5.2 Kostnadsminimering: Lagrange uten fluktrute

$\min rK + wL$ gitt $F(K,L) = \bar{y}$: problemet der innsetting er umulig, MTSB-tolkningen — og fellen om hva kostnadsminimering IKKE bestemmer.

55 min

10 oppgaver

KostnadsminimeringLagrange uten fluktrute

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Produktfunksjonen og skalautbytte

Brukes videre i

5.3Kostnadsfunksjoner: skalaregimene og kort sikt

Dette kapitlet er sjanger I — boka sitt navn på oppgavetypen «kostnadsminimering»: finn den billigste faktorbruken som gir en gitt produksjonsmengde. Kodene A–N er bokas egen etikettering av oppgavetypene og står ikke på eksamen.

Belegg: kostnadsminimering med Lagrange er testet i 2 av de 7 ordinære settene i arkivet — som full utledning i V2025 og som påstandsoppgave i V2023 — og i 1 av de 4 utsatt-settene (V2023-utsatt, der løypa går hele veien fram til kostnadsfunksjonen). Produsentoppgaven som helhet har vært med i alle fire ordinære sett siden 2022.

Tre dokumenterte sensorkrav du bør ha i bakhodet mens du leser:

1. Innsettingsmetoden er ikke tilgjengelig her — Lagrange må brukes. Dette står eksplisitt i V2025-veiledningen. Bibetingelsen $F(K,L) = \bar{y}$ kan i sin alminnelighet ikke løses ut for én av variablene og settes inn.
2. Førsteordensbetingelsen skal tolkes i enheter, ikke bare skrives opp. Forholdet $F'_K/F'_L = r/w$ er en påstand om bytteforhold, og sensor vil se hva de to sidene betyr.
3. Kostnadsminimering bestemmer ikke hvor mye som skal produseres — bare hvordan den gitte mengden lages billigst. Nettopp dette ble testet som påstand i V2023, og fella tas i siste løkke i kapitlet.

Kapitlet har høyeste prioritet. Kostnadsfunksjonen du utleder her, er inngangen til alt i kap. 5.3 og kap. 5.4.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på:

- kap. 5.1 — produktfunksjonen $F(K,L)$ , marginalproduktene $F'_K$ og $F'_L$ , og isokvanten som teknologiens høydekurve.
- kap. 1.3 — Lagrange-metoden og innsettingsmetoden, og regelen for når hver av dem kan brukes.
- kap. 2.1 — konsumentens nyttemaksimering. Kostnadsminimering er speilbildet av den, og tolkningskravet er det samme.
- Kryssbok: Konsumentteori: budsjettlinje, indifferenskurver og tilpasning i ECON1210-boka, hvis tangeringsfiguren sitter løst.

Sist du var her — de tre tingene du trenger med én gang:

$F'_K = \frac{\partial F}{\partial K}, \qquad F'_L = \frac{\partial F}{\partial L} \qquad \text{(marginalproduktene, kap. 5.1)}$

$\mathcal{L} = \text{målfunksjon} + \lambda\cdot(\text{bibetingelsen omskrevet til null}) \qquad \text{(Lagrange, kap. 1.3)}$

$F(K,L) = \bar{y} \qquad \text{(isokvanten: alle faktorkombinasjoner som gir mengden } \bar{y}\text{)}$

Notasjonen i hele Del 5: $r$ er prisen på kapital (leiepris per maskintime) og $w$ er prisen på arbeid (lønn per time). Boka bruker aldri $\omega$ om en faktorpris — den bokstaven er reservert for beholdninger i konsumentteorien. Arkivsettene har vært inkonsekvente her; denne boka standardiserer.

Et industrivaskeri på Romerike har signert en avtale: 100 tonn rent tøy i måneden til sykehusene i regionen. Mengden er bestemt av kontrakten — den kan ikke vaskeriet gjøre noe med. Det vaskeriet kan gjøre noe med, er hvordan de 100 tonnene blir vasket: flere maskiner og færre folk, eller færre maskiner og flere folk.

Det er hele problemet i dette kapitlet. Mengden er gitt; miksen er valgfri; kostnaden skal ned. Legg merke til hva spørsmålet ikke er: det er ikke om 100 tonn er riktig mengde. Det spørsmålet hører hjemme i kap. 5.4, og å blande de to er den klassiske fella i sjangeren.

Kapitlet går i fire løkker: problemet og hvorfor Lagrange er eneste vei (løkke 1, ~12 min), førsteordensbetingelsen og enhetstolkningen (løkke 2, ~15 min), hele veien fram til kostnadsfunksjonen (løkke 3, ~18 min), og fella om hva kostnadsminimering ikke bestemmer (løkke 4, ~10 min).

Løkke 1 — Problemet, isokostlinja og hvorfor innsetting ikke går (~12 min)

Problemet skrevet formelt

Bedriften skal produsere en bestemt mengde $\bar{y}$ . Den kjøper kapital til prisen $r$ per enhet og arbeid til prisen $w$ per enhet, og begge prisene tas som gitt — bedriften er så liten i faktormarkedene at den ikke påvirker dem. Samlet kostnad ved en faktorbruk $(K,L)$ er da $rK + wL$ .

Oppgaven er å gjøre denne summen så liten som mulig, uten å bryte produksjonskravet.

Kostnadsminimeringsproblemet

\min_{K,L}\; rK + wL \qquad \text{gitt at} \qquad F(K,L) = \bar{y}

Isokostlinje

rK + wL = \bar{c}

Figuren i ord (isokvant og isokost). Sett arbeid

L

vannrett og kapital

K

loddrett. Tegn isokvanten

F(K,L) = \bar{y}

som en fallende, konveks kurve. Tegn så tre parallelle, fallende rette linjer med helning

-w/r

— isokostlinjer for tre kostnadsnivåer, den nederste nærmest origo.

Den nederste linja treffer ikke isokvanten i det hele tatt: det kostnadsnivået er for lavt til å klare $\bar{y}$ . Den øverste skjærer isokvanten i to punkter, $B$ og $D$ — begge produserer $\bar{y}$ , men begge er unødig dyre. Den midterste tangerer isokvanten i ett punkt, $A = (L^*, K^*)$ , med stiplede hjelpelinjer ned til $L^*$ på den vannrette aksen og bort til $K^*$ på den loddrette.

$A$ er løsningen: den innerste isokostlinja som fortsatt når opp til isokvanten. I tangeringspunktet er kurvens helning lik linjas helning — og nettopp den likheten er førsteordensbetingelsen vi utleder i løkke 2.

Hvorfor innsettingsmetoden ikke er tilgjengelig

I kap. 1.3 lærte du to metoder for problemer med bibetingelse. Innsettingsmetoden løser bibetingelsen for én variabel og setter uttrykket inn i målfunksjonen, slik at du sitter igjen med et vanlig maksimerings- eller minimeringsproblem i én variabel. Lagrange-metoden beholder begge variablene og innfører en multiplikator.

Innsetting krever at bibetingelsen faktisk lar seg løse ut. I konsumentens problem går det greit: budsjettbetingelsen $p_1c_1 + p_2c_2 = m$ er lineær, og $c_2 = (m - p_1c_1)/p_2$ er en enkel omskriving.

Her er bibetingelsen $F(K,L) = \bar{y}$ — en generell, ikke-lineær funksjon. Skal du løse den for $K$ , må du invertere $F$ med hensyn på $K$ , og det finnes det ingen generell oppskrift for. Derfor er Lagrange obligatorisk i kostnadsminimering, og derfor sier V2025-veiledningen det eksplisitt.

Ikke prøv innsetting her

Å begynne på innsettingsmetoden i en kostnadsminimeringsoppgave er en dokumentert tabbe — boka kaller den feil #5: innsettingsmetoden brukt på kostnadsminimering, der bibetingelsen ikke kan løses ut (feilene er samlet i et register i kap. 0.1).

For enkelte spesialtilfeller kan du komme i mål med innsetting — $\sqrt{KL} = \bar{y}$ gir tross alt $K = \bar{y}^2/L$ . Men oppgavene er skrevet for den generelle formen $F(K,L) = \bar{y}$ , og sensor vil se Lagrange-oppsettet. Skriv det, hver gang. Regelen å ta med seg fra kurset er enkel: konsumentens budsjettbetingelse kan settes inn; produsentens produksjonskrav kan det ikke.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — sjanger I, altså kostnadsminimering: billigste faktormiks for en gitt produksjonsmengde.)

Et trykkeri skal levere $\bar{y} = 50\,000$ ark og har produktfunksjonen $F(K,L)$ . Faktorprisene er $r$ og $w$ .

a) Skriv opp minimeringsproblemet formelt.

b) Forklar med egne ord hvorfor bibetingelsen skrives med likhetstegn.

c) Forklar hvorfor innsettingsmetoden ikke er tilgjengelig.

Løkke 2 — Lagrange og førsteordensbetingelsen (~15 min)

📜Lagrange-oppskriften for kostnadsminimering

Steg for steg — dette er håndverket sensor vil se:

1. Sett opp Lagrange-funksjonen med bibetingelsen skrevet som «noe $= 0$ »:

$\mathcal{L}(K,L,\lambda) = rK + wL + \lambda\,\bigl(\bar{y} - F(K,L)\bigr)$

2. Deriver og sett lik null (førsteordensbetingelsene):

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \lambda F'_K = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = w - \lambda F'_L = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = \bar{y} - F(K,L) = 0$

3. Del de to første på hverandre slik at $\lambda$ faller ut:

$\frac{r}{w} = \frac{\lambda F'_K}{\lambda F'_L} = \frac{F'_K}{F'_L}$

4. Bruk bibetingelsen til å finne $K^*$ og $L^*$ hver for seg.
5. Tolk betingelsen i enheter, og regn ut kostnaden $c(\bar{y}) = rK^* + wL^*$ hvis oppgaven ber om kostnadsfunksjonen.

Steg 3 er selve grepet: multiplikatoren er ikke interessant i seg selv, den elimineres. Steg 5 er ikke pynt — en utledning uten tolkning er et halvt svar.

Hva betingelsen sier

Betingelsen fra steg 3 skrives gjerne andre veien:

$\frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}$

Venstresiden har et navn.

Marginal teknisk substitusjonsbrøk (MTSB)

\dfrac{F'_K}{F'_L}

📜Kostnadsminimeringsbetingelsen

I den billigste faktorbruken er den marginale tekniske substitusjonsbrøken lik faktorprisforholdet:

$\frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}$

Tolkningen i enheter — den sensor krever: Venstresiden er hvor mange enheter arbeid som teknisk må erstatte én enhet kapital for at produksjonen skal være uendret. Høyresiden er hvor mange enheter arbeid markedet gir deg for prisen på én enhet kapital ( $r$ kroner kjøper $r/w$ arbeidsenheter). Optimum er der de to bytteforholdene er like.

Hvorfor det må være slik: Anta at $F'_K/F'_L = 3$ , mens $r/w = 2$ . Teknologien krever tre arbeidsenheter for å erstatte én kapitalenhet, men markedet gir deg bare to for de samme pengene. Da lønner det seg å gå motsatt vei: selg unna arbeid og kjøp kapital. Selger du 3 arbeidsenheter, taper du produksjon som akkurat én kapitalenhet dekker inn — men de tre arbeidsenhetene gir deg penger til 1,5 kapitalenheter. Du produserer like mye og har penger til overs, altså var du ikke i optimum. Slike gevinster finnes helt til brøkene er like.

✏️Eksempel 1: vaskeriet — førsteordensbetingelsen utledet

Industrivaskeriet har teknologien $F(K,L) = \sqrt{KL}$ og skal levere $\bar{y}$ tonn rent tøy. Faktorprisene er $r$ og $w$ .

Forklar hvorfor problemet må løses med Lagrange, utled førsteordensbetingelsen og tolk den i enheter.

Trinn 1 — sett opp problemet formelt.

$\min_{K,L}\; rK + wL \qquad \text{gitt} \qquad \sqrt{KL} = \bar{y}$

Bibetingelsen holder med likhet fordi begge faktorer koster penger: å produsere mer enn kravet er sløsing som kan spares bort.

Metodevalget: bibetingelsen er den generelle formen $F(K,L) = \bar{y}$ , som ikke kan løses ut for én variabel i sin alminnelighet. Innsettingsmetoden er derfor ikke tilgjengelig, og vi bruker Lagrange.

Trinn 2 — utled. Lagrange-funksjonen:

$\mathcal{L} = rK + wL + \lambda\bigl(\bar{y} - \sqrt{KL}\bigr)$

Marginalproduktene er $F'_K = \tfrac{1}{2}\sqrt{L/K}$ og $F'_L = \tfrac{1}{2}\sqrt{K/L}$ (fra kap. 5.1). Førsteordensbetingelsene:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \lambda\cdot\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{K}} = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = w - \lambda\cdot\tfrac{1}{2}\sqrt{\frac{K}{L}} = 0$

Del den første på den andre. Multiplikatoren $\lambda$ og faktoren $\tfrac{1}{2}$ faller ut:

$\frac{r}{w} = \frac{\sqrt{L/K}}{\sqrt{K/L}} = \frac{L}{K}$

altså $\dfrac{F'_K}{F'_L} = \dfrac{L}{K} = \dfrac{r}{w}$ , som gir faktorforholdet $L = \dfrac{r}{w}K$ .

Trinn 3 — tolk i enheter. Venstresiden $L/K$ er hvor mange arbeidsenheter som må til for å erstatte én kapitalenhet i vaskeriet uten at tonnasjen faller. Høyresiden $r/w$ er hvor mange arbeidsenheter kronene fra én kapitalenhet rekker til i markedet.

Er de like, er det ingen gevinst i å bytte den ene faktoren mot den andre: teknologiens bytteforhold er nøyaktig markedets. Blir arbeid dyrere (høyere $w$ ), faller $r/w$ , og vaskeriet skal ha færre arbeidsenheter per maskin — altså vri seg mot kapital. Det er substitusjonslogikken i modellen.

Figuren i ord: med $L$ vannrett og $K$ loddrett tangerer isokvanten $\sqrt{KL} = \bar{y}$ den innerste oppnåelige isokostlinja $rK + wL = \bar{c}$ i punktet $A = (L^*, K^*)$ . Isokvantens helning i tallverdi er $F'_L/F'_K$ (den inverse av MTSB, siden $L$ står vannrett); isokostlinjas helning i tallverdi er $w/r$ . Tangering betyr at de to helningene er like — snudd om er det nøyaktig førsteordensbetingelsen $F'_K/F'_L = r/w$ vi utledet over. Figuren er tegnet i «Isokvant og isokost» tidligere i kapitlet; figuren rett under viser hva som skjer med tangeringen når lønna stiger.

📝Oppgave 2

Sjanger I

En bryggerivirksomhet har $F(K,L) = K^{1/3}L^{2/3}$ og skal produsere $\bar{y}$ hektoliter. Faktorprisene er $r$ og $w$ .

a) Sett opp Lagrange-funksjonen og førsteordensbetingelsene.

b) Kombiner betingelsene til forholdet mellom $L$ og $K$ .

c) Hva skjer med faktorforholdet hvis lønna $w$ stiger? Forklar økonomisk.

Løkke 3 — Hele veien til kostnadsfunksjonen (~18 min)

Førsteordensbetingelsen gir faktorforholdet. For å finne faktormengdene må vi bruke bibetingelsen: forholdstallet settes inn i $F(K,L) = \bar{y}$ , og da faller alt på plass. Resultatet har to navn du bør kunne.

Betinget faktoretterspørsel

K^*(r,w,y)

Kostnadsfunksjonen

c(y)

c(y)

✏️Eksempel 2: vaskeriet hele veien — konstant skalautbytte

Vaskeriet har $F(K,L) = \sqrt{KL}$ , og faktorprisene er $r = 4$ og $w = 9$ (tusen kroner per enhet).

Finn de kostnadsminimerende faktormengdene og kostnadsfunksjonen. Kommenter formen på $c(y)$ i lys av skalautbyttet.

Trinn 1 — sett opp problemet.

\min\, 4K + 9L

gitt

\sqrt{KL} = y

. Bibetingelsen med likhet, som før.

Trinn 2 — utled. Fra eksempel 1 er førsteordensbetingelsen

$\frac{L}{K} = \frac{r}{w} = \frac{4}{9} \quad\Longrightarrow\quad L = \tfrac{4}{9}K$

Sett inn i bibetingelsen:

$\sqrt{K\cdot\tfrac{4}{9}K} = y \;\Longrightarrow\; \tfrac{2}{3}K = y \;\Longrightarrow\; K^* = \tfrac{3}{2}y$

og dermed $L^* = \tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{3}{2}y = \tfrac{2}{3}y$ .

Kostnaden blir

$c(y) = 4\cdot\tfrac{3}{2}y + 9\cdot\tfrac{2}{3}y = 6y + 6y = 12y$

Kontroll mot den generelle formelen. Med generelle priser gir samme regning $K^* = y\sqrt{w/r}$ , $L^* = y\sqrt{r/w}$ og

$c(y) = ry\sqrt{\tfrac{w}{r}} + wy\sqrt{\tfrac{r}{w}} = y\sqrt{rw} + y\sqrt{rw} = 2y\sqrt{rw}$

Med $r = 4$ , $w = 9$ : $2y\sqrt{36} = 12y$ ✓.

Trinn 3 — tolk. Kostnadsfunksjonen er lineær i $y$ : hvert nye tonn tøy koster nøyaktig 12 000 kroner, uansett om vaskeriet vasker 10 eller 1 000 tonn. Det stemmer med skalautbyttet: $\sqrt{KL}$ har konstant skalautbytte (kap. 5.1), og en kopi av driften koster like mye og gir like mye.

Legg også merke til at begge faktorene skaleres proporsjonalt med $y$ — faktorforholdet $L/K = 4/9$ er det samme uansett produksjonsmengde, fordi det bare avhenger av prisene.

Bonus — hva $\lambda$ er. Setter vi tallene inn i førsteordensbetingelsen, får vi $\lambda = r/F'_K = 12$ , nøyaktig kostnaden ved ett tonn til. Multiplikatoren i kostnadsminimering er altså marginalkostnaden, og det er den vi møter igjen som $c'(y)$ i kap. 5.3.

📝Oppgave 3

Sjanger I

Et kaffebrenneri har $F(K,L) = \sqrt{KL}$ og står overfor faktorprisene $r = 2$ og $w = 8$ .

a) Finn $K^*$ og $L^*$ som funksjon av $y$ .

b) Utled kostnadsfunksjonen.

c) Hva koster det brenneriet å øke produksjonen med ett kilo, og hvorfor er svaret det samme uansett produksjonsnivå?

✏️Eksempel 3: settefiskoppdretteren — avtakende skalautbytte

Et settefiskselskap har teknologien $F(K,L) = K^{1/3}L^{1/3}$ , der $y$ måles i tonn smolt. Faktorprisene er $r$ og $w$ .

Utled kostnadsfunksjonen, og forklar hvordan formen henger sammen med skalautbyttet. Regn til slutt ut kostnadsfunksjonen når $r = 3$ og $w = 27$ .

Trinn 1 — sett opp problemet.

$\min_{K,L}\; rK + wL \qquad \text{gitt} \qquad K^{1/3}L^{1/3} = y$

Bibetingelsen er ikke løsbar for én variabel i sin alminnelighet, så vi bruker Lagrange.

Trinn 2 — utled. Marginalproduktene:

$F'_K = \tfrac{1}{3}K^{-2/3}L^{1/3}, \qquad F'_L = \tfrac{1}{3}K^{1/3}L^{-2/3}$

$\mathcal{L} = rK + wL + \lambda\bigl(y - K^{1/3}L^{1/3}\bigr)$

Førsteordensbetingelsene $r = \lambda F'_K$ og $w = \lambda F'_L$ deles på hverandre:

$\frac{r}{w} = \frac{K^{-2/3}L^{1/3}}{K^{1/3}L^{-2/3}} = \frac{L}{K} \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{r}{w}K$

Sett inn i bibetingelsen:

$K^{1/3}\left(\frac{r}{w}K\right)^{1/3} = \left(\frac{r}{w}\right)^{1/3}K^{2/3} = y \;\Longrightarrow\; K^{2/3} = \left(\frac{w}{r}\right)^{1/3}y$

Opphøy i $3/2$ :

$K^* = \left(\frac{w}{r}\right)^{1/2}y^{3/2} = y^{3/2}\sqrt{\frac{w}{r}}, \qquad L^* = \frac{r}{w}K^* = y^{3/2}\sqrt{\frac{r}{w}}$

Kostnadsfunksjonen:

$c(y) = ry^{3/2}\sqrt{\frac{w}{r}} + wy^{3/2}\sqrt{\frac{r}{w}} = y^{3/2}\sqrt{rw} + y^{3/2}\sqrt{rw} = 2y^{3/2}\sqrt{rw}$

Med $r = 3$ og $w = 27$ er $\sqrt{rw} = \sqrt{81} = 9$ , altså $c(y) = 18\,y^{3/2}$ .

Trinn 3 — tolk. Skalautbyttet er avtakende: eksponentsummen er $1/3 + 1/3 = 2/3 < 1$ , og testen bekrefter det ( $F(tK,tL) = t^{2/3}F(K,L)$ ). Kostnadsfunksjonen svarer på det ved å vokse raskere enn proporsjonalt: eksponenten $3/2 > 1$ betyr at en dobling av $y$ ganger kostnaden med $2^{3/2} \approx 2{,}83$ .

Konkret med de oppgitte prisene: 4 tonn smolt koster $18\cdot 8 = 144$ , mens 8 tonn koster $18\cdot 8^{3/2} = 18\cdot 22{,}6 \approx 407$ — nesten tre ganger så mye for dobbelt så mye fisk. Marginalkostnaden $c'(y) = 27\sqrt{y}$ stiger med produksjonen, akkurat som skalaregime-tabellen i kap. 5.1 varslet. Vi går grundig inn på den koblingen i kap. 5.3.

📝Oppgave 4

Eksamensnivå

Et snekkerverksted har $F(K,L) = K^{1/3}L^{2/3}$ , faktorprisene $r = 2$ og $w = 4$ , og skal produsere $y$ kjøkkeninnredninger.

a) Forklar hvorfor problemet må løses med Lagrange, og sett opp Lagrange-funksjonen.

b) Utled førsteordensbetingelsen, og tolk den i enheter.

c) Finn $K^*$ , $L^*$ og kostnadsfunksjonen $c(y)$ .

d) Hvilket skalautbytte har teknologien, og stemmer formen på $c(y)$ med svaret?

Løkke 4 — Fella: hva kostnadsminimering IKKE bestemmer (~10 min)

Se på hva vi faktisk har gjort i kapitlet. Vi tok produksjonsmengden $\bar{y}$ som gitt — den kom fra kontrakten, fra oppgaveteksten, fra noe utenfor modellen — og fant den billigste måten å nå den på.

Ingen steder i regningen dukket produktprisen $p$ opp. Det er ikke tilfeldig: kostnadsminimering kan umulig si noe om hvor mye bedriften bør produsere, for den vet ikke hva varen selges for.

Kostnadsminimering bestemmer ikke kvantum

p

📜Implikasjonen går bare én vei

Profittmaksimering $\Longrightarrow$ kostnadsminimering. En bedrift som maksimerer profitten

\pi = py - c(y)

, må nødvendigvis lage den mengden den lager, så billig som mulig — ellers kunne den økt profitten uten å endre noe annet.

Kostnadsminimering $\nRightarrow$ profittmaksimering. Et selskap kan produsere 100 tonn på aller billigste vis og likevel tape penger fordi 100 tonn er helt feil mengde: kanskje burde det produsert 300 tonn, kanskje ingenting.

Bildet: kostnadsminimering setter deg på riktig sti; profittmaksimering forteller deg hvor langt langs stien du skal gå.

📝Oppgave 5

Sjanger L

Ta stilling til påstanden og begrunn svaret:

«Et vaskeri som minimerer kostnadene, maksimerer dermed profitten.»

📝Oppgave 6

Sjanger L

Ta stilling til påstanden og begrunn svaret:

«En bedrift som maksimerer profitten, minimerer kostnadene ved den mengden den produserer.»

📝Oppgave 7

(Krevende — sjanger I kombinert med sammenlikning av to teknologier.)

To bedrifter skal begge produsere $y$ enheter og står overfor de samme faktorprisene $r$ og $w$ . Bedrift A har $F(K,L) = \sqrt{KL}$ , bedrift B har $F(K,L) = K^{1/3}L^{1/3}$ .

a) Vis at begge bedriftene velger nøyaktig samme faktorforhold $L/K$ .

b) Forklar hvorfor kostnadsfunksjonene likevel blir helt forskjellige.

c) Ved hvilken produksjonsmengde er de to bedriftene like dyre, uttrykt ved $r$ og $w$ ? Hvem er billigst under den mengden?

Typiske feil

Fra bokas feilkatalog — den samlede lista over de vanligste tabbene på ECON2220, som står i kap. 0.1:

- Feil #5 — innsettingsmetoden brukt på kostnadsminimering. Bibetingelsen $F(K,L) = \bar{y}$ kan generelt ikke løses ut. Dokumentert påpekt i V2025-veiledningen: her skal Lagrange brukes.
- Feil #4 — å tro at kostnadsminimering bestemmer kvantum. Problemet tar $\bar{y}$ som gitt og inneholder ikke produktprisen. Testet som påstand i V2023.
- Feil #2 — betingelsen gjentatt som «tolkning». Å skrive « $F'_K/F'_L = r/w$ betyr at marginalproduktbrøken er lik prisforholdet» er en omskriving, ikke en tolkning. Sensor vil ha enhetene: hvor mange arbeidsenheter som teknisk erstatter én kapitalenhet, mot hvor mange arbeidsenheter markedet gir for prisen på én kapitalenhet.
- Å bytte om på implikasjonsretningen. Profittmaksimering medfører kostnadsminimering; det motsatte er usant.
- Å blande isokost og isokvant. Isokostlinja er rett med helning $-w/r$ (like dyre kombinasjoner); isokvanten er den krumme kurven (like produktive kombinasjoner). Blander du dem, blir også tangeringsargumentet feil.
- Å stoppe før kostnadsfunksjonen. Ber oppgaven om $c(y)$ , holder det ikke å finne faktorforholdet. Regn ut $K^*$ og $L^*$ , sett inn i $rK + wL$ og forenkle.
- Å glemme at $\lambda$ skal elimineres. Multiplikatoren er et hjelpemiddel; svaret er betingelsen uten den. (Verdien har riktignok en tolkning — den er marginalkostnaden — men den er sjelden det oppgaven spør om.)

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Faktorprisene

r

w

r

Lagrange-funksjonen

\mathcal{L}

\mathcal{L}(K,L,\lambda) = rK + wL + \lambda\bigl(\bar{y} - F(K,L)\bigr)

Førsteordensbetingelsene (FOB)

\mathcal{L}

Lagrange-multiplikatoren

\lambda

i kostnadsminimering

\lambda

Tangeringsbetingelsen (grafisk)

F'_L/F'_K

Faktorsubstitusjon ved prisendring

F'_K/F'_L = r/w

Ekspansjonsveien

L/K

Teknisk effektivitet og kostnadseffektivitet

\bar{y}

Metodevalgsregelen: innsetting eller Lagrange?

p_1c_1 + p_2c_2 = m

Enhetstolkningen av betingelsen

F'_K/F'_L = r/w

Hva bedriften velger og hva den ikke velger

K

Hvorfor bibetingelsen holder med likhet

F(K,L) = \bar{y}

Speilbildet av konsumentens problem

= p_1/p_2

Konsument	Produsent
Indifferenskurve	Isokvant
Budsjettlinje	Isokostlinje
MSB $= p_1/p_2$	MTSB $= r/w$
Maksimer nytte gitt budsjett	Minimer kostnad gitt produksjon

Standardresultatet

c(y) = 2y\sqrt{rw}

F(K,L) = \sqrt{KL}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.