3.3 Intertemporalt valg: sparing, lån og renten som pris

$$c_1 + \frac{c_2}{1{,}05} = 500 + \frac{210}{1{,}05}$$

Regn brøken: $210/1{,}05 = 200$ (kontroll: $200\cdot 1{,}05 = 210$ ✓). Nåverdien av inntekten er

$$W = 500 + 200 = 700$$

b) Konsumerer hun alt i dag ($c_2 = 0$), kan hun bruke $c_1 = W = 700$. Konsumerer hun alt i morgen ($c_1 = 0$), kan hun bruke $c_2 = W(1+r) = 700\cdot 1{,}05 = 735$.

c) Figur i ord. Vannrett akse: $c_1$ (konsum i dag, kroner). Loddrett akse: $c_2$ (konsum i morgen, kroner). Budsjettlinjen går fra $(0,\;735)$ til $(700,\;0)$. Helningen er

$$-\frac{1}{1/(1+r)} = -(1+r) = -1{,}05$$

Marker inntektspunktet $W$-punktet $(m_1, m_2) = (500, 210)$ med stiplede hjelpelinjer til begge aksene; kontroller at det ligger på linjen: $500 + 210/1{,}05 = 500 + 200 = 700$ ✓. Punktet spiller nøyaktig samme rolle som beholdningspunktet i kap. 3.1: hun kan alltid velge å konsumere inntekten sin i den perioden den kommer, uten å spare eller låne.

Tolkning i enheter. Helningen $-1{,}05$ sier: gir hun opp én krone konsum i dag, får hun 1,05 kroner konsum i morgen. Det er markedets bytteforhold over tid.

(Figurbestilling: to-periode-budsjettet med inntektspunktet — se figurlisten for kapitlet.)

$$\max\; 0{,}5\ln c_1 + 0{,}5\ln c_2 \quad \text{gitt} \quad c_1 + \frac{c_2}{1{,}05} = 700$$

Budsjettet holder med likhet fordi mer er bedre i begge perioder.

Utled steg for steg.

$$\mathcal{L} = 0{,}5\ln c_1 + 0{,}5\ln c_2 + \lambda\left(700 - c_1 - \frac{c_2}{1{,}05}\right)$$

Førsteordensbetingelser:

$$\frac{0{,}5}{c_1} = \lambda, \qquad \frac{0{,}5}{c_2} = \frac{\lambda}{1{,}05}$$

Deler vi den første på den andre: $\dfrac{c_2}{c_1} = 1{,}05$, altså $c_2 = 1{,}05\,c_1$.

Innsatt i budsjettet: $c_1 + \dfrac{1{,}05\,c_1}{1{,}05} = 2c_1 = 700$, så

$$c_1 = 350, \qquad c_2 = 1{,}05\cdot 350 = 367{,}5$$

Kontroll: $350 + 367{,}5/1{,}05 = 350 + 350 = 700$ ✓.

(Merk Cobb-Douglas-mønsteret fra kap. 2.2: med like vekter går halve nåverdien til hver periode — $c_1 = 0{,}5W = 350$ og $c_2 = 0{,}5W(1+r) = 367{,}5$.)

b) Sparing. $s = m_1 - c_1 = 500 - 350 = 150$. Husholdningen sparer 150 i dag. Kontroll av periode 2: $c_2 = m_2 + s(1+r) = 210 + 150\cdot 1{,}05 = 210 + 157{,}5 = 367{,}5$ ✓.

c) Tolkning i enheter. I optimum er

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{0{,}5/c_1}{0{,}5/c_2} = \frac{c_2}{c_1} = \frac{367{,}5}{350} = 1{,}05 = 1 + r$$

Husholdningen er villig til å gi opp 1,05 kroner i morgen for én krone i dag — og markedet krever nøyaktig 1,05 kroner. Ingen omdisponering over tid kan øke nytten.

Figur i ord. Vannrett akse $c_1$, loddrett akse $c_2$. Budsjettlinjen går fra $(0,\;735)$ til $(700,\;0)$ med helning $-1{,}05$. Inntektspunktet $(500, 210)$ er merket på linjen med stiplede hjelpelinjer. Optimum $E = (350;\;367{,}5)$ ligger til venstre for inntektspunktet, med en tangerende, konveks indifferenskurve. Avstanden langs den vannrette aksen fra 350 til 500 er sparingen på 150 kroner; den tilsvarende loddrette avstanden fra 210 til 367,5 er renteavkastningen inkludert hovedstolen.

Med like vekter: $c_1' = 0{,}5\cdot 668 = 334$ og $c_2' = 0{,}5\cdot 668\cdot 1{,}25 = 417{,}5$. Kontroll: $334 + 417{,}5/1{,}25 = 334 + 334 = 668$ ✓.

Ny sparing: $s' = 500 - 334 = 166$. Hun sparer altså mer enn før (150), og er fortsatt sparer.

b) Konsumet i dag falt fra 350 til 334, altså ned 16 kroner. Her dominerte substitusjonseffekten: konsum i dag er blitt dyrere, og med Cobb-Douglas-preferanser er substitusjonen sterk nok til å overstyre at hun er blitt rikere.

Nytten steg. Argumentet er avslørte preferanser, oversatt fra kap. 3.2: hva koster den gamle planen $(350;\,367{,}5)$ ved den nye renten?

$$350 + \frac{367{,}5}{1{,}25} = 350 + 294 = 644$$

Den nye nåverdien av inntekten er 668. Hun har altså råd til nøyaktig den gamle planen og 24 kroner til overs i dagens kroner. Siden mer er bedre, kan hun bruke overskuddet og komme strengt høyere i nytte.

(Kontroll med nyttefunksjonen, som ikke er nødvendig i besvarelsen: $0{,}5\ln 350 + 0{,}5\ln 367{,}5 \approx 5{,}882$ mot $0{,}5\ln 334 + 0{,}5\ln 417{,}5 \approx 5{,}923$ ✓.)

Merk at overskuddet på 24 kroner er nettopp differansen mellom ny inntektsnåverdi og kostnaden for den gamle planen — den intertemporale versjonen av $(p_1' - p_1)(\omega_1 - c_1) > 0$ for en netto selger.

— naturlig pausepunkt —

c) Ta en konsument med faste proporsjoner: hun vil ha like mye konsum i de to periodene, $c_1 = c_2 = k$. Da er det ingen substitusjon å hente, og bare inntektsvirkningen står igjen. Budsjettet gir

$$k + \frac{k}{1+r} = W \quad \Longrightarrow \quad k = \frac{W(1+r)}{2+r}$$

Med samme inntektsstrøm: ved $r = 0{,}05$ er $W = 700$ og $k = \dfrac{700\cdot 1{,}05}{2{,}05} \approx 358{,}5$; ved $r = 0{,}25$ er $W = 668$ og $k = \dfrac{668\cdot 1{,}25}{2{,}25} \approx 371{,}1$.

Her stiger konsumet i dag når renten stiger, fra omtrent 358,5 til omtrent 371,1 — og hun er sparer i begge tilfeller ($358{,}5 < 500$). Sammen med a) viser dette at totaleffekten på konsumet i dag er ubestemt for en sparer: den avhenger av hvor lett konsumenten bytter konsum mellom periodene.

d) Figur i ord. Vannrett akse $c_1$ (konsum i dag), loddrett akse $c_2$ (konsum i morgen).

- Gammel budsjettlinje: fra $(0,\;735)$ til $(700,\;0)$, helning $-1{,}05$.
- Ny budsjettlinje: fra $(0,\;835)$ til $(668,\;0)$, helning $-1{,}25$ — kontroller at $668\cdot 1{,}25 = 835$ ✓. Den er rotert om inntektspunktet $(500, 210)$: sjekk at $500 + 210/1{,}25 = 668$ ✓.
- Punkter: gammelt optimum $A = (350;\,367{,}5)$ og nytt optimum $C = (334;\,417{,}5)$, hver med sin tangerende indifferenskurve. $C$ ligger på en høyere kurve enn $A$.
- Kompensert linje (stiplet): helning $-1{,}25$ gjennom det gamle punktet $A$. Optimum på den er punktet $B$; bevegelsen $A \to B$ er substitusjonseffekten og $B \to C$ inntektsvirkningen.

Til venstre for inntektspunktet — der spareren tilpasser seg — ligger den nye linjen over den gamle. Det er den grafiske versjonen av at spareren vinner på renteøkningen.

(Figurbestilling: renterotasjon om inntektspunktet med kompensert linje — se figurlisten for kapitlet.)