3.1 Beholdningsbudsjettet: når inntekten er varer

- kap. 1.3 — Lagrange-metoden: hvordan du setter opp $\mathcal{L}$, deriverer og kombinerer førsteordensbetingelsene.
- kap. 2.1 — nyttemaksimering med pengeinntekt og tolkningen av tilpasningsbetingelsen.
- kap. 2.2 — Cobb-Douglas-etterspørselen $c_1 = am/p_1$.

Kommer du fra ECON1210, er budsjettlinjen og indifferenskurvene presentert i Konsumentteori: budsjettlinje, indifferenskurver og tilpasning.

Sist du var her — de tre formlene du trenger med én gang:

$$p_1c_1 + p_2c_2 = m$$
Budsjettbetingelsen med pengeinntekt $m$: verdien av det du konsumerer er lik inntekten din. Helningen på linjen er $-p_1/p_2$.

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$$
Tilpasningsbetingelsen: forholdet mellom marginalnyttene er lik prisforholdet i optimum. Venstresiden kalles den marginale substitusjonsbrøken (MSB) — hvor mange enheter av vare 2 du er villig til å gi fra deg for én ekstra enhet av vare 1 (på engelsk MRS).

$$c_1 = \frac{am}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)m}{p_2}$$
Cobb-Douglas-etterspørselen fra $u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2$: du bruker den faste andelen $a$ av inntekten på vare 1.

Alt kapitlet gjør, er å bytte ut høyresiden $m$ i den første formelen. Resten av apparatet står.

Tenk deg at du har en liten kjøkkenhage. I august har du 300 kilo poteter og 120 kilo gulrøtter — mer poteter enn du klarer å spise, og for få gulrøtter. Du kan selge poteter på torget og kjøpe gulrøtter tilbake til markedspris. Hva kan du ende opp med å spise?

Du har ingen pengeinntekt i vanlig forstand. Inntekten din er varene du eier. Og det gir en budsjettbetingelse med en egenskap pengeinntekten ikke har: uansett hva prisene er, kan du alltid velge å spise nøyaktig det du selv har dyrket. Det høres trivielt ut, men det er hele nøkkelen til figuren, til fortegnene og til den mest siterte fellen på eksamen.

Kapitlet er bygget som tre læringsløkker:

1. Løkke 1 (~15 min): budsjettbetingelsen når inntekten er varer, og hvorfor beholdningspunktet alltid ligger på linjen.
2. Løkke 2 (~15 min): hva som skjer i figuren når en pris endres — rotasjonen.
3. Løkke 3 (~15 min): netto kjøper og netto selger, optimering på beholdningsbudsjettet, og hvorfor nettoposisjonen avgjør om en prisøkning er god eller dårlig nyhet.

Løkke 1 — Budsjettet når inntekten er varer (~15 min)

Selger du hele beholdningen, får du $p_1\omega_1 + p_2\omega_2$ kroner. Det er alt du kan bruke. Konsumet ditt $(c_1, c_2)$ koster $p_1c_1 + p_2c_2$. Betingelsen blir:

$$p_1c_1 + p_2c_2 = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$$

Venstresiden er verdien av det du spiser; høyresiden er verdien av det du eier. Begge sider måles i kroner.

Hvorfor står det likhetstegn og ikke $\le$? Fordi vi antar monotone preferanser: mer er bedre. Ble noe til overs, kunne du kjøpt mer av en vare du liker, og fått det bedre. En løsning der du kaster penger er aldri optimal, så optimum ligger alltid på linjen. Denne begrunnelsen skal med første gang du skriver opp budsjettet på eksamen — den er et selvstendig poeng.

Skriv gjerne høyresiden som en «inntekt»: $m = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$. Da ser budsjettet ut akkurat som i kap. 2.1, og hele optimeringsapparatet kan gjenbrukes uendret. Men husk at $m$ nå er en funksjon av prisene. Det er hele forskjellen, og den kommer tilbake med full kraft i kap. 3.2.

Den første egenskapen å legge merke til:

Beholdningspunktet $W = (\omega_1, \omega_2)$ ligger alltid på budsjettlinjen. Sett $c_1 = \omega_1$ og $c_2 = \omega_2$ inn i betingelsen: venstresiden blir identisk med høyresiden. Det gjelder for alle priser. Økonomisk sagt: du kan alltid la være å handle og spise ditt eget. Denne muligheten kalles autarki.

Løkke 2 — Rotasjonen: hva skjer i figuren når prisen endres (~15 min)

Nå kommer kapitlets viktigste figurpoeng. Med pengeinntekt $m$ vet du hva som skjer når $p_1$ stiger: linjen svinger innover om skjæringspunktet på den loddrette aksen, fordi $m/p_2$ er uendret mens $m/p_1$ blir mindre.

Med beholdning skjer noe annet. Høyresiden $p_1\omega_1 + p_2\omega_2$ stiger også når $p_1$ stiger. De to virkningene trekker hver sin vei — men ett punkt er umulig å rikke: $W$. Uansett hva $p_1$ blir, tilfredsstiller $W$ budsjettbetingelsen. Derfor:

Legg merke til at rotasjonen forklarer et resultat som ellers virker paradoksalt: en prisøkning kan gjøre en konsument rikere. Eier du mye av godet som ble dyrere, har lageret ditt steget i verdi. Med pengeinntekt er en prisøkning utelukkende dårlig nytt; med beholdning avhenger det av hvilken side av $W$ du befinner deg på.

Løkke 3 — Netto kjøper, netto selger og optimeringen (~15 min)

Vi har sett at figuren deler seg ved $W$. Nå gir vi de to sidene navn.

Sammenlikn konsumet med beholdningen, vare for vare. Er $c_1 > \omega_1$, spiser du mer enn du eier, og differansen må kjøpes. Er $c_1 < \omega_1$, spiser du mindre enn du eier, og differansen selges.

La $(c_1, c_2)$ være tilpasningen ved de gamle prisene, og la $p_1$ stige til $p_1'$. Spør: har konsumenten fortsatt råd til den gamle kurven? Ny inntekt minus ny kostnad for den gamle kurven er

$$\underbrace{(p_1'\omega_1 + p_2\omega_2)}_{\text{ny inntekt}} - \underbrace{(p_1'c_1 + p_2c_2)}_{\text{ny kostnad for gammel kurv}} = p_1'(\omega_1 - c_1) + p_2(\omega_2 - c_2)$$

Ved de gamle prisene holdt budsjettet med likhet, altså $p_1(\omega_1 - c_1) + p_2(\omega_2 - c_2) = 0$. Trekker vi dette fra, står vi igjen med

$$(p_1' - p_1)(\omega_1 - c_1)$$

Her er $p_1' - p_1 > 0$ (prisen steg), så fortegnet bestemmes av $\omega_1 - c_1$:

- Netto selger ($\omega_1 > c_1$): uttrykket er positivt. Hun har råd til den gamle kurven og litt til — altså blir hun strengt bedre stilt.
- Netto kjøper ($\omega_1 < c_1$): uttrykket er negativt. Den gamle kurven er ikke lenger innenfor rekkevidde, så hun må velge noe hun tidligere kunne valgt, men lot være — altså blir hun dårligere stilt.

Dette er et avslørte preferanser-argument: det bruker bare at hun valgte fritt før, ikke hvilken nyttefunksjon hun har. Konklusjonen om nytten er derfor entydig. (Konklusjonen om etterspørselen er en annen sak — den tar vi i kap. 3.2, og der er svaret for netto selger ikke entydig.)

$$\max_{c_1,c_2} u(c_1,c_2) \quad \text{gitt} \quad p_1c_1 + p_2c_2 = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$$

Lagrange-funksjonen blir

$$\mathcal{L} = u(c_1,c_2) + \lambda\left(p_1\omega_1 + p_2\omega_2 - p_1c_1 - p_2c_2\right)$$

Deriverer du mhp. $c_1$ og $c_2$ og deler førsteordensbetingelsene på hverandre, elimineres $\lambda$, og du står igjen med den samme tilpasningsbetingelsen som i kap. 2.1:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}$$

Tolkning i enheter: venstresiden sier hvor mange kilo av vare 2 konsumenten er villig til å gi fra seg for ett kilo ekstra av vare 1; høyresiden sier hvor mange kilo av vare 2 markedet krever for det samme kiloet. Er de ulike, finnes et bytte som gjør henne bedre stilt — så i optimum må de være like.

Det nye er ikke betingelsen, men inntekten. Setter du $m = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$ inn i Cobb-Douglas-etterspørselen fra kap. 2.2, får du

$$c_1 = \frac{a\left(p_1\omega_1 + p_2\omega_2\right)}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{(1-a)\left(p_1\omega_1 + p_2\omega_2\right)}{p_2}$$

Her står $p_1$ nå to steder: i nevneren og inne i inntekten. Det er kimen til hele kap. 3.2.

Notasjonsryddingen — les denne én gang

Gamle eksamenssett er ikke helt konsekvente, og det er en unødvendig kilde til forvirring. Bokas standard er:

- $\omega_1, \omega_2$ betyr alltid beholdning (i to-konsument-økonomier skriver vi $\omega_1^A$, $\omega_1^B$ og så videre — se kap. 4.1).
- Faktorpriser heter $r$ (leiepris på kapital) og $w$ (lønn). Aldri $\omega$.
- Konsumgodene heter $c_1$ og $c_2$, prisene $p_1$ og $p_2$, pengeinntekt $m$.

I arkivsettene finner du både et sett som brukte $y$ om beholdningen, og et som brukte $\omega_1, \omega_2$ om faktorpriser. Møter du det, er det ingen ny modell — bare et annet bokstavvalg. Definer alltid symbolene dine i din egen besvarelse; det koster to linjer og fjerner all tvil hos sensor.

Bør kjenne til: samme struktur dukker opp i arbeidstilbudsmodellen, der beholdningen er timer i døgnet og «prisen» er lønna. Den er behandlet verbalt i Arbeidstilbudet: substitusjons- og inntektseffekt, og du trenger den ikke for ECON2220-eksamen — men kjenner du igjen mønsteret, leser du den figuren gratis.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.