3.2 Slutsky med beholdningsledd: netto kjøper mot netto selger

Utsatt-favoritten som kom ordinært i 2025: Slutsky-likningen med endowment-ledd og de tre effektene — med fortegn som avhenger av nettoposisjonen.

55 min

10 oppgaver

Slutsky med beholdningsleddnetto kjøper mot netto selger

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Beholdningsbudsjettet: når inntekten er varer 2.3Slutsky: substitusjons- og inntektseffekt

Brukes videre i

3.3Intertemporalt valg: sparing, lån og renten som pris

Dette er utsatt-eksamenens favorittema — og siden 2025 også ordinært stoff. Substitusjons- og inntektseffekt med beholdningsledd forekommer i 2 av 7 ordinære sett, men i 3 av 4 utsatt-sett i arkivet denne boka bygger på. Beleggene som lar seg tidfeste, er den ordinære konsumentoppgaven i 2025 og konsumentoppgaven på utsatt eksamen i 2025 (der temaet bar kjernen i en oppgave vektet 45 %); de øvrige ligger i eldre sett og på utsatt eksamen 2022. Skal du være rustet for konteeksamen, er dette kapitlet det viktigste i hele Del 3.

Oppgavetypen kalles i denne boka sjanger E: oppgaver der konsumenten eier varen, og spørsmålet er hva som skjer med tilpasningen og nytten når prisen på den varen endres. Merk deg tvillingspørsmålet — nesten alle varianter spør om både etterspørsel og nytte, og svarene er ikke de samme.

Nøkkelformelen i eksamens egen form:

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}$

To feller er dokumentert i sensorveiledningene: (i) feil fortegn fordi kandidaten glemmer at den som er netto selger, blir rikere av en prisøkning; (ii) de to inntektseffektene slås sammen slik at mekanismen forsvinner. Begge unngås av å regne dem hver for seg, slik dette kapitlet gjør.

Prioritetsklasse: må sitte (bokas høyeste av tre nivåer — «må sitte», «må kunne», «bør kjenne»).

Forkunnskaper. Du bør ha vært gjennom:

- kap. 3.1 — beholdningsbudsjettet, rotasjonen om $W$ og nettoposisjonen.
- kap. 2.3 — Slutsky-dekomponeringen uten beholdning, med Slutsky-kompensasjon.
- kap. 2.2 — Cobb-Douglas-etterspørselen og normalitet vist ved derivasjon.

Sist du var her — de tre tingene du trenger med én gang:

$p_1c_1 + p_2c_2 = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$
Beholdningsbudsjettet. Høyresiden er «inntekten» $m = p_1\omega_1 + p_2\omega_2$ , og den er en funksjon av prisene: $\partial m/\partial p_1 = \omega_1$ .

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1}\bigg|_{m \text{ fast}} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} - c_1\frac{\partial c_1}{\partial m}$
Slutsky-likningen fra kap. 2.3, for en konsument med fast pengeinntekt. Første ledd er substitusjonseffekten (alltid ikke-positiv for godet som ble dyrere), andre ledd inntektseffekten.

Slutsky-kompensasjon betyr at konsumenten får akkurat nok ekstra inntekt til å ha råd til den gamle godekurven ved de nye prisene. Det er kursets konvensjon, og den brukes hele veien her.

$c_1 = \frac{am}{p_1} \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{a}{p_1} > 0$
Cobb-Douglas-etterspørselen, og normalitet vist ved derivasjon (ikke påstått).

En sauebonde og en byhusholdning står i samme butikk og ser samme prislapp: lammekjøttet er blitt dyrere. For byhusholdningen er det utelukkende dårlig nytt. For sauebonden er det ikke opplagt i det hele tatt — hun eier lammekjøtt, og lageret hennes er nettopp blitt mer verdt.

Det er hele kapitlet i én setning. Når inntekten din er varer, virker en prisendring gjennom tre kanaler i stedet for to: du vrir deg bort fra det som er blitt dyrt (substitusjon), du blir fattigere som kjøper, og du blir rikere som eier. Den tredje kanalen finnes ikke i modellen med pengeinntekt, og det er den som snur konklusjonene.

Kapitlet er bygget som tre læringsløkker:

1. Løkke 1 (~15 min): hvor beholdningsleddet kommer fra, og hva hvert ledd i formelen betyr.
2. Løkke 2 (~20 min): de tre effektene regnet ut i tall, med figuren i ord.
3. Løkke 3 (~20 min): konklusjonssettet — hva som er entydig og hva som ikke er det, for netto kjøper og netto selger.

Løkke 1 — Hvor beholdningsleddet kommer fra (~15 min)

Med fast pengeinntekt skriver vi etterspørselen som

c_1(p_1, p_2, m)

, og en prisendring virker bare gjennom den første plassen. Med beholdning er inntekten selv en funksjon av prisen:

$m(p_1) = p_1\omega_1 + p_2\omega_2 \qquad \Rightarrow \qquad \frac{\partial m}{\partial p_1} = \omega_1$

En krone høyere pris på vare 1 gjør deg altså $\omega_1$ kroner rikere — like mange kroner som du har enheter på lager.

Prisen står nå to steder i etterspørselen, $c_1\big(p_1,\; m(p_1)\big)$ , så vi må derivere som en sammensatt funksjon:

$\frac{\mathrm{d} c_1}{\mathrm{d} p_1} = \underbrace{\frac{\partial c_1}{\partial p_1}\bigg|_{m \text{ fast}}}_{\text{som med pengeinntekt}} + \underbrace{\frac{\partial c_1}{\partial m}\cdot \omega_1}_{\text{beholdningen ble mer verdt}}$

Setter vi inn den vanlige Slutsky-likningen for det første leddet, $\dfrac{\partial c_1}{\partial p_1}\big|_{m} = \dfrac{\partial c_1^s}{\partial p_1} - c_1\dfrac{\partial c_1}{\partial m}$ , får vi

$\frac{\mathrm{d} c_1}{\mathrm{d} p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} - c_1\frac{\partial c_1}{\partial m} + \omega_1\frac{\partial c_1}{\partial m} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}$

De to inntektsleddene har smeltet sammen til ett ledd skalert med nettoposisjonen $\omega_1 - c_1$ . Det er nøyaktig formelen eksamen bruker.

📜Slutsky-likningen med beholdningsledd

For en konsument med beholdning $\omega$ gjelder

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial c_1^s}{\partial p_1}}_{\text{substitusjonsledd } \le 0} + \underbrace{(\omega_1 - c_1)}_{\text{nettoposisjon}}\underbrace{\frac{\partial c_1}{\partial m}}_{\text{inntektsvirkning}}$

Ledd for ledd:

- Substitusjonsleddet $\partial c_1^s/\partial p_1$ er virkningen når konsumenten får kompensert inntekten sin akkurat nok til å ha råd til den gamle kurven. Det er alltid ikke-positivt for godet som ble dyrere — nøyaktig som uten beholdning.
- Nettoposisjonen $(\omega_1 - c_1)$ er positiv for en netto selger, negativ for en netto kjøper. Den er hele forskjellen fra kap. 2.3, der leddet var $-c_1$ (som svarer til $\omega_1 = 0$ ).
- Inntektsvirkningen $\partial c_1/\partial m$ er positiv for et normalt gode. Normalitet skal vises ved derivasjon, aldri påstås.

Merk hva som skjer hvis $\omega_1 = 0$ : leddet blir $-c_1\,\partial c_1/\partial m$ , altså den vanlige Slutsky-likningen. Modellen i kap. 2.3 er altså spesialtilfellet «eier ingenting av godet».

Slutsky-likningen med beholdningsledd

\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}

Substitusjonsleddet

\partial c_1^s/\partial p_1

Slutsky-kompensasjon

\Delta m = \Delta p_1 \cdot c_1

✏️Eksempel 1: Å lese fortegnene ut av formelen

En husholdning eier $\omega_1 = 40$ enheter av vare 1 og konsumerer $c_1 = 55$ enheter i utgangspunktet. Vare 1 er et normalt gode. Prisen $p_1$ stiger.

Bruk Slutsky-likningen med beholdningsledd til å bestemme fortegnet på hvert ledd og på totaleffekten — uten tall for øvrig.

Sett opp problemet formelt.

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}$

Gå gjennom leddene.

- Substitusjonsleddet: $\partial c_1^s/\partial p_1 \le 0$ . Alltid, for godet som ble dyrere.
- Nettoposisjonen: $\omega_1 - c_1 = 40 - 55 = -15 < 0$ . Husholdningen er netto kjøper av vare 1.
- Inntektsvirkningen: $\partial c_1/\partial m > 0$ , siden vare 1 er oppgitt å være et normalt gode.

Produktet av de to siste er $(-15)\cdot(\text{positivt tall}) < 0$ .

Konklusjon. Begge ledd er negative, så

$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} < 0$

Etterspørselen faller entydig. Ingen ubestemthet her.

Tolkning i enheter. Husholdningen kjøper 15 enheter mer enn hun eier. Prisøkningen gjør disse 15 enhetene dyrere, så hun blir reelt fattigere: for hver krone $p_1$ stiger, må hun betale 15 kroner mer for den samme kurven. I tillegg vrir hun seg bort fra godet fordi det er blitt relativt dyrere. Begge kanaler peker samme vei.

Legg merke til at beholdningen på 40 enheter demper virkningen — uten beholdning ville inntektsleddet vært skalert med $-55$ i stedet for $-15$ — men den snur den ikke.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) Skriv opp Slutsky-likningen med beholdningsledd, og forklar med ord hva hvert av de tre elementene $\partial c_1^s/\partial p_1$ , $(\omega_1 - c_1)$ og $\partial c_1/\partial m$ står for. Oppgi fortegnet på det første og på det siste (for et normalt gode).

📝Oppgave 2

Sjanger E

En husholdning eier $\omega_1 = 90$ enheter av vare 1 og konsumerer $c_1 = 30$ . Vare 1 er et normalt gode. Prisen $p_1$ faller.

a) Hva er nettoposisjonen?

b) Bestem fortegnet på hvert ledd i Slutsky-likningen for denne prisendringen.

c) Er totaleffekten på $c_1$ entydig? Begrunn.

Løkke 2 — De tre effektene i tall og i figur (~20 min)

Formelen slår de to inntektsvirkningene sammen til ett ledd. Pedagogisk — og på eksamen — lønner det seg å holde dem fra hverandre, for det er nettopp der sensorveiledningene sier at kandidatene roter. Vi deler derfor bevegelsen i tre trinn:

1. Substitusjonseffekten (SE). Prisene endres til de nye, og konsumenten får kompensert inntekten slik at hun akkurat har råd til den gamle kurven. Hun vrir seg bort fra det som er blitt relativt dyrere.
2. Den ordinære inntektseffekten (ordinær IE). Vi tar kompensasjonen tilbake, altså lar inntekten falle tilbake til den gamle pengeinntekten. Dette er virkningen av at kurven hennes er blitt dyrere. Den er negativ for et normalt gode når prisen har steget.
3. Beholdnings-inntektseffekten (beholdnings-IE). Til slutt legger vi til at beholdningen er blitt mer verdt: inntekten stiger fra $m$ til $p_1'\omega_1 + p_2\omega_2$ . For et normalt gode trekker dette oppover.

Summen av de tre er totaleffekten. Trinn 2 og 3 er til sammen inntektsleddet $(\omega_1 - c_1)\,\partial c_1/\partial m$ i formelen.

Ordinær inntektseffekt

p_1

Beholdnings-inntektseffekt

p_1

De tre effektene — oppsummeringskortet

c_1

Effekt	Retning på $c_1$ ved prisøkning	Størrelse per krone
Substitusjonseffekt	ned (alltid)	$\partial c_1^s/\partial p_1 \le 0$
Ordinær inntektseffekt	ned (normalt gode)	$-c_1\,\partial c_1/\partial m$
Beholdnings-inntektseffekt	opp (normalt gode)	$+\omega_1\,\partial c_1/\partial m$

✏️Eksempel 2: Sauebonden — hele dekomponeringen i tall

En sauebonde konsumerer lammekjøtt ( $c_1$ , kg) og en sammensatt vare «alt annet» ( $c_2$ ). Hun eier $\omega = (60, 20)$ og har nyttefunksjonen $u = 0{,}5\ln c_1 + 0{,}5\ln c_2$ . Prisene er $p_1 = 20$ kr/kg og $p_2 = 10$ kr. Så stiger lammekjøttprisen til $p_1' = 25$ kr/kg.

a) Finn tilpasningen før og etter prisøkningen, og nettoposisjonen.

b) Dekomponer endringen i $c_1$ i substitusjonseffekt, ordinær inntektseffekt og beholdnings-inntektseffekt.

c) Avgjør hva som skjer med nytten, og beskriv figuren i ord.

a) Sett opp problemet formelt. Budsjettet er

p_1c_1 + p_2c_2 = p_1\cdot 60 + p_2\cdot 20

, og det holder med likhet fordi preferansene er monotone.

Med log-nytte og like vekter går halve inntekten til hver vare (Cobb-Douglas-regelen fra kap. 2.2, her med $a = 0{,}5$ ):

$c_1 = \frac{0{,}5\,m}{p_1}, \qquad c_2 = \frac{0{,}5\,m}{p_2}, \qquad m = p_1\cdot 60 + p_2\cdot 20$

Før: $m = 20\cdot 60 + 10\cdot 20 = 1200 + 200 = 1400$ , altså $c_1 = 0{,}5\cdot 1400/20 = 35$ kg og $c_2 = 0{,}5\cdot 1400/10 = 70$ . Kontroll: $20\cdot 35 + 10\cdot 70 = 1400$ ✓.

Etter: $m' = 25\cdot 60 + 10\cdot 20 = 1500 + 200 = 1700$ , altså $c_1' = 0{,}5\cdot 1700/25 = 34$ kg og $c_2' = 85$ . Kontroll: $25\cdot 34 + 10\cdot 85 = 850 + 850 = 1700$ ✓.

Nettoposisjon: $\omega_1 - c_1 = 60 - 35 = 25 > 0$ — hun er netto selger og selger 25 kg. Totalendringen er $34 - 35 = -1$ kg.

— naturlig pausepunkt —

b) Utled steg for steg.

Trinn 1 — substitusjonseffekten. Hvor mye inntekt trengs for å ha råd til den gamle kurven $(35, 70)$ ved de nye prisene?

$m^s = 25\cdot 35 + 10\cdot 70 = 875 + 700 = 1575$

Det er $1575 - 1400 = 175$ kroner mer enn før, altså $\Delta p_1 \cdot c_1 = 5\cdot 35$ — nøyaktig Slutsky-kompensasjonen. Med denne inntekten og de nye prisene velger hun

$c_1^s = \frac{0{,}5\cdot 1575}{25} = 31{,}5 \text{ kg} \qquad \Rightarrow \qquad \text{SE} = 31{,}5 - 35 = -3{,}5 \text{ kg}$

Trinn 2 — den ordinære inntektseffekten. Ta kompensasjonen tilbake: inntekten faller fra 1 575 til den opprinnelige pengeinntekten 1 400 (vi later foreløpig som om beholdningen ikke er blitt mer verdt).

$c_1 = \frac{0{,}5\cdot 1400}{25} = 28 \text{ kg} \qquad \Rightarrow \qquad \text{ordinær IE} = 28 - 31{,}5 = -3{,}5 \text{ kg}$

Trinn 3 — beholdnings-inntektseffekten. Nå legger vi til at de 60 kiloene hun eier, er blitt 5 kroner dyrere per kilo: inntekten stiger med $5\cdot 60 = 300$ kroner, fra 1 400 til 1 700.

$c_1' = \frac{0{,}5\cdot 1700}{25} = 34 \text{ kg} \qquad \Rightarrow \qquad \text{beholdnings-IE} = 34 - 28 = +6 \text{ kg}$

Kontroll: $-3{,}5 - 3{,}5 + 6 = -1$ kg ✓ — nøyaktig totalendringen fra a).

Effekt	Endring i $c_1$
Substitusjonseffekt	$-3{,}5$ kg
Ordinær inntektseffekt	$-3{,}5$ kg
Beholdnings-inntektseffekt	$+6{,}0$ kg
Total	$\mathbf{-1{,}0}$ kg

Legg merke til at beholdnings-effekten er den største enkelteffekten — men ikke stor nok til å snu totalen her.
c) Nytten. Regn ut hva den gamle kurven koster ved de nye prisene: 1 575 kroner. Den nye inntekten er 1 700 kroner. Hun har altså råd til nøyaktig det hun spiste før, og 125 kroner til overs — og

125 = \Delta p_1(\omega_1 - c_1) = 5\cdot 25

✓. Siden mer er bedre, kan hun bruke overskuddet på mer konsum og komme strengt høyere i nytte. Sauebonden kommer altså bedre ut av prisøkningen, selv om hun spiser litt mindre lammekjøtt.
Figur i ord. Vannrett akse:

c_1

(kg lammekjøtt). Loddrett akse:

c_2

(«alt annet»). Tegn:
- Den opprinnelige budsjettlinjen fra

(0,\;140)

til

(70,\;0)

, helning

-2

. Beholdningspunktet

W = (60, 20)

ligger på den; sjekk:

20\cdot 60 + 10\cdot 20 = 1400

✓. Optimum

A = (35, 70)

merkes til venstre for

W

med tangerende indifferenskurve.
- Den nye budsjettlinjen fra

(0,\;170)

til

(68,\;0)

, helning

-2{,}5

, rotert om $W$ :

25\cdot 60 + 10\cdot 20 = 1700

✓. Optimum

C = (34, 85)

- Den kompenserte linjen, stiplet: samme helning som den nye ( $-2{,}5$ ), men trukket gjennom det gamle punktet $A$ . Den treffer aksene i $(0,\;157{,}5)$ og $(63,\;0)$ . Optimum på den er $B = (31{,}5;\; 78{,}75)$ — kontroll: $25\cdot 31{,}5 + 10\cdot 78{,}75 = 787{,}5 + 787{,}5 = 1575$ ✓.

Bevegelsen $A \to B$ langs den stiplede linjen er substitusjonseffekten; $B \to C$ er de to inntektseffektene samlet. Vil du vise dem hver for seg, tegner du i tillegg en hjelpelinje med den nye helningen og den gamle pengeinntekten 1 400 (skjærer aksene i $(0,140)$ og $(56,0)$ ): punktet på den er $(28, 70)$ , og de to delbevegelsene $B \to (28,70)$ og $(28,70) \to C$ er henholdsvis ordinær og beholdnings-inntektseffekt.

(Figurbestilling: Slutsky-figur med rotasjon om $W$ og kompensert linje — se figurlisten for kapitlet.)

📝Oppgave 3

Sjanger E

En bonde eier $\omega = (80, 40)$ av vare 1 og vare 2, har nyttefunksjonen $u = 0{,}5\ln c_1 + 0{,}5\ln c_2$ , og møter prisene $p_1 = 10$ og $p_2 = 5$ . Prisen på vare 1 stiger til $p_1' = 20$ .

a) Finn tilpasningen før og etter, og nettoposisjonen i vare 1.

b) Dekomponer endringen i $c_1$ i substitusjonseffekt, ordinær inntektseffekt og beholdnings-inntektseffekt. Kontroller at de tre summerer seg til totalendringen.

c) Blir bonden bedre eller dårligere stilt? Vis det med et regnestykke, ikke bare med en påstand.

📝Oppgave 4

Sjanger E

Ta utgangspunkt i en netto selger av vare 1 som opplever at $p_1$ stiger. Beskriv i ord — slik du ville tegnet det på eksamen — figuren som viser dekomponeringen: hvilke linjer skal med, hvor går de, hvilke punkter merkes, og hvilken bevegelse er hvilken effekt? Forklar også hvorfor den kompenserte linjen ikke går gjennom beholdningspunktet.

Løkke 3 — Konklusjonssettet: hva er entydig og hva er det ikke (~20 min)

Nå setter vi sammen resultatene. Legg merke til at vi må svare på to forskjellige spørsmål, og at de har forskjellig status:

- Etterspørselsspørsmålet: går $c_1$ opp eller ned?
- Nyttespørsmålet: blir konsumenten bedre eller dårligere stilt?

Eksamensoppgavene spør nesten alltid om begge. Svarer du bare på det ene, mister du poeng — det er en av de sikreste måtene å tape uttelling på i denne sjangeren.

En bonus underveis: krysspriseffekten er ikke lenger null. I kap. 2.2 var det et pluss-poeng at Cobb-Douglas-etterspørselen med pengeinntekt er uavhengig av

p_2

— substitusjons- og inntektseffekten var like store og motsatte. Med beholdning gjelder ikke det lenger. Deriverer vi

c_1 = a(p_1\omega_1 + p_2\omega_2)/p_1

mhp.

p_2

, får vi

$\frac{\partial c_1}{\partial p_2} = \frac{a\omega_2}{p_1} > 0 \qquad (\text{når } \omega_2 > 0)$

Stiger prisen på vare 2, blir konsumenten rikere — hun eier $\omega_2$ enheter av den — og en del av den ekstra kjøpekraften går til vare 1. Nevner du dette når oppgaven ber om en beholdningsanalyse med Cobb-Douglas, viser du at du har forstått hvorfor uavhengighetsresultatet i det hele tatt gjaldt.

📜Konklusjonssettet ved prisøkning på vare 1

Anta at vare 1 er et normalt gode og at $p_1$ stiger.

Netto kjøper ( $c_1 > \omega_1$ ):

- Substitusjonseffekten trekker ned, og inntektsleddet $(\omega_1 - c_1)\,\partial c_1/\partial m$ er negativt. Etterspørselen faller entydig.
- Den gamle kurven er ikke lenger innenfor rekkevidde, siden $(p_1' - p_1)(\omega_1 - c_1) < 0$ . Nytten faller.

Netto selger ( $c_1 < \omega_1$ ):

- Substitusjonseffekten trekker ned, mens inntektsleddet er positivt. Totaleffekten på etterspørselen er ubestemt — den kan være negativ eller positiv, avhengig av preferansene.
- Den gamle kurven er fortsatt innenfor rekkevidde og det er penger til overs, siden $(p_1' - p_1)(\omega_1 - c_1) > 0$ . Nytten stiger.

Ved et prisfall snus alle konklusjonene: netto selgeren taper, netto kjøperen vinner.

Merk asymmetrien: nyttekonklusjonen er alltid entydig, etterspørselskonklusjonen ikke. Det er fordi nyttekonklusjonen bare bruker avslørte preferanser (hva som er råd), mens etterspørselen avhenger av hvor sterkt konsumenten substituerer.

«Ubestemt» er et faglig svar, ikke en unnvikelse. Det betyr: modellen tillater begge fortegn, og hvilket som gjelder avhenger av hvor lett konsumenten kan bytte mellom godene.

Sjekk det selv med to ytterpunkter, for en netto selger med $\omega = (60, 20)$ , $p_2 = 10$ og en prisøkning fra $p_1 = 20$ til $p_1' = 25$ :

- Cobb-Douglas (lett å substituere): vi regnet det ut i eksempel 2 — $c_1$ faller fra 35 til 34. Substitusjonen vinner.
- Faste proporsjoner (godene må konsumeres i forholdet 1:1, ingen substitusjon mulig): da er $c_1 = c_2 = k$ med $k = \dfrac{p_1\omega_1 + p_2\omega_2}{p_1 + p_2}$ . Før: $k = 1400/30 \approx 46{,}7$ . Etter: $k = 1700/35 \approx 48{,}6$ . Her stiger $c_1$ — substitusjonseffekten er null, så bare beholdnings-effekten står igjen.

Begge tilfellene er netto selgere ( $46{,}7 < 60$ ), og de går hver sin vei. Konklusjonen «ubestemt» er altså ikke en gardering, men en presis beskrivelse av modellen. (Det samme skjer med glatte, deriverbare preferanser som ligger nær faste proporsjoner — poenget er graden av substituerbarhet, ikke knekken i kurven.)

✏️Eksempel 3: Byhusholdningen — samme prisøkning, motsatt utfall

En byhusholdning har samme nyttefunksjon som sauebonden i eksempel 2, $u = 0{,}5\ln c_1 + 0{,}5\ln c_2$ , og møter de samme prisene $p_1 = 20 \to 25$ og $p_2 = 10$ . Men beholdningen er en annen: $\omega = (10, 190)$ — hun eier litt lammekjøtt (en andel i et slaktelag), men mest «alt annet».

a) Finn tilpasningen før og etter, og nettoposisjonen.

b) Dekomponer endringen i $c_1$ , og sammenlikn med sauebonden.

c) Hva skjer med nytten?

a) Før:

m = 20\cdot 10 + 10\cdot 190 = 200 + 1900 = 2100

, så

c_1 = 0{,}5\cdot 2100/20 = 52{,}5

kg og

c_2 = 105

Etter: $m' = 25\cdot 10 + 10\cdot 190 = 250 + 1900 = 2150$ , så $c_1' = 0{,}5\cdot 2150/25 = 43$ kg og $c_2' = 107{,}5$ . Kontroll: $25\cdot 43 + 10\cdot 107{,}5 = 1075 + 1075 = 2150$ ✓.

Nettoposisjon: $\omega_1 - c_1 = 10 - 52{,}5 = -42{,}5 < 0$ → netto kjøper av 42,5 kg.

b) Den gamle kurven koster ved de nye prisene $m^s = 25\cdot 52{,}5 + 10\cdot 105 = 1312{,}5 + 1050 = 2362{,}5$ .

- Substitusjonseffekt: $c_1^s = 0{,}5\cdot 2362{,}5/25 = 47{,}25$ , altså $\text{SE} = 47{,}25 - 52{,}5 = -5{,}25$ kg.
- Ordinær inntektseffekt: tilbake til pengeinntekten 2 100 gir $c_1 = 0{,}5\cdot 2100/25 = 42$ , altså $-5{,}25$ kg.
- Beholdnings-inntektseffekt: opp til 2 150 (økningen er $5\cdot 10 = 50$ kroner) gir $c_1' = 43$ , altså $+1$ kg.
- Sum: $-5{,}25 - 5{,}25 + 1 = -9{,}5$ kg ✓ (fra 52,5 til 43).

Sammenlikning med sauebonden. Begge har identiske preferanser og møter samme prisøkning. Men sauebonden hadde en beholdnings-effekt på $+6$ kg mot byhusholdningens $+1$ kg, rett og slett fordi hun eier 60 kg og byhusholdningen 10 kg. Sauebondens konsum falt 1 kg; byhusholdningens falt 9,5 kg.

c) Nytten faller. Den gamle kurven koster nå 2 362,50 kroner, mens inntekten bare er 2 150 — hun mangler 212,50 kroner, som er $\Delta p_1(\omega_1 - c_1) = 5\cdot(-42{,}5)$ ✓. Kurven hun valgte før, er utenfor rekkevidde, og hun må nøye seg med noe hun tidligere kunne valgt, men lot være. Hun er altså dårligere stilt.

Figur i ord. Samme akse-oppsett som i eksempel 2. Her ligger $W = (10, 190)$ langt oppe til venstre, og optimum $A = (52{,}5;\;105)$ ligger til høyre for $W$ — der ser du med én gang at hun er netto kjøper. Den nye linjen roterer om $W$ og ligger under den gamle i hele området til høyre for $W$ , altså der hun tilpasser seg. Punktet $C = (43;\;107{,}5)$ ligger på en lavere indifferenskurve enn $A$ .

📝Oppgave 5

Sjanger L

Ta stilling til hver påstand — sann, usann eller sann bare under en bestemt betingelse — og begrunn.

a) «En prisøkning på et gode gjør alltid konsumenten dårligere stilt.»

b) «Substitusjonseffekten av en prisøkning på vare 1 kan være positiv når konsumenten er netto selger.»

c) «For en netto selger av vare 1 vil en økning i $p_1$ føre til at konsumet av vare 1 øker.»

d) «Uten beholdning av vare 1 reduseres Slutsky-likningen med beholdningsledd til den vanlige Slutsky-likningen.»

📝Oppgave 6

Sjanger E på…

En eplebonde i Hardanger konsumerer epler ( $c_1$ , kasser) og en sammensatt vare «alt annet» ( $c_2$ ). Hun eier avlingen $\omega = (400, 100)$ og har nyttefunksjonen $u(c_1,c_2) = 0{,}3\ln c_1 + 0{,}7\ln c_2$ . Prisene er $p_1 = 50$ kr per kasse og $p_2 = 100$ kr. Et importbortfall dobler epleprisen til $p_1' = 100$ kr per kasse.

a) Sett opp budsjettbetingelsen og begrunn hvorfor den holder med likhet.

b) Utled etterspørselsfunksjonene, og vis ved derivasjon om epler er et normalt gode.

c) Finn tilpasningen før og etter prissjokket, og bestem nettoposisjonen.

d) Dekomponer endringen i eplekonsumet i de tre effektene.

e) Blir bonden bedre eller dårligere stilt? Vis det, og forklar i ord hvorfor en eplekjøper i byen kommer motsatt ut.

📝Oppgave 7

(Krevende.) Vis, med utgangspunkt i Slutsky-likningen med beholdningsledd, at det ikke finnes noen generell regel for hvordan en netto selgers konsum av vare 1 endres når $p_1$ stiger — men at nyttevirkningen likevel er entydig.

a) Gjør rede for fortegnet på hvert ledd og forklar hvorfor summen ikke kan bestemmes generelt.

b) Konstruér to konkrete tilfeller med samme beholdning $\omega = (60, 20)$ , samme priser $p_1: 20 \to 25$ og $p_2 = 10$ , der endringen i $c_1$ går hver sin vei. Bruk log-nytte med like vekter i det ene og faste proporsjoner ( $c_1 = c_2$ ) i det andre.

c) Forklar hvorfor nyttevirkningen likevel kan avgjøres uten å kjenne preferansene.

Typiske feil

Feilene under hentes fra bokas feilkatalog — den samlede nummererte listen over de vanligste tabbene på ECON2220, presentert i kap. 0.1.

- Feil #9 — fortegnsfeil i beholdnings-Slutsky (feilkode #9 = å glemme at den som er netto selger av et gode, blir rikere når prisen på godet stiger). Dette er den mest siterte feilen i sjangeren og er påpekt i to utsatt-sensorveiledninger. Motmiddelet er mekanisk: skriv opp $(\omega_1 - c_1)$ som eget tall før du konkluderer.
- Å slå de to inntektseffektene sammen. Formelen slår dem riktignok sammen, men gjør du det i besvarelsen også, forsvinner mekanismen sensor er ute etter. Regn dem hver for seg og navngi dem: «den ordinære inntektseffekten er $-c_1\,\partial c_1/\partial m$ , beholdnings-effekten er $+\omega_1\,\partial c_1/\partial m$ ».
- Bruke likningen uten $(\omega_1 - c_1)$ -leddet. Å skrive den vanlige Slutsky-likningen i en beholdningsoppgave er å svare på et annet spørsmål enn det som er stilt.
- Feil #10 — parallellskift av beholdningsbudsjettet (feilkode #10 = å tegne prisendringen som et parallellskift i stedet for en rotasjon om $W$ ). Fellen fra kap. 3.1 følger med hit, nå med tre linjer i figuren i stedet for to.
- Konkludere bestemt fortegn for netto selgerens etterspørsel. Totaleffekten er ubestemt. Å skrive «konsumet faller» uten forbehold er feil; å skrive «ubestemt, fordi substitusjons- og beholdningseffekten trekker hver sin vei» er riktig — og bør følges av at nytten likevel stiger.
- Bare svare på det ene av de to spørsmålene. Oppgavene spør om etterspørsel og nytte. Sjekk oppgaveteksten før du leverer.
- Påstå normalitet. Skal inntektsleddets fortegn brukes, må normaliteten vises ved derivasjon mhp. $m$ (feilkode #3 — egenskaper påstått i stedet for vist).

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Nettoposisjonsleddet

(\omega_1 - c_1)

-c_1

Totaleffekten

\partial c_1/\partial p_1

«Ubestemt» som faglig konklusjon

Å si at en effekt er ubestemt, betyr at modellens antakelser tillater begge fortegn — ikke at man ikke vet. Konklusjonen skal alltid følges av hvorfor : hvilke to ledd som trekker hver sin vei, og hva som avgjør hvilket som dominerer. Et fullgodt svar sier gjerne også hva som skal til for hvert utfall: dominerer substitusjonen, faller konsumet; er godene lite substituerbare, kan konsumet stige.

Nyttekonklusjonen ved prisendring

(p_1' - p_1)(\omega_1 - c_1)

Normalt gode

\partial c_1/\partial m > 0

Mindreverdig gode

\partial c_1/\partial m < 0

Den kompenserte budsjettlinjen

-p_1'/p_2

Bevegelsene

A \to B \to C

A

Avslørte preferanser som fortegnsverktøy

Argumentet «var den gamle kurven fortsatt innenfor rekkevidde?» avgjør nyttespørsmålet uten at man kjenner nyttefunksjonen. Det brukes to steder i dette kapitlet: (i) for å vise at substitusjonsleddet er ikke-positivt (med kompensasjon er den gamle kurven råd, så et annet valg må inneholde mer av det relativt billigere godet), og (ii) for å avgjøre om konsumenten blir bedre eller dårligere stilt. Styrken ligger i at argumentet bare bruker at konsumenten valgte fritt før — det gjelder uansett hvordan preferansene ser ut.

Cobb-Douglas med beholdning — regneoppskriften

u = a\ln c_1 + (1-a)\ln c_2

Sjanger E (bokas navn på beholdningsoppgaven)

Sjanger E er denne bokas navn på eksamensoppgaver om beholdning, netto kjøper og netto selger. Den typiske oppgaven har fem ledd: sett opp budsjettet — utled etterspørselen — vis normalitet ved derivasjon — dekomponer prisendringen — konkluder for både etterspørsel og nytte. Siste ledd er det som oftest glemmes. Sjangeren har en intertemporal variant, der de to «varene» er konsum i dag og konsum i morgen; den behandles i kap. 3.3 .

Netto kjøper og netto selger

c_1 > \omega_1

Krysspriseffekten med beholdning

p_2

Substituerbarhet som forklaringsvariabel

Hvor sterkt substitusjonseffekten virker, avhenger av hvor lett konsumenten kan erstatte det ene godet med det andre. Ytterpunktene: perfekte komplementer (goder som må brukes i fast forhold) har substitusjonseffekt lik null, mens goder som lett erstatter hverandre har stor substitusjonseffekt. Cobb-Douglas ligger i mellomsjiktet. Dette er nøkkelen til å svare godt på hvorfor netto selgerens totaleffekt er ubestemt — og et naturlig sted å hente argumenter i åpne drøftingsspørsmål om hvem et prissjokk rammer hardest.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.