4.1 Bytteøkonomien og Edgeworth-boksen
Bytteboks-håndverket: konstruksjon, indifferenskurver mot hvert sitt origo, beholdningspunktet — og hvorfor samme linje er budsjettlinje for begge.
Selve byttediagrammet — i litteraturen kalt Edgeworth-boksen, i denne boka bare bytteboksen — er sjangeren boka merker F (bytteboks-oppgaven: tegne, lese og forklare byttediagrammet med to konsumenter). Sjanger F er dokumentert i 5 av 11 sett: V2019, V2022, V2023, V2025 og utsatt V2023.
De fire delspørsmålene går igjen nesten ordrett:
1. Les figuren — hvem eier mest av hva, og hva skjer med hver av dem når vi flytter oss i boksen?
2. Marker én allokering som er effektiv (tangering) og én som ikke er det (kryssende kurver).
3. Forklar handelsgevinsten — hvordan begge kommer over nyttenivået de hadde uten handel.
4. Hvorfor er det samme budsjettlinje for begge? Her honorerer sensor to argumenter, og oppgaven ber ofte om forklaringen eksplisitt.
Dette er høyeste prioritet i boka: stoffet må sitte. Til gjengjeld er det håndverk — kan du konstruksjonsreglene, kan du levere alle fire delsvar på tjue minutter.
- kap. 2.1 — nyttemaksimering og tilpasningsbetingelsen .
- kap. 2.2 — Cobb-Douglas-nytten og etterspørselen som følger av den.
- kap. 3.1 — beholdningsbudsjettet: når inntekten er varer du eier fra før.
- Fra forgjengerboka: Konsumentteori: budsjettlinje, indifferenskurver og tilpasning hvis du trenger å friske opp selve figurspråket (budsjettlinje, indifferenskurver, tangering).
Sist du var her — de tre formlene du trenger med én gang:
Beholdningsbudsjettet: verdien av det du forbruker er lik verdien av det du eier. Her er beholdningen (på engelsk endowment) — mengdene av vare 1 og vare 2 du har fra før, før noe bytte har skjedd.
Marginal substitusjonsbrøk (MSB): hvor mange enheter av vare 2 du er akkurat villig til å gi fra deg for én enhet til av vare 1. Tallverdien av helningen på indifferenskurven.
Cobb-Douglas-tilfellet, som vi bruker i alle regneeksempler. (Utregning: og ; deler du den første på den andre, står brøken igjen.) For forenkles den til .
Trenger du ikke mer enn dette. Alt annet bygges opp i kapitlet.
Hverdagsankeret: to markedshager over hekken
To naboer, A og B, driver hver sin lille markedshage. A har hatt et godt gulrotår og sitter med 9 kg gulrøtter og 3 dusin egg. B har hatt et godt hønseår: 3 kg gulrøtter og 9 dusin egg. Til sammen finnes det altså 12 kg gulrøtter og 12 dusin egg i denne lille økonomien — verken mer eller mindre. Ingen produserer noe nytt i dag; de kan bare bytte med hverandre over hekken.
Spørsmålene som følger, er nøyaktig eksamens spørsmål: Hvem bør gi fra seg hva? Finnes det bytter som gjør begge fornøyde? Når er det ikke flere slike bytter igjen? Og hva har prisene med saken å gjøre, når ingen har penger — bare varer?
Verktøyet som svarer på alt dette i én figur, er bytteboksen. Kapitlet er bygget som tre løkker: først konstruksjonen (~15 min), så linsen og tangeringen (~20 min), så handelsgevinsten og den felles budsjettlinja (~20 min). Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.
Løkke 1 — Konstruksjonen (~15 min)
Fra to diagrammer til ett
Hittil har du tegnet én konsument om gangen: vare 1 bortover, vare 2 oppover, origo nede til venstre. Med to konsumenter og faste totalmengder kan du gjøre noe smartere. Siden alt som finnes skal fordeles mellom A og B, er Bs forbruk gitt så snart As forbruk er bestemt: og , der og er totalmengdene.
Da trenger du bare ett diagram. Tegn et rektangel med bredde og høyde . As diagram leses fra hjørnet nede til venstre, som vanlig. Bs diagram er det samme rektangelet snudd 180 grader: Bs origo ligger oppe til høyre, Bs vare 1 måles mot venstre og Bs vare 2 måles nedover. Et hvilket som helst punkt i rektangelet er dermed en fullstendig oppskrift på hvem som får hva.
En bytteøkonomi er en modell der det ikke produseres noe: gitte mengder av godene finnes fra før, de er fordelt på konsumentene som beholdninger, og det eneste som kan skje er at konsumentene bytter med hverandre.
Modellen isolerer fordelingsspørsmålet fra produksjonsspørsmålet. Alt som skjer med velferden, skjer altså gjennom hvem som ender opp med hva — ikke gjennom at det lages mer. Standardversjonen på eksamen har to konsumenter (A og B) og to varer.
Et rektangel der bredden er den totale mengden av vare 1 () og høyden den totale mengden av vare 2 ().
- As origo ligger nede til venstre; As forbruk måles mot høyre og oppover.
- Bs origo ligger oppe til høyre; Bs forbruk måles mot venstre og nedover — Bs diagram er altså As diagram rotert 180 grader.
Hvert punkt i boksen angir samtidig hva A får og hva B får, og de to summerer seg alltid nøyaktig til totalmengdene. Det er hele poenget med konstruksjonen: rektangelet er mengden av mulige fordelinger.
Punktet i boksen som svarer til beholdningene før noe bytte har skjedd: A har og B har .
er startpunktet for all analyse. Alle bytter er bevegelser fra til et annet punkt i boksen, og enhver handel må være frivillig for begge — så et bytte gjennomføres bare hvis begge kommer minst like godt ut av det som i .
A har beholdningen og B har , målt i kg gulrøtter (vare 1) og dusin egg (vare 2). Konstruer bytteboksen, plasser beholdningspunktet, og forklar hva punktet «midt i boksen» betyr.
Boksen er altså et kvadrat med bredde 12 og høyde 12. Legg merke til at det er totalene som gir sidene — ikke As beholdning alene.
Steg 2 — origoene. As origo, kall det , ligger nede til venstre. Bortover fra måles , oppover måles . Bs origo ligger i det motsatte hjørnet, oppe til høyre; fra måles mot venstre og nedover.
Steg 3 — beholdningspunktet. ligger 9 enheter til høyre for og 3 enheter opp: lest med As øyne. Leser du samme punkt med Bs øyne, ligger det enheter til venstre for og enheter ned — altså , som er nettopp Bs beholdning. Det er ingen tilfeldighet: ett punkt, to lesninger.
Steg 4 — tolkning av midtpunktet. Punktet betyr at A får 6 kg gulrøtter og 6 dusin egg, og at B — som får resten — også får . Sammenliknet med har A gitt fra seg 3 kg gulrøtter og fått 3 dusin egg i retur; B har gjort det motsatte.
Figur i ord. Tegn et kvadrat. Merk hjørnet nede til venstre og skriv aksenavnene (bortover) og (oppover). Merk hjørnet oppe til høyre med aksenavnene (mot venstre) og (nedover). Skriv 12 langs begge sider. Sett av punktet nede til høyre for midten, 9 bortover og 3 opp fra , med stiplede hjelpelinjer ned til den nedre kanten (ved 9) og bort til venstre kant (ved 3). Sett av punktet midt i kvadratet.
Enhetstolkning. Boksens bredde er kilo gulrøtter; høyden er dusin egg. En vannrett bevegelse på én enhet betyr at ett kilo gulrøtter skifter eier; en loddrett bevegelse på én enhet betyr at ett dusin egg skifter eier. Ingen bevegelse i boksen skaper eller ødelegger varer — den flytter dem bare.
(Innstegsoppgave — ren gjengivelse. Sjanger F betyr bytteboks-oppgaven: tegne, lese og forklare byttediagrammet.)
To hyttenaboer deler på det de har: A har 5 sekker torv og 11 liter parafin, B har 7 sekker torv og 1 liter parafin.
a) Hva blir boksens bredde og høyde?
b) Hvor ligger Bs origo, og hvilken vei måles Bs forbruk?
c) Hvor i boksen ligger beholdningspunktet , lest med As øyne?
Løkke 2 — Indifferenskurver, linsen og tangeringen (~20 min)
Kurvene krummer mot hvert sitt origo
Nå legger vi preferansene inn i boksen. As indifferenskurver ser ut som de alltid har gjort: fallende og konvekse sett fra nede til venstre, og høyere nytte for A jo lenger opp og til høyre kurven ligger.
Bs kurver er de samme kurvene sett fra det andre hjørnet. De faller og krummer mot oppe til høyre, og høyere nytte for B jo lenger ned og til venstre kurven ligger. Tegner du Bs kurver med krumning mot As origo, har du snudd hele figuren feil vei — det er den vanligste tegnefeilen i sjangeren.
Helningen på en indifferenskurve måler vi som før med den marginale substitusjonsbrøken.
Enhetstolkningen — den sensor krever: MSB er antall enheter av vare 2 konsumenten er akkurat villig til å gi fra seg for å få én enhet til av vare 1, uten å bli dårligere stilt. Er , gir A gjerne fra seg opptil 3 dusin egg for ett kilo gulrøtter til.
I bytteboksen har hvert punkt to slike tall — ett for A og ett for B — og det er sammenlikningen mellom dem som avgjør om det er noe å hente på handel.
Ulike MSB-er er en handelsmulighet
Anta at A i et punkt er villig til å gi fra seg 3 dusin egg for ett kilo gulrøtter (), mens B bare krever 1 dusin egg for å gi fra seg ett kilo gulrøtter (). Da finnes det et bytte begge sier ja til: A gir B 2 dusin egg for ett kilo gulrøtter. A betalte mindre enn hun var villig til (3), og B fikk mer enn han krevde (1). Begge kom opp på en høyere indifferenskurve.
Så lenge de to tallene er forskjellige, finnes det et slikt bytte. Er de like, er det ingen bytteforhold igjen som begge sier ja til. Det er hele mekanikken bak resten av kapitlet — og bak begge velferdsteoremene i kap. 4.3.
En Pareto-forbedring er en bevegelse fra én fordeling til en annen som gjør minst én bedre stilt uten å gjøre noen dårligere stilt.
Merk at dette er et begrep om en endring, ikke om et punkt. I bytteboksen er en Pareto-forbedring en flytting fra ett punkt til et annet der ingen av kurvene man forlater blir krysset «nedover». Motstykket — egenskapen ved selve punktet — er Pareto-effektivitet, som får sin presise behandling i kap. 4.3.
I et punkt der As og Bs indifferenskurver krysser hverandre, avgrenser de to kurvene et linseformet område mellom seg. Alle punkter inne i linsen gir begge høyere nytte enn utgangspunktet — de er Pareto-forbedringer.
Linsen er derfor det synlige beviset på at utgangspunktet ikke var effektivt: det fantes bytter begge ville sagt ja til. Krysser kurvene, finnes det en linse; tangerer de, er linsen krympet til ingenting.
Tolkning i enheter: A og B verdsetter den siste enheten av vare 1 nøyaktig likt målt i vare 2. Da finnes det ikke lenger noe bytteforhold som begge sier ja til — enhver videre flytting løfter den ene og senker den andre. Geometrisk: kurvene krysser ikke, så det er ingen linse igjen.
Dette er det geometriske kjennetegnet på en effektiv fordeling i bytteboksen, og det er det sensor ser etter når oppgaven ber om å «markere en Pareto-effektiv allokering».
Markedshagene fra eksempel 1 har begge nytten (kvadratrot-Cobb-Douglas med lik vekt på begge varene). Beholdningene er og . Vis at ikke er en effektiv fordeling, beskriv linsen, og angi hvilke bytteforhold begge vil si ja til.
Steg 2 — les tallene i enheter. betyr at A bare er villig til å gi fra seg 1/3 dusin egg for ett kilo gulrøtter til — hun har rikelig med gulrøtter og lite egg, så gulrøtter er billige for henne på marginen. betyr at B er villig til å gi fra seg 3 dusin egg for ett kilo gulrøtter. Tallene er forskjellige, altså er ikke effektivt.
Steg 3 — hvem gir hva? B verdsetter gulrøtter høyest på marginen, så gulrøtter skal gå fra A til B, og egg fra B til A. Byttet er gjensidig fordelaktig så lenge prisen A får for et kilo gulrøtter ligger mellom de to grensene:
Krever A mer enn 3 dusin egg per kilo, sier B nei; tilbyr B mindre enn 1/3 dusin, sier A nei.
Steg 4 — kontroller at det virker. Bytt ett kilo gulrøtter mot ett dusin egg (forholdet 1, som ligger midt i intervallet). A får : nytten går fra til . B får : samme regnestykke, samme forbedring. Begge opp.
Figur i ord. I kvadratet fra eksempel 1: tegn As indifferenskurve gjennom — den krummer mot nede til venstre og er flat i (helning i tallverdi 1/3). Tegn Bs indifferenskurve gjennom samme punkt — den krummer mot oppe til høyre og er bratt i (helning i tallverdi 3). De to kurvene krysser i og danner en linse som strekker seg opp og til venstre fra , altså i retning færre gulrøtter og flere egg til A. Skraver linsen og skriv «alle punkter her gjør begge bedre stilt». Marker punktet inne i linsen.
Enhetstolkning av konklusjonen: de to naboene sitter på hver sin skjevhet — for mye gulrøtter hos den ene, for mye egg hos den andre — og markedet (eller bare et håndslag over hekken) retter opp skjevheten ved å flytte varer dit de verdsettes høyest på marginen.
To studenter deler matbudsjettet for uka. A sitter med 2 kg pasta og 8 bokser tomater; B sitter med 10 kg pasta og 2 bokser tomater. Begge har nytten , der vare 1 er pasta og vare 2 er tomater.
a) Regn ut og i beholdningspunktet.
b) Hvilken vei går varene hvis de bytter? Begrunn med tallene fra a).
I en bytteboks med totalmengdene og vurderer du to fordelinger. I fordeling er og . I fordeling er og .
a) Hvilken av de to er effektiv? Begrunn både geometrisk og i enheter.
b) Beskriv i ord hvordan linsen ligger i , og konstruer et konkret bytte som gjør begge bedre stilt.
Løkke 3 — Handelsgevinsten og den felles budsjettlinja (~20 min)
Autarki er referansepunktet
Uten handel må hver av dem forbruke nøyaktig sin egen beholdning. Den tilstanden kalles autarki, og nytten hver oppnår der, er målestokken all handel vurderes mot.
Tilstanden der ingen handel finner sted, slik at hver konsument forbruker sin egen beholdning: og . I figuren er det punktet .
Autarkinytten er reservasjonsnivået i all frivillig handel: ingen går med på et bytte som gir lavere nytte enn den man allerede har uten å bytte. Derfor er indifferenskurvene gjennom grensene for hva som kan bli utfallet — og området mellom dem er linsen.
Nytteøkningen hver konsument oppnår ved å gå fra autarki til et punkt inne i linsen. Gevinsten oppstår ikke fordi det produseres mer — totalmengdene er uendret — men fordi varene flyttes dit de verdsettes høyest på marginen.
At begge vinner samtidig, er ikke et paradoks: bytte er ikke et nullsumspill så lenge de to har ulik MSB i utgangspunktet.
Prisene kommer inn — og gir én linje for to personer
Nå slipper vi markedet til. Anta at det finnes priser og som begge tar for gitt (de er pristakere: hver av dem er for liten til å påvirke prisene). Hver av dem kan da selge av sin beholdning og kjøpe det de heller vil ha, så lenge regnskapet går opp:
Hver av disse er en rett linje med helning som går gjennom eget beholdningspunkt (fra kap. 3.1). Og i bytteboksen er de den samme linja. Det er det siste delspørsmålet i sjanger F, og sensor godtar to argumenter for det.
Argument 1 — det geometriske. Bs diagram er As diagram rotert 180 grader. En rotasjon på 180 grader endrer ikke en linjes helning. Begges budsjettlinje går gjennom (hver kan alltid velge å ikke bytte), og begges linje har helning . To rette linjer med samme helning gjennom samme punkt er samme linje.
Argument 2 — adding-up. Legg de to budsjettlikningene sammen. Venstresiden blir verdien av samlet forbruk, høyresiden verdien av samlede beholdninger:
Men i boksen er og per konstruksjon, så likheten holder automatisk. Dermed: overholder A sitt budsjett i et punkt i boksen, så overholder B sitt også. De to betingelsene er ikke to uavhengige krav, men ett — én linje.
Ber oppgaven om «hvorfor samme budsjettlinje», skriver du begge argumentene. Det tar fire linjer og er dokumentert poenggivende.
Naboene A () og B () har begge nytten . Gulrøtter og egg kan handles til prisene og .
a) Hvem eier mest av hva, og hva skjer med hver av dem om vi flytter oss rett oppover i boksen fra ?
b) Marker en effektiv og en ikke-effektiv fordeling og forklar forskjellen.
c) Vis at handel til bytteforholdet ett kilo gulrøtter per dusin egg løfter begge over autarkinytten.
d) Forklar med begge argumentene hvorfor A og B står overfor samme budsjettlinje.
b) Effektiv og ikke-effektiv. I er og . Ulike helninger betyr kryssende kurver, altså en linse: er ikke effektiv. I punktet er , og B har da også , så . Like helninger betyr tangering: er effektiv. Forskjellen i enheter: i er A villig til å gi 1/3 dusin egg for et kilo gulrøtter mens B vil gi 3 — det er rom for et bytte begge tjener på. I er begge villige til å gi nøyaktig 1 dusin egg for et kilo gulrøtter, og ethvert videre bytte må gjøre den ene dårligere stilt.
c) Handelsgevinsten. Til bytteforholdet 1 dusin egg per kilo gulrøtter kan A gi fra seg 3 kg gulrøtter og få 3 dusin egg: . Nytten går fra i autarki til . B ender også i og går fra til . Begge over autarkinytten, og siden er forbedringen reell, ikke en avrundingseffekt. Ingen nye varer er skapt; gevinsten kommer utelukkende av at varene har flyttet seg dit de verdsettes høyest.
d) Samme budsjettlinje — begge argumenter.
Geometrisk: Bs diagram er As rotert 180 grader, og en 180-graders rotasjon bevarer helning. Begge kan velge å ikke handle, så begges budsjettlinje går gjennom ; begge er pristakere med samme priser, så begges linje har helning . Samme helning og samme punkt gir samme linje.
Adding-up: summen av de to budsjettbetingelsene sier at verdien av samlet forbruk er lik verdien av samlede beholdninger. Siden ethvert punkt i boksen per konstruksjon fordeler nøyaktig totalmengdene, er den summen automatisk oppfylt. Overholder A sitt budsjett, følger Bs av regnskapet.
Figur i ord. Kvadratet med nede til venstre og oppe til høyre. markert nede til høyre for midten. Gjennom tegnes As flate indifferenskurve (krummer mot ) og Bs bratte (krummer mot ); linsen mellom dem skraveres og strekker seg opp og til venstre. Diagonalen fra til er tegnet stiplet og merket «kontraktkurve». Punktet ligger på diagonalen der de to kurvene tangerer. Gjennom og trekkes den felles budsjettlinja, merket med helningen , og aksene har hjelpelinjer ned til 6 og 9 på den nedre kanten.
En medstudent svarer på spørsmålet «hvorfor står A og B overfor samme budsjettlinje?» slik: «Fordi de handler til de samme prisene.»
a) Hva mangler i svaret?
b) Skriv et fullstendig svar med begge argumentene sensor godtar.
To øybygder, A og B, bytter tørrfisk (vare 1) og poteter (vare 2). A har , B har . Begge har nytten .
a) Tegn boksen i ord: dimensjoner, origoer og hvor ligger.
b) Regn ut begge MSB-ene i og avgjør om er effektiv.
c) Angi intervallet av bytteforhold (poteter per tørrfisk) som begge vil si ja til.
— naturlig pausepunkt —
Du har nå konstruksjonen, linsen, tangeringsbetingelsen og begge budsjettlinje-argumentene. Det er hele sjanger F. Resten av kapitlet er kontraktkurven, to krevende oppgaver og feilkatalogen. Har du brukt rundt 40 minutter, er dette et godt sted å ta en pause.
Kontraktkurven — menyen av effektive fordelinger
Tangeringspunktet i eksempel 3 var ikke det eneste. Starter du fra en annen fordeling av totalmengdene, finner du et annet punkt der de to kurvene tangerer. Samler du alle slike punkter, får du en kurve gjennom boksen fra til .
Mengden av alle fordelinger i bytteboksen der de to indifferenskurvene tangerer hverandre, altså der . Kurven går fra til og består nettopp av de fordelingene der det ikke er flere gjensidig fordelaktige bytter igjen.
Kurven er en meny, ikke et enkeltsvar: punktene lengst mot er svært gunstige for A, punktene lengst mot svært gunstige for B — og alle er like effektive. Det er nettopp denne menyen det andre velferdsteoremet i kap. 4.3 sier at man kan velge fritt fra, og det er hovedpoenget i kap. 4.4.
(Krevende.) Begge konsumenter har nytten , og totalmengdene er og . Vis matematisk at kontraktkurven er den rette linja fra til (diagonalen i boksen), og tolk resultatet i ord.
(Eksamensklone, sjanger F i full bredde — omtrent 20 minutters skrivetid.)
To fjellgårder, A og B, bytter melk (vare 1) og høy (vare 2). A har og B har . Begge har nytten , og de kan handle til prisene og .
a) Konstruer bytteboksen i ord og plasser . Hvem eier mest av hva?
b) Er en effektiv fordeling? Begrunn med utregning og tolk svaret i enheter.
c) Marker et effektivt punkt og forklar hvordan du vet at det er effektivt.
d) Forklar hvorfor A og B står overfor samme budsjettlinje. Bruk begge argumentene.
Feilene under er de dokumenterte trekkene i sjanger F. Kodene med firkanttegn viser til bokas samlede feilkatalog (#1–#13), som er presentert i kap. 0.1; her er kodene som gjelder i dette kapitlet.
- Bs kurver tegnet feil vei. Bs indifferenskurver skal krumme mot Bs origo oppe til høyre. Krummer de mot As origo, blir hele linse- og tangeringsanalysen meningsløs. Dette er den vanligste tegnefeilen i sjangeren.
- Boksens sider satt til én persons beholdning. Sidene er totalene og . Bruker du As beholdning som bredde, får ikke Bs beholdning plass i figuren.
- «Effektiv» markert uten tangering (#1 — figur levert i stedet for utledning). Å peke på et punkt og skrive «her er det effektivt» uten å vise eller si at kurvene tangerer, er ikke et svar. Skriv og regn det gjerne ut.
- Bare ett budsjettlinje-argument når oppgaven ber om forklaringen. Sensor godtar begge, men oppgaven spør om hvorfor — og det geometriske argumentet alene forklarer helning, ikke plassering. Ta med begge; det koster fire linjer.
- Forbedring forvekslet med effektivitet (nær slektning av feil #8, den normative Pareto-tolkningen — se kap. 4.4). En Pareto-forbedring er en bevegelse; Pareto-effektivitet er en egenskap ved et punkt. «Byttet var en Pareto-forbedring, altså er punktet effektivt» er ikke gyldig — man kan forbedre seg til et punkt som fortsatt har en linse igjen.
- MSB tolket uten enheter (#2 — formelen gjentatt som «tolkning»). « betyr at A har høy MSB» er ikke en tolkning. Skriv: A er villig til å gi fra seg 3 dusin egg for ett kilo gulrøtter til.
Begrepsbank til eksamen
Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.
Under ligger byggeklossene i sjanger F i kortform, slik de skal kunne skrives ned uten oppslag.
Summen av begge konsumentenes beholdninger av hver vare: og . Totalene er faste i en bytteøkonomi — det produseres ikke noe — og de er nettopp boksens bredde og høyde.
Bredden er (total mengde vare 1), høyden er (total mengde vare 2). Fordi sidene er totalene, svarer hvert punkt i boksen til en fordeling der alt er delt ut og ingenting er igjen. Setter du sidene til én persons beholdning, får ikke den andre plass.
Hjørnet oppe til høyre i boksen. Bs forbruk av vare 1 måles mot venstre fra dette hjørnet, Bs forbruk av vare 2 nedover. Bs hele diagram er As diagram rotert 180 grader — derfor krummer Bs indifferenskurver mot dette hjørnet, og derfor bevares helningen på budsjettlinja.
En bevegelse mot høyre gir A mer av vare 1 og B mindre; en bevegelse oppover gir A mer av vare 2 og B mindre. Rent vannrette og rent loddrette bevegelser er derfor alltid ren overføring — den ene vinner, den andre taper. Gjensidig fordelaktige bytter går alltid på skrå.
Hver konsuments kurver krummer mot sitt eget origo, fordi nytten øker når man beveger seg bort fra origo langs begge akser. As kurver krummer mot hjørnet nede til venstre, Bs mot hjørnet oppe til høyre. Dette er konsekvensen av konvekse preferanser — avtakende MSB langs kurven.
Ulik MSB i utgangspunktet. Verdsetter A og B den siste enheten av vare 1 ulikt målt i vare 2, finnes det et bytteforhold som ligger mellom de to tallene, og da vinner begge. Gevinsten skapes ved omfordeling av eksisterende varer, ikke ved ny produksjon.
Legger du de to budsjettbetingelsene sammen, får du at verdien av samlet forbruk er lik verdien av samlede beholdninger. I boksen er dette automatisk oppfylt, siden ethvert punkt fordeler nøyaktig totalmengdene. Derfor impliserer As budsjettbetingelse Bs — det er én linje, ikke to.
Bs diagram er As rotert 180 grader, og rotasjon bevarer helning; begge er pristakere til samme priser, så begge linjer har helning ; begge kan velge å ikke handle, så ligger på begge. Lik helning pluss felles punkt gir én og samme linje.
Tallverdien av budsjettlinjas helning: hvor mange enheter av vare 2 markedet krever for én enhet av vare 1. Bare forholdet mellom prisene betyr noe i en bytteøkonomi — det er dette forholdet konsumentene tilpasser sin MSB til.
En konsument er netto kjøper av en vare når forbruket overstiger beholdningen (), og netto selger når det motsatte gjelder. I boksen ser du det på hvilken vei man har flyttet seg fra : mot høyre er A netto kjøper av vare 1, mot venstre netto selger.
En fordeling er effektiv i bytteboksen når de to indifferenskurvene tangerer hverandre der, altså når og linsen er krympet til ingenting. Krysser kurvene, finnes det bytter begge vil si ja til, og fordelingen er ikke effektiv. Den presise definisjonen står i kap. 4.3.
Et punkt der kurvene krysser hverandre. Da er , det finnes en linse av fordelinger begge foretrekker, og handel kan løfte begge. Alle punkter utenfor kontraktkurven er av denne typen.
Antall enheter av vare 2 som gis for én enhet av vare 1 i en handel. Frivillig handel krever at bytteforholdet ligger mellom de to MSB-tallene; i markedslikevekt er bytteforholdet nettopp relativprisen , og da er begge MSB-er lik det tallet.
Fordi Bs mengder er bestemt av As (), beskriver ett punkt i rektangelet en fullstendig fordeling. Ingen fordeling av totalmengdene faller utenfor boksen, og ingen punkter i boksen svarer til en umulig fordeling. Derfor kan hele fordelingsproblemet studeres i én figur.
Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.
Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.