5.3 Kostnadsfunksjoner: skalaregimene og kort sikt

Fra teknologi til kostnadsbilde: $c(y)$ under tre skalaregimer, marginal- og gjennomsnittskostnad, kort sikt med fast kapital — og nedleggingsbetingelsen.

50 min

9 oppgaver

Kostnadsfunksjonerskalaregimenekort sikt

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Kostnadsminimering: Lagrange uten fluktrute

Brukes videre i

5.4Profittmaksimering, tilbudskurven og nullprofitt

Dette kapitlet er kostnadssiden av sjanger J — boka sitt navn på produsentoppgaven med skalautbytte, kostnads- og tilbudskurver. (Kodene A–N er bokas egen etikettering av oppgavetypene; de står ikke på eksamen.)

Belegg: koblingen mellom skalautbytte og kostnadskurvene er testet i alle tre siste ordinære sett — V2023, V2024 og V2025 — som del av «skalautbytte-batteriet». Kort sikt med fast kapital, sunk kost og nedleggingsbetingelse er dokumentert testet i V2024-utsatt. Diagrammet med marginalkostnad og gjennomsnittskostnad, der profitten leses av som et rektangelareal, ble brukt i V2025.

Sensorkravene i dette kapitlet:

1. Kurveformen skal vises, ikke påstås. «Kostnadsfunksjonen er konveks» må underbygges med fortegnet på $c''(y)$ . Dette er godkjent som alternativ til skalautbytte-testen fra kap. 5.1 — de to gir samme svar.
2. Sunk kost skal holdes utenfor beslutningen. En kostnad som ikke kan unngås uansett hva bedriften gjør, kan ikke påvirke valget mellom å drive og å legge ned.
3. Marginalkostnad og gjennomsnittskostnad skal holdes fra hverandre — også i figuren.

Kapitlet har høyeste prioritet. Kurvene du bygger her, er dem kap. 5.4 gjør om til tilbudskurven.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på:

- kap. 5.2 — kostnadsfunksjonen $c(y)$ som resultatet av kostnadsminimering.
- kap. 5.1 — skalautbytte og testen $F(tK,tL)$ mot $tF(K,L)$ .
- Derivasjon av potensuttrykk, inkludert andrederiverte, og det å finne minimum ved å sette den deriverte lik null.

Sist du var her — de tre resultatene du får bruk for med én gang:

$F(K,L) = \sqrt{KL} \;\Rightarrow\; c(y) = 2y\sqrt{rw} \qquad (\text{konstant skalautbytte})$

$F(K,L) = K^{1/3}L^{1/3} \;\Rightarrow\; c(y) = 2y^{3/2}\sqrt{rw} \qquad (\text{avtakende skalautbytte})$

$c(y) = rK^*(r,w,y) + wL^*(r,w,y) \qquad (\text{kostnadsfunksjonen er minimumsverdien})$

Notasjonen står ved lag: $r$ er kapitalprisen, $w$ er lønna, $y$ er produsert mengde og $p$ er produktprisen. Fra dette kapitlet får vi også bruk for $c_v(y)$ for variable kostnader og $F$ for faste kostnader — samme bokstav som produktfunksjonen, men uten argumenter, slik eksamen skriver det.

Et bakeri på Nordstrand bruker 20 000 kroner på mel, strøm og bemanning for å bake 100 brød om dagen. Skal eieren bake ett brød til, må hun vite én ting: hva koster akkurat det ene brødet? Skal hun vurdere om bakeriet i det hele tatt bør holde åpent, må hun vite noe annet: hva koster brødene i gjennomsnitt, og hvilke av kostnadene forsvinner om hun stenger?

Det er de tre spørsmålene i dette kapitlet: marginalkostnaden (hva den neste enheten koster), gjennomsnittskostnaden (hva enhetene koster i snitt) og hvilke kostnader som er relevante for hvilken beslutning. Kostnadsfunksjonen $c(y)$ fra kap. 5.2 inneholder svarene; vi skal bare hente dem ut.

Kapitlet går i fire løkker: de to kostnadskurvene og forholdet mellom dem (løkke 1, ~13 min), skalaregimene i kostnadsspråk (løkke 2, ~13 min), kort sikt med faste og variable kostnader (løkke 3, ~15 min) og diagrammet eksamen tegner (løkke 4, ~9 min).

Løkke 1 — Marginalkostnad og gjennomsnittskostnad (~13 min)

Marginalkostnad

c'(y)

\text{MK}(y) = c'(y) = \frac{\mathrm{d}c(y)}{\mathrm{d}y}

Gjennomsnittskostnad

\text{GK}(y) = \frac{c(y)}{y}

📜MK skjærer GK i GK-minimum

Har gjennomsnittskostnadskurven et indre bunnpunkt, skjærer marginalkostnadskurven den nøyaktig der til gjennomsnittskostnaden.

Beviset er en derivasjon med brøkregelen:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(\frac{c(y)}{y}\right) = \frac{c'(y)\,y - c(y)}{y^{2}} = \frac{c'(y) - \dfrac{c(y)}{y}}{y} = \frac{\text{MK} - \text{GK}}{y}$

Siden $y > 0$ er fortegnet på venstresiden lik fortegnet på $\text{MK} - \text{GK}$ :

- $\text{MK} < \text{GK}$ gir fallende gjennomsnittskostnad,
- $\text{MK} > \text{GK}$ gir stigende gjennomsnittskostnad,
- $\text{MK} = \text{GK}$ gir vannrett tangent, altså minimum der GK går fra å falle til å stige.

Intuisjonen er karaktersnittet. Får du en karakter som er dårligere enn snittet ditt, faller snittet; er den bedre, stiger snittet; er den lik snittet, står det stille. Marginalkostnaden er «den nye karakteren», gjennomsnittskostnaden er «snittet».

✏️Eksempel 1: bakeriets to kurver

Et bakeri har kostnadsfunksjonen $c(y) = y^{2} + 100$ , der $y$ er antall hundre brød per dag og kostnaden måles i hundre kroner.

a) Finn marginalkostnaden og gjennomsnittskostnaden.

b) Finn mengden der gjennomsnittskostnaden er lavest, og vis at marginalkostnaden er lik gjennomsnittskostnaden akkurat der.

Trinn 1 — sett opp. Vi skal derivere

c

for marginalkostnaden og dele på

y

for gjennomsnittskostnaden.

Trinn 2 — utled.

$\text{MK}(y) = c'(y) = 2y, \qquad \text{GK}(y) = \frac{y^{2}+100}{y} = y + \frac{100}{y}$

Minimum av GK finner vi ved å derivere og sette lik null:

$\text{GK}'(y) = 1 - \frac{100}{y^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; y^{2} = 100 \;\Longrightarrow\; y = 10$

Andrederiverte er $200/y^{3} > 0$ , så punktet er et minimum. Verdien er

$\text{GK}(10) = 10 + \frac{100}{10} = 20$

og marginalkostnaden i samme punkt er $\text{MK}(10) = 2\cdot 10 = 20$ . De er like ✓, akkurat som teoremet sier.

Trinn 3 — tolk i enheter. Ved 1 000 brød om dagen koster hvert brød i snitt 20 (hundre kroner per hundre brød, altså 20 kroner per brød), og det neste brødet koster nøyaktig det samme. Under 1 000 brød er det neste brødet billigere enn snittet, så snittet faller når bakeriet baker mer; over 1 000 er det dyrere enn snittet, så snittet stiger.

Figuren i ord: med $y$ vannrett og kroner loddrett er MK en rett linje gjennom origo med stigningstall 2. GK er U-formet: den faller bratt fra venstre (fordi de faste 100 fordeles på flere enheter), flater ut og har bunnpunkt $B = (10, 20)$ , og stiger deretter. MK skjærer GK nøyaktig i $B$ , nedenfra. Stiplede hjelpelinjer fra $B$ til begge akser markerer $y = 10$ og kostnadsnivå 20.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — sjanger J, altså produsentoppgaven med kostnads- og tilbudskurver.)

Forklar med egne ord forskjellen på marginalkostnad og gjennomsnittskostnad, og si hvilken av dem som avgjør

a) om bedriften tjener penger på en gitt produksjon,

b) hvor mye bedriften bør produsere.

📝Oppgave 2

Sjanger J

Et trykkeri har $c(y) = 2y^{2} + 72$ , der $y$ er tusen trykte plakater.

a) Finn MK og GK.

b) Finn mengden der gjennomsnittskostnaden er lavest, og verdien der.

c) Vis at marginalkostnaden er lik gjennomsnittskostnaden i det punktet, og forklar hvorfor det måtte bli slik.

Løkke 2 — Skalaregimene i kostnadsspråk (~13 min)

Nå kan vi gjøre opp regnskapet fra kap. 5.1. Der lovet tabellen at skalautbyttet bestemmer kostnadsbildet. Her vises hvert ledd.

Utgangspunktet er kostnadsfunksjonene vi allerede har utledet med Lagrange i kap. 5.2.

📜Skalaregime-tabellen

Konstant skalautbytte gir

c(y) = k\,y

, der

k

er enhetskostnaden — kostnaden per produsert enhet gitt faktorprisene. For

F = \sqrt{KL}

k = 2\sqrt{rw}

. Da er

$c'(y) = k, \qquad \frac{c(y)}{y} = k, \qquad c''(y) = 0$

altså konstant marginalkostnad, konstant gjennomsnittskostnad, og de to er like overalt.

Avtakende skalautbytte gir en konveks kostnadsfunksjon. For $F = K^{1/3}L^{1/3}$ er $c(y) = 2y^{3/2}\sqrt{rw}$ , og

$c'(y) = 3\sqrt{rw}\,\sqrt{y}, \qquad c''(y) = \frac{3\sqrt{rw}}{2\sqrt{y}} > 0$

Marginalkostnaden stiger, og gjennomsnittskostnaden $2\sqrt{rw}\sqrt{y}$ stiger også.

Tiltakende skalautbytte gir fallende gjennomsnittskostnad. For $F = K^{2/3}L^{2/3}$ er $c(y) = 2y^{3/4}\sqrt{rw}$ , og

$\frac{c(y)}{y} = \frac{2\sqrt{rw}}{y^{1/4}} \;\text{(fallende)}, \qquad c''(y) = -\frac{3\sqrt{rw}}{8\,y^{5/4}} < 0$

Kostnadsfunksjonen er konkav, og marginalkostnaden faller.

Regelen sensor er ute etter: fortegnet på $c''(y)$ er et fullgodt alternativ til $F(tK,tL)$ -testen. Positiv andrederivert svarer til avtakende skalautbytte, null til konstant og negativ til tiltakende.

✏️Eksempel 2: settefiskoppdretteren — vis konveksiteten

Et settefiskselskap har kostnadsfunksjonen $c(y) = 18\,y^{3/2}$ (utledet i kap. 5.2 fra teknologien $K^{1/3}L^{1/3}$ med $r = 3$ og $w = 27$ ).

a) Vis at kostnadsfunksjonen er konveks.

b) Finn MK og GK, og forklar forholdet mellom dem.

c) Hva koster det å doble produksjonen fra 4 til 8 tonn?

a) Konveksitet vises med andrederiverte.

$c'(y) = 18\cdot\tfrac{3}{2}y^{1/2} = 27\sqrt{y}, \qquad c''(y) = 27\cdot\tfrac{1}{2}y^{-1/2} = \frac{27}{2\sqrt{y}}$

For alle $y > 0$ er $c''(y) > 0$ , så kostnadsfunksjonen er konveks: den krummer oppover, og marginalkostnaden stiger med produksjonen. Dette er samme konklusjon som skalautbytte-testen ga i kap. 5.1 ( $t^{2/3} < t$ , avtakende skalautbytte) — vist på en annen måte.

b) $\text{MK}(y) = 27\sqrt{y}, \qquad \text{GK}(y) = \frac{18y^{3/2}}{y} = 18\sqrt{y}$

Forholdet er $\text{MK}/\text{GK} = 27/18 = 3/2$ for alle $y$ : marginalkostnaden ligger alltid 50 % over gjennomsnittskostnaden. Begge stiger, og GK har ikke noe bunnpunkt her — den stiger fra første enhet, fordi det ikke finnes faste kostnader som kunne blitt fordelt utover.

c) Doblingen i tall. $c(4) = 18\cdot 4^{3/2} = 18\cdot 8 = 144$ og $c(8) = 18\cdot 8^{3/2} = 18\cdot 16\sqrt{2} \approx 407$ .

Kostnaden ganges altså med $2^{3/2} \approx 2{,}83$ når mengden dobles: dobbelt så mye fisk koster nesten tre ganger så mye. Gjennomsnittskostnaden stiger fra $144/4 = 36$ til om lag $407/8 \approx 50{,}9$ per tonn. Det er nøyaktig hva avtakende skalautbytte betyr i kroner.

📝Oppgave 3

Sjanger J

Tre bedrifter har kostnadsfunksjonene

$c_A(y) = 12y, \qquad c_B(y) = 3y^{2}, \qquad c_C(y) = 8y^{3/4}$

a) Finn $c''(y)$ for hver av dem.

b) Avgjør hvilket skalautbytte hver teknologi må ha.

c) Finn gjennomsnittskostnaden i hvert tilfelle, og si om den stiger, faller eller er konstant.

Kurveform skal vises

Å skrive «kostnadsfunksjonen er konveks fordi teknologien har avtakende skalautbytte» og stoppe der, er å påstå det oppgaven ber deg vise. Boka kaller det feil #3 — egenskap påstått uten derivasjon eller test (feilene er samlet i et register i kap. 0.1).

Skriv ut $c'(y)$ , deriver én gang til, og konkluder fra fortegnet på $c''(y)$ . To linjer, og påstanden er blitt et bevis.

Løkke 3 — Kort sikt: faste og variable kostnader (~15 min)

Alt så langt har vært lang sikt: begge faktorene kunne varieres fritt, og kostnadsminimeringen sto fritt til å velge miksen. På kort sikt er kapitalen låst — lokalet er leid, ovnen er kjøpt, konsesjonen er gitt. Da er det bare arbeidet som kan justeres, og produktfunksjonen reduseres til én-faktor-varianten $x = F(n)$ fra kap. 5.1.

Dette er den varianten V2024-utsatt bygde en hel oppgave på, og oppskriften er kort: inverter teknologien, gang med faktorprisen.

Kort sikt

K = \bar{K}

Variable kostnader

c_v(y)

y = F(n)

Faste kostnader

F

c(y) = c_v(y) + F

✏️Eksempel 3: bakeriet på kort sikt

Bakeriet har på kort sikt teknologien $y = \sqrt{l}$ , der $l$ er arbeidstimer og $y$ er antall hundre brød. Timelønna er $w = 20$ . I tillegg betaler bakeriet 300 i faste kostnader per dag.

a) Utled de variable kostnadene og marginalkostnaden.

b) Skriv opp samlet kostnad og gjennomsnittskostnad, og vis at kostnadsfunksjonen er konveks.

c) Bakeriet selger til $p = 200$ og produserer $y = 5$ . Hva blir overskuddet?

Trinn 1 — sett opp. Teknologien gir produksjon som funksjon av timer; vi trenger timer som funksjon av produksjon.

Trinn 2 — utled.

a) Inverter teknologien: $y = \sqrt{l} \Rightarrow l = y^{2}$ . Timekostnaden er $w$ per time, så

$c_v(y) = w\,l(y) = 20y^{2}, \qquad \text{MK}(y) = c_v'(y) = 40y$

b) Samlet kostnad og gjennomsnittskostnad:

$c(y) = 20y^{2} + 300, \qquad \text{GK}(y) = 20y + \frac{300}{y}$

Konveksitet: $c'(y) = 40y$ og $c''(y) = 40 > 0$ for alle $y$ . Kostnadsfunksjonen er altså konveks, og marginalkostnaden stiger. Legg merke til at de faste 300 forsvant i derivasjonen — de påvirker ikke marginalkostnaden.

c) $c(5) = 20\cdot 25 + 300 = 800, \qquad py = 200\cdot 5 = 1\,000$

$\pi = 1\,000 - 800 = 200$

Trinn 3 — tolk i enheter. Marginalkostnaden $40y$ betyr at brød nummer $500$ og oppover blir stadig dyrere: med fast ovn må hver ny brødmengde presses ut av flere timer med den samme utstyrsparken, og timeforbruket vokser kvadratisk med produksjonen.

Overskuddet på 200 kan leses av som et rektangel: gjennomsnittskostnaden ved $y = 5$ er $800/5 = 160$ , prisen er 200, og overskuddet er $(200 - 160)\cdot 5 = 200$ ✓ — differansen per enhet, ganget med antall enheter.

📝Oppgave 4

Sjanger J

Et kaffebrenneri har på kort sikt teknologien $y = \sqrt{l}$ , timelønn $w = 45$ og faste kostnader på 720 per uke.

a) Utled $c_v(y)$ , $c(y)$ og marginalkostnaden.

b) Vis at kostnadsfunksjonen er konveks.

c) Finn gjennomsnittskostnaden, og hva den er ved $y = 4$ .

Sunk kost og gjenvinnbare faste kostnader

Nå kommer skillet eksamen faktisk tester. Ikke alle faste kostnader er like: noen forsvinner om bedriften legger ned, andre er borte uansett.

Sunk kost (ugjenkallelige kostnader)

En sunk kostnad er allerede pådratt og kan ikke gjenvinnes uansett hva bedriften gjør videre. Den spesialbygde ovnen som ingen andre vil kjøpe, konsesjonsgebyret som er betalt, markedsføringskampanjen som er kjørt. Sunk kost skal holdes utenfor alle framtidige beslutninger. Kostnaden er den samme enten bedriften driver videre eller stenger, og en størrelse som er lik i begge alternativer, kan ikke skille mellom dem. Dette er et av kursets skarpeste presisjonspoeng, og det er testet: å la sunk kost påvirke kvantums- eller nedleggingsvalget er en dokumentert tabbe.

Gjenvinnbare faste kostnader

En gjenvinnbar (unngåelig) fast kostnad forsvinner hvis bedriften legger ned: husleien som kan sies opp, forsikringen som kan avbestilles, leasingavtalen med utløpsklausul. Den er fast i den forstand at den ikke endrer seg med produsert mengde — men den er unngåelig i den forstand at den kan kuttes helt ved å stenge. Skillet mellom sunk og gjenvinnbar avgjør hvilke kostnader som skal med i nedleggingsvurderingen: bare de gjenvinnbare.

📜Nedleggingsbetingelsen

Legg ned dersom prisen er lavere enn den laveste gjennomsnittskostnaden regnet med bare de kostnadene som kan unngås ved å stenge:

$p < \min_y \frac{c_v(y) + F_{\text{gjenvinnbar}}}{y}$

Sammenlikningen er alltid mellom to alternativer: drive videre gir inntekt $py$ minus de unngåelige kostnadene; stenge gir null av begge deler. Sunk kost står likt i begge og faller ut av regnestykket.

Merk hva betingelsen ikke er. Den er ikke «legg ned hvis du går med regnskapsmessig underskudd». En bedrift med store sunkne kostnader kan gå med underskudd og likevel gjøre rett i å drive videre, fordi driften dekker alt den faktisk kan unngå — og litt til.

✏️Eksempel 4: skal bakeriet stenge?

Bakeriet har $c_v(y) = 20y^{2}$ og faste kostnader på 300 per dag. Av de faste kostnadene er 180 husleie som kan sies opp med kort varsel, mens 120 er avskrivning på en spesialbygd ovn uten bruktverdi.

a) Hvilke kostnader er relevante for spørsmålet om å stenge?

b) Finn nedleggingsprisen.

c) Prisen er $p = 100$ . Bør bakeriet stenge? Hva blir resultatet i hvert alternativ?

Trinn 1 — sett opp problemet. Nedleggingsvalget sammenlikner to alternativer: drive videre eller stenge. Bare kostnader som er forskjellige i de to alternativene, kan påvirke valget.

a) De variable kostnadene $20y^{2}$ forsvinner ved stenging, og det gjør husleia på 180 også. De 120 i ovnsavskrivning påløper uansett — det er sunk kost og skal holdes utenfor.

Relevante kostnader er derfor $20y^{2} + 180$ .

Trinn 2 — utled.

b) Gjennomsnittskostnaden regnet med bare de unngåelige kostnadene:

$\text{GK}_{\text{unngåelig}}(y) = \frac{20y^{2} + 180}{y} = 20y + \frac{180}{y}$

Minimum:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\left(20y + \frac{180}{y}\right) = 20 - \frac{180}{y^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; y^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; y = 3$

$\text{GK}_{\text{unngåelig}}(3) = 20\cdot 3 + \frac{180}{3} = 60 + 60 = 120$

Nedleggingsprisen er altså 120: under den prisen dekker driften ikke engang det bakeriet kunne spart ved å stenge.

c) Med $p = 100 < 120$ bør bakeriet stenge.

Kontroll i kroner. Det beste driftsnivået finner vi av $p = \text{MK}$ , ikke av GK-minimum: $40y = 100$ gir $y^* = 2{,}5$ . Driver bakeriet videre der, ligger det uansett i minus: $100\cdot 2{,}5 - (20\cdot 2{,}5^{2} + 180) = 250 - (125 + 180) = -55$ , pluss de 120 i sunk kost, altså $-175$ samlet. Stenger det, taper det bare de 120 som ikke kan unngås. Stenging er 55 bedre. (Merk at $y = 3$ — bunnpunktet i GK-kurven — ville gitt $300 - 360 = -60$ , altså dårligere enn $y^* = 2{,}5$ . Nedleggingsprisen leses av GK-minimum, men driftsnivået følger alltid av $p = \text{MK}$ .)

Trinn 3 — tolk. De 120 i ovnsavskrivning er med i regnskapet i begge alternativer og endrer derfor ikke rangeringen — de gjør bare tallene mer dystre begge steder. Det er nøyaktig poenget med sunk kost: de er allerede tapt, og den eneste beslutningen som gjenstår, er om driften betaler for det den faktisk kan slippe unna.

📝Oppgave 5

Eksamensnivå

Et sagbruk har på kort sikt teknologien $y = \sqrt{l}$ og timelønn $w = 5$ . Faste kostnader er 100 per uke, hvorav 80 er leie av tomt som kan sies opp, mens 20 er en betalt og ikke-refunderbar konsesjonsavgift.

a) Utled $c_v(y)$ og marginalkostnaden.

b) Finn nedleggingsprisen, og forklar hvorfor konsesjonsavgiften ikke inngår.

c) Ved prisen $p = 50$ produserer sagbruket $y = 5$ . Regn ut resultatet, og ta stilling til om sagbruket bør stenge.

Løkke 4 — Diagrammet eksamen tegner (~9 min)

Profitt

\pi = py - c(y)

\pi = p\,y - c(y)

Standardfiguren i ord (MK/GK-diagrammet). Sett mengden

y

vannrett og kroner per enhet loddrett.

Tegn den U-formede gjennomsnittskostnadskurven GK med bunnpunkt $B$ , og den stigende marginalkostnadskurven MK som skjærer GK nedenfra nøyaktig i $B$ . Trekk en vannrett prislinje ved $p$ , over $B$ . Marker mengden $y^{*}$ på den vannrette aksen, med en stiplet loddrett hjelpelinje opp til prislinja i punktet $A$ og videre ned til GK-kurven i punktet $G$ .

Profitten er rektangelet med hjørnene i $(0,p)$ , $A$ , $G$ og $(0,\text{GK}(y^{*}))$ — altså høyden $p - \text{GK}(y^{*})$ ganget med bredden $y^{*}$ . Skraver det.

Ligger prislinja under bunnpunktet $B$ , finnes det ingen mengde med positiv høyde: da er rektangelet negativt uansett hvor $y$ velges, og bedriften taper penger på all produksjon.

📝Oppgave 6

Sjanger J

Et trykkeri har $c(y) = 2y^{2} + 72$ (samme som i oppgave 2), og produserer $y = 6$ til prisen $p = 30$ .

a) Regn ut profitten på to måter: direkte som $py - c(y)$ , og som rektangelet $(p - \text{GK})\,y$ .

b) Beskriv i ord hvor rektangelet ligger i MK/GK-diagrammet.

c) Hvor lavt kan prisen falle før produksjonen ikke lenger dekker gjennomsnittskostnaden?

Typiske feil

Fra bokas feilkatalog — den samlede lista over vanlige tabber på ECON2220, som står i kap. 0.1:

- Feil #3 — kurveform påstått uten å vise $c''$ -fortegnet. «Kostnadsfunksjonen er konveks» er en påstand til den er derivert to ganger.
- Å blande MK og GK. Marginalkostnaden svarer på «hva koster den neste?», gjennomsnittskostnaden på «hva koster de i snitt?». I figuren: MK skjærer GK nøyaktig i GK-minimum, nedenfra — ikke i et vilkårlig punkt, og aldri ovenfra.
- Å la sunk kost påvirke beslutningen. Ugjenkallelige kostnader er like i alle alternativer og kan ikke skille mellom dem. Bare unngåelige kostnader hører hjemme i nedleggingsbetingelsen.
- Å glemme at konstant skalautbytte gir lineær kostnadsfunksjon. Da er MK $=$ GK $= k$ overalt, og gjennomsnittskostnadskurven har verken U-form eller bunnpunkt.
- Å regne $c_v$ feil fra teknologien. Teknologien $y = \sqrt{l}$ må inverteres til $l = y^{2}$ før den ganges med lønna. Skriver du $c_v = w\sqrt{y}$ , har du regnet produksjon som om det var timeforbruk.
- Å tro at faste kostnader påvirker marginalkostnaden. De forsvinner i derivasjonen. De påvirker gjennomsnittskostnaden — og det er nettopp derfor GK-kurven blir U-formet.
- Å blande de to $F$ -ene. $F$ uten argumenter er faste kostnader; $F(K,L)$ er produktfunksjonen.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Gjennomsnittlige variable kostnader

c_v(y)/y

Enhetskostnaden

k

ved konstant skalautbytte

c(y) = k\,y

Hvorfor GK-kurven er U-formet

F/y

Relevante kostnader i en beslutning

py - (\text{unngåelige kostnader})

Skalaregimet lest fra kostnadssiden

c''(y)

Kostnadsfunksjonen	$c''(y)$	Marginalkostnad	Gjennomsnittskostnad	Skalautbytte
$c = k\,y$ (lineær)	$=0$	konstant	konstant	konstant
konveks, f.eks. $c = ay^{3/2}$	$>0$	stigende	stigende	avtakende
konkav, f.eks. $c = ay^{3/4}$	$<0$	fallende	fallende	tiltakende

Terskelprisen (minimum gjennomsnittskostnad)

\text{MK} = \text{GK}

Profitt som rektangelareal

p - \text{GK}(y)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.