6.1 Produksjonsmulighetskurven og MTB

Steg 2 — sett inn i ressursskranken. $n_1 + n_2 = 100$ blir

$$x_1^2 + x_2^2 = 100.$$

Steg 3 — les av kurven. Dette er likningen for en sirkel med radius $\sqrt{100} = 10$ om origo; siden begge mengder er positive, er PMK kvartsirkelen i første kvadrant. Endepunktene: alle timene på molte gir $x_1 = \sqrt{100} = 10$ kurver og $x_2 = 0$; alle på krabbe gir $x_2 = 10$ kilo og $x_1 = 0$.

Er (6, 8) mulig? $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Ja — og siden det summerer til nøyaktig 100, ligger punktet på kurven: timefordelingen er $n_1 = 36$ og $n_2 = 64$, til sammen 100 timer, ingen ledige. Punktet er altså effektivt i produksjonen.

Figur i ord. Tegn $x_1$ (kurver molte) langs den vannrette aksen og $x_2$ (kilo krabbe) langs den loddrette. Kurven starter i punktet $A = (0, 10)$ på den loddrette aksen, buer utover fra origo og ender i $B = (10, 0)$ på den vannrette. Punktet $P = (6, 8)$ ligger på buen; trekk stiplede hjelpelinjer fra $P$ vannrett inn til $x_2 = 8$ og loddrett ned til $x_1 = 6$. Alt området mellom buen og origo (inkludert et punkt som $(4, 4)$) er mulig, men ineffektivt: der står timer ubrukt. Området utenfor buen, for eksempel $(9, 9)$, er uoppnåelig — $81 + 81 = 162 > 100$.

$$2x_1 + 2x_2\frac{dx_2}{dx_1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_1}{x_2} \quad\Longrightarrow\quad \text{MTB} = \frac{x_1}{x_2}.$$

Metode 2 — via marginalproduktene (kontroll). $\displaystyle f'(n_1) = \frac{1}{2\sqrt{n_1}} = \frac{1}{2x_1}$ og $\displaystyle g'(n_2) = \frac{1}{2x_2}$, så

$$\text{MTB} = \frac{g'(n_2)}{f'(n_1)} = \frac{1/(2x_2)}{1/(2x_1)} = \frac{x_1}{x_2}. \; ✓$$

De to metodene gir samme svar, som de skal.

I punktet $P = (6, 8)$: $\text{MTB} = 6/8 = 0{,}75$. Enhetstolkning: i dette punktet må øya gi opp 0,75 kilo krabbe for hver ekstra kurv molte. Regnet motsatt vei: én kilo krabbe til koster $1/0{,}75 \approx 1{,}33$ kurver molte.

I punktet $Q = (8, 6)$: $\text{MTB} = 8/6 \approx 1{,}33$. Nå koster den neste kurven molte 1,33 kilo krabbe — nesten dobbelt så mye som i $P$.

Hvorfor stiger prisen? I $Q$ ligger allerede 64 timer på myra og bare 36 på teinene. Den neste timen på myra gir lite ekstra molte (avtakende marginalprodukt), mens den samme timen tatt fra teinene koster mye krabbe, siden krabbesektoren er tynt bemannet og derfor har høyt marginalprodukt. Begge kreftene trekker samme vei, og MTB vokser.

Figur i ord. Kvartsirkelen fra Eksempel 1, med $P = (6, 8)$ og $Q = (8, 6)$ markert. Tegn tangentlinjen i $P$: den er slak (helning $-0{,}75$). Tegn tangenten i $Q$: den er brattere (helning $-1{,}33$). Stiplede hjelpelinjer ned til aksene fra begge punkter. Poenget figuren skal vise, er at tangenten blir brattere jo lenger til høyre du beveger deg.

$$2x_1 + 3x_2 = 120, \qquad \text{altså} \qquad x_2 = 40 - \tfrac{2}{3}x_1.$$

MTB. Helningen er konstant $-\tfrac{2}{3}$, så $\text{MTB} = \tfrac{2}{3}$ i alle punkter på kurven. Kontroll via marginalproduktene: $f'(n_1) = 1/2$ og $g'(n_2) = 1/3$, så $\displaystyle \text{MTB} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$. ✓

Enhetstolkning. Uansett hvor på kurven økonomien står, koster den neste enheten vare 1 nøyaktig to tredels enhet vare 2. Alternativkostnaden er konstant.

Hva skiller den fra kvartsirkelen? Her er marginalproduktene konstante: den tiende timen i en sektor gir like mye som den første ($f'' = 0$). Da forsvinner begge kreftene som gjorde brøken $g'/f'$ voksende, og kurven blir en rett linje. Kvartsirkelens krumning kommer altså utelukkende fra avtakende marginalproduktivitet — ikke fra noe ved figuren i seg selv.

Figur i ord. Tegn den rette linja fra $(0, 40)$ på den loddrette aksen til $(60, 0)$ på den vannrette. Legg kvartsirkelen fra Eksempel 1 inn i samme diagram som referanse (buet utover). Kontrasten er hele poenget: samme type ressursskranke, ulik teknologi, ulik form.

Steg 2 — utledning. $\mathcal{L} = 300x_1 + 400x_2 + \lambda(100 - x_1^2 - x_2^2)$.

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = 300 - 2\lambda x_1 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 400 - 2\lambda x_2 = 0.$$

Deler vi den første på den andre, forsvinner $\lambda$:

$$\frac{300}{400} = \frac{x_1}{x_2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad x_2 = \frac{4}{3}x_1.$$

Sett inn i PMK: $x_1^2 + \left(\tfrac{4}{3}x_1\right)^2 = 100$, altså $x_1^2\left(1 + \tfrac{16}{9}\right) = 100$, altså $\tfrac{25}{9}x_1^2 = 100$, altså $x_1^2 = 36$ og

$$x_1 = 6 \text{ kurver molte}, \qquad x_2 = 8 \text{ kilo krabbe}.$$

b) I $(6, 8)$ er $\text{MTB} = x_1/x_2 = 6/8 = 0{,}75$, og prisforholdet er $p_1/p_2 = 300/400 = 0{,}75$. ✓

Steg 3 — enhetstolkning. Prisforholdet 0,75 sier at markedet verdsetter én kurv molte like høyt som 0,75 kilo krabbe. MTB $= 0{,}75$ sier at det koster øya 0,75 kilo krabbe å skaffe den kurven. Kostnaden i krabbe er akkurat lik verdien i krabbe — det er ingenting igjen å hente ved å flytte flere timer. Hadde MTB vært 0,5, ville en ekstra kurv kostet en halv kilo krabbe, men vært verdt 0,75 kilo, og øya burde plukket mer molte.

c) Timene: $n_1 = x_1^2 = 36$ timer på myra, $n_2 = x_2^2 = 64$ timer på teinene; til sammen 100. ✓ Samlet verdi: $300 \cdot 6 + 400 \cdot 8 = 1800 + 3200 = 5000$ kroner.

Kontroll av at dette virkelig er toppen. Prøv nabopunktet $(8, 6)$, som også ligger på kurven: verdien blir $300 \cdot 8 + 400 \cdot 6 = 2400 + 2400 = 4800 < 5000$. Og $(0, 10)$ gir $4000$. Punktet $(6, 8)$ er best. ✓

Figur i ord. Kvartsirkelen med endepunkter $(10, 0)$ og $(0, 10)$. Legg inn en isoverdilinje — alle punkter med samme samlede verdi — gitt ved $300x_1 + 400x_2 = 5000$, altså $x_2 = 12{,}5 - 0{,}75x_1$. Linja har helning $-0{,}75$ og tangerer buen nøyaktig i $P = (6, 8)$. Tegn i tillegg en lavere isoverdilinje (for eksempel verdi 4000) som skjærer buen i to punkter, og en høyere (verdi 6000) som ikke treffer buen i det hele tatt. Stiplede hjelpelinjer fra $P$ til aksene ved $x_1 = 6$ og $x_2 = 8$. Poenget figuren viser: den høyest oppnåelige isoverdilinja er den som tangerer kurven, og i tangeringspunktet er helningene like.