrelevant: enhver strengt voksende omregning av nyttetallene beskriver de samme preferansene. Erstatt $u$ med $v = 10u$, eller med $v = \ln u$, eller med $v = u^3$: rangeringen mellom to kurver er uendret, fordi en strengt voksende funksjon aldri bytter om på rekkefølgen. En slik omregning kalles en monoton transformasjon.

Løkke 3 — Marginalnytte og den marginale substitusjonsbrøken (~12 min)

For å regne trenger vi å kunne si hvor mye nytten endres når vi øker det ene godet litt. Det er en partiell derivasjon: deriver med hensyn på $c_1$ og behandle $c_2$ som en konstant. Resultatet kalles marginalnytten av vare 1 og skrives $u'_1$ (noen skriver $\partial u/\partial c_1$ — det er samme sak).

Ett eksempel før definisjonen: for $u = c_1^{1/2}c_2^{1/2}$ er

$$u'_1 = \frac{1}{2}c_1^{-1/2}c_2^{1/2}, \qquad u'_2 = \frac{1}{2}c_1^{1/2}c_2^{-1/2}.$$

I den første deriverte er $c_2^{1/2}$ bare en konstant faktor; i den andre er $c_1^{1/2}$ det.

Som vi så i eksempel 1, er tallnivået på marginalnyttene meningsløst alene. Det som har innhold, er forholdet mellom dem:

$$\text{MSB} = \frac{u'_1}{u'_2}.$$

Dette er den marginale substitusjonsbrøken (på engelsk marginal rate of substitution, MRS — vi bruker den norske forkortelsen i hele boka). For $u = c_1^{1/2}c_2^{1/2}$ blir den $c_2/c_1$: bytt inn tallene i formlene over, forkort $\tfrac12$ og potensene, og du står igjen med $c_2/c_1$.

Tolkningen, som må stå i hvert svar: MSB forteller hvor mange enheter av vare 2 konsumenten maksimalt er villig til å gi fra seg for å få én enhet mer av vare 1, uten å komme dårligere ut. Er MSB $= 3$ og godene er kilo laks og kilo poteter, er hun villig til å gi tre kilo poteter for én kilo laks til. Legg merke til enhetene: MSB måles i enheter av vare 2 per enhet vare 1 — det er en byttekurs mellom to varer, ikke en kroneverdi.

Sensor krever nettopp denne setningen. Å skrive «MSB er forholdet mellom marginalnyttene» er å gjenta formelen, og det er feil #2 i bokas feilregister — den nummererte lista over tabber sensor trekker for.

Løkke 4 — Indifferenskurver og likningen for dem (~10 min)

En indifferenskurve samler alle godekurver konsumenten er likegyldig mellom — altså alle $(c_1,c_2)$ med samme nyttenivå $\bar u$. Åpningsbildet i dette kapitlet, de to handlekurvene med fire og ni kilo, var to punkter på samme indifferenskurve.

Kurven har tre egenskaper du skal kunne begrunne, ikke bare hevde:

1. Den faller mot høyre når begge goder er goder (monotoni): skal du få mer av vare 1 og være like godt fornøyd, må du gi fra seg noe av vare 2.
2. Kurver på ulike nyttenivåer kan ikke krysse hverandre. Antar vi at de krysset i et punkt $X$: da ville $X$ ligget på begge kurvene, og alle punkter på den ene kurven ville vært like gode som $X$, som igjen er like god som alle punkter på den andre. Ved transitivitet måtte da alle punktene på begge kurvene være like gode — men kurvene skulle representere ulike nyttenivåer. Motsigelse.
3. Tallverdien av helningen er MSB i punktet. Det følger av at nytten holdes fast langs kurven: gir du fra seg $\Delta c_2$ og får $\Delta c_1$, må tapet og gevinsten i nytte veie hverandre opp.

Den ferdigheten eksamen faktisk ba om i V2025-utsatt, er å løse indifferenskurve-likningen for $c_2$. Oppskriften er mekanisk: sett $u(c_1,c_2) = \bar u$, der $\bar u$ er nyttenivået i det punktet oppgaven gir deg, og løs ut $c_2$.

Løkke 5 — Konveksitet: blandinger er bra (~10 min)

Den siste egenskapen er den som gjør at optimum blir et pent tangeringspunkt i stedet for et hjørne — og den er testet direkte.

Konvekse preferanser betyr at konsumenten liker blandinger: er hun likegyldig mellom to godekurver, er en blanding av de to minst like god som hver av dem. Er blandingen strengt bedre, sier vi at preferansene er strengt konvekse.

Hverdagsanker: du er likegyldig mellom en uke med bare fisk til middag og en uke med bare kjøtt. En uke med litt av hver er da neppe verre — for de fleste er den bedre. Det er hele innholdet i konveksitet.

Geometrisk ser dette slik ut: indifferenskurven krummer mot origo, og linjestykket mellom to punkter på kurven ligger over kurven. Og algebraisk henger det sammen med det vi alt har sett: konveksitet svarer til avtakende MSB langs kurven. Har du mye av vare 1 og lite av vare 2, er du lite villig til å gi mer av vare 2 for enda mer av vare 1 — som er nettopp grunnen til at blandinger vinner.

Sensor krever at konveksitet vises, ikke påstås: en figurbeskrivelse eller et blandingsargument. Å skrive «preferansene er konvekse» uten mer er feil #3 i feilregisteret — egenskap påstått uten begrunnelse.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.