7.3 Nåverdi

Beredskapsformlene: diskontering, evigvarende strøm og lønnsomhetsvurdering med tabell.

30 min

6 oppgaver

Nåverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 6 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.PPrøver til del 7: Beredskap: konsumentteori, spill og nåverdi

Dette er et beredskapskapittel — kort, raskt lært og raskt vedlikeholdt.

- Nåverdi hører til bokas sjanger M («dvale-sjangrene» — se kodelista i kap. 0.1).
- Temaet var med i 4 av 16 ordinære sett (H2018, V2019, H2019, V2021) og var fast begrepsspørsmål 2018–2019. Det har ikke vært på ordinær eksamen siden V2021, men er så lettlært at det er billig å ha med.
- Da det sist kom (V2021), fikk studenten en diskonteringstabell og skulle vurdere om et tiltak var lønnsomt ved 3 % mot 5 % rente. Det er nettopp den varianten vi driller her.

Målet: å kunne diskontere et beløp riktig, summere en betalingsrekke, bruke formelen for evigvarende strøm — og alltid ha med hvorfor-forklaringen når begrepet spørres.

Forkunnskaper. Kapitlet kan leses helt selvstendig. Det eneste du trenger, er ideen om alternativkostnad — verdien av det nest beste du kunne gjort med pengene. Her er alternativkostnaden renta: en krone i dag kan settes i banken og vokse, så en krone i dag er verdt mer enn en krone om et år.

Skrivemåte: $y$ er et fremtidig beløp (utbetaling), $r$ er renta (som desimaltall, så 5 % er $r = 0{,}05$ ), $t$ er antall år fram i tid, og NV er nåverdien.

Forestill deg at du vinner i et spill og får velge: 1000 kroner nå, eller 1000 kroner om ett år. De fleste velger nå — og det er økonomisk riktig. Får du pengene nå, kan du sette dem i banken til rente $r$ og ha mer enn 1000 om et år. Beløp på ulike tidspunkter er derfor ikke direkte sammenlignbare; vi må regne dem om til samme tidspunkt før vi kan legge dem sammen. Nåverdi er verktøyet: vi regner alle fremtidige beløp om til hva de er verdt i dag.

Trinn 1 — Diskontering av ett beløp (~8 min)

Sett 1 krone i banken i dag til rente $r$ . Om ett år har du $1 + r$ kroner; om to år $(1+r)^2$ ; om $t$ år $(1+r)^t$ . Snur vi dette: for å ha $y$ kroner om $t$ år, trenger du å sette av

$\text{NV} = \frac{y}{(1+r)^t}$

kroner i dag. Dette er nåverdien av beløpet $y$ som kommer om $t$ år. Å gange en fremtidig utbetaling med faktoren $\displaystyle \frac{1}{(1+r)^t}$ kalles å diskontere den. Faktoren er alltid mindre enn 1 (så lenge $r > 0$ ), og den blir mindre jo lenger fram i tid beløpet ligger og jo høyere renta er.

Hvorfor (forklaringen sensor krever når begrepet spørres): fordi en krone i dag kan plasseres til rente $r$ , er den verdt mer enn en krone senere. Renta er alternativkostnaden ved å binde pengene i et prosjekt i stedet for å la dem vokse i banken. Diskonteringen gjør fremtidige og nåværende beløp sammenlignbare ved å måle alt i dagens kroner.

Nåverdi (NV)

y

✏️Eksempel 1: Nåverdien av ett beløp

Du skal få 1000 kroner om 3 år. Renta er 5 %. Hva er nåverdien? Og hva ville den vært om beløpet kom om bare 1 år?

Om 3 år:

\text{NV} = \dfrac{1000}{(1{,}05)^3} = \dfrac{1000}{1{,}157625} \approx 863{,}84

kroner.

Om 1 år: $\text{NV} = \dfrac{1000}{1{,}05} \approx 952{,}38$ kroner.

Tolkning: 1000 kroner om 3 år er i dag verdt om lag 864 kroner — du kunne satt 864 kroner i banken nå og hatt 1000 om tre år. Jo lenger fram beløpet ligger, desto lavere er nåverdien (952 om ett år mot 864 om tre år), fordi diskonteringsfaktoren $\displaystyle \frac{1}{(1{,}05)^t}$ krymper med $t$ .

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren gjengivelse.) Du skal få 500 kroner om 2 år, og renta er 4 %.

a) Skriv opp formelen for nåverdien.

b) Regn ut nåverdien.

c) Blir nåverdien høyere eller lavere hvis renta stiger til 8 %?

Trinn 2 — Nåverdien av en betalingsrekke og en diskonteringstabell (~10 min)

De fleste prosjekter gir en rekke av beløp over flere år, ikke bare ett. Da diskonterer du hvert års beløp for seg og legger sammen:

$\text{NV} = \frac{y_1}{(1+r)^1} + \frac{y_2}{(1+r)^2} + \dots + \frac{y_n}{(1+r)^n}.$

På eksamen får du gjerne en diskonteringstabell med faktoren $\displaystyle \frac{1}{(1+r)^t}$ ferdig utregnet for hvert år og et par renter. Da slipper du å regne potenser; du bare ganger hvert års beløp med riktig faktor og summerer. Slik ser en tabell ut for rentene 3 % og 5 %:

År $t$	$\displaystyle \frac{1}{(1{,}03)^t}$ (3 %)	$\displaystyle \frac{1}{(1{,}05)^t}$ (5 %)
1	0,9709	0,9524
2	0,9426	0,9070
3	0,9151	0,8638
4	0,8885	0,8227
5	0,8626	0,7835
6	0,8375	0,7462

Legg merke til at faktorene i 5 %-kolonnen er mindre enn i 3 %-kolonnen for samme år: høyere rente diskonterer fremtidige beløp hardere.

✏️Eksempel 2: Lønnsomhet med diskonteringstabell ved to renter

Et tiltak koster 105 kroner i dag og gir 20 kroner per år i 6 år. Bruk diskonteringstabellen over til å avgjøre om tiltaket er lønnsomt ved 3 % og ved 5 % rente.

Lønnsomt betyr at nåverdien av de fremtidige gevinstene er større enn kostnaden i dag (105).

Ved 3 %: summér diskonteringsfaktorene for år 1–6 og gang med 20. Faktorsummen er $0{,}9709 + 0{,}9426 + 0{,}9151 + 0{,}8885 + 0{,}8626 + 0{,}8375 = 5{,}4172$ . Nåverdi av gevinstene: $20 \cdot 5{,}4172 \approx 108{,}3$ kroner. Siden $108{,}3 > 105$ , er tiltaket lønnsomt ved 3 %.

Ved 5 %: faktorsummen er $0{,}9524 + 0{,}9070 + 0{,}8638 + 0{,}8227 + 0{,}7835 + 0{,}7462 = 5{,}0756$ . Nåverdi: $20 \cdot 5{,}0756 \approx 101{,}5$ kroner. Siden $101{,}5 < 105$ , er tiltaket ulønnsomt ved 5 %.

Hvorfor konklusjonen avhenger av renta: ved høyere rente diskonteres de fremtidige gevinstene hardere, så nåverdien deres krymper — fra 108 til 102 kroner her. Renta er alternativkostnaden: jo mer pengene kunne vokst i banken, desto mindre attraktivt er det å binde dem i et prosjekt med gevinster langt fram i tid. Ved 5 % overstiger ikke lenger gevinsten kostnaden, og prosjektet bør droppes.

📝Oppgave 2

Sjanger M

Et prosjekt koster 250 kroner i dag og gir 100 kroner per år i 3 år. Bruk formelen (ikke tabell) og avgjør om det er lønnsomt ved 8 % rente.

a) Sett opp nåverdien av gevinstene som en sum.

b) Regn den ut (diskonteringsfaktorene ved 8 % er 0,9259, 0,8573 og 0,7938 for år 1–3).

c) Er prosjektet lønnsomt?

Trinn 3 — Evigvarende strøm og lønnsomhetsvurdering (~8 min)

Noen ganger gir et aktivum (en eiendom, en obligasjon, et evig veiavgifts-prosjekt) det samme beløpet $y$ hvert år for alltid. Da har den uendelige summen en enkel lukket form:

$\text{NV} = \frac{y}{r}.$

Tolkningen er intuitiv: hvor stor formue $\text{NV}$ må du ha i banken til rente $r$ for at renteinntekten $\text{NV}\cdot r$ skal bli nøyaktig $y$ hvert år? Svaret er $\text{NV} = y/r$ . En evig strøm på 500 kroner i året er ved 5 % rente verdt $500/0{,}05 = 10\,000$ kroner i dag.

Lønnsomhetsregelen (uansett om strømmen er endelig eller evig): invester hvis nåverdien av de fremtidige gevinstene overstiger kostnaden i dag. Fordi høyere rente gir lavere nåverdi, blir færre prosjekter lønnsomme jo høyere renta er — renta fungerer som en terskel prosjektene må klare.

Evigvarende strøm

y

Lønnsomhetsregelen (nåverdikriteriet)

Et prosjekt er lønnsomt hvis nåverdien av de fremtidige gevinstene overstiger kostnaden i dag . Fordi høyere rente diskonterer gevinstene hardere og senker nåverdien, blir færre prosjekter lønnsomme jo høyere renta er. Renta er alternativkostnaden: den måler hva pengene ellers kunne gitt.

Typiske feil

De vanligste tabbene i nåverdi-oppgaver:

- Feil eksponent: å diskontere et beløp som kommer om 3 år med $(1+r)$ i stedet for $(1+r)^3$ . Eksponenten er antallet år fram i tid.
- Summere udiskonterte beløp: å legge sammen 20 + 20 + … uten å diskontere hvert år først. Uten diskontering behandler du fremtidige kroner som om de var verdt like mye som dagens — da forsvinner hele poenget.
- Snu brøken i evigvarende strøm: formelen er $\displaystyle \frac{y}{r}$ , ikke $\displaystyle \frac{r}{y}$ . En strøm på 500 ved 5 % er verdt 10 000, ikke 0,0001.
- *Mangle hvorfor-forklaringen: når begrepet spørres, må du si hvorfor* fremtidige beløp diskonteres — renta som alternativkostnad, en krone i dag verdt mer enn en krone senere. Bare tallet gir ikke full uttelling.

📝Oppgave 3

Sjanger M

En eiendom gir en netto leieinntekt på 8000 kroner per år, antatt for alltid. Den er til salgs for 180 000 kroner.

a) Hva er nåverdien av leieinntektene ved 5 % rente?

b) Er kjøpet lønnsomt ved 5 %?

c) Hva blir svaret ved 4 % rente?

📝Oppgave 4

Eksamensnivå, sjanger M

Et prosjekt koster 400 kroner i dag og gir 100 kroner etter år 1, 200 etter år 2 og 300 etter år 3. Renta er 6 % (diskonteringsfaktorer: 0,9434, 0,8900, 0,8396 for år 1–3).

a) Beregn nåverdien av gevinstene.

b) Avgjør om prosjektet er lønnsomt.

c) Forklar med ord hvorfor beløpene ikke bare kan legges sammen udiskontert, og hva renta representerer i regnestykket.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Nåverdi og diskontering

y

Hvorfor diskontere (renta som alternativkostnad)

r

Nåverdien av en betalingsrekke

y_1, y_2, \dots, y_n

Evigvarende strøm

y

Nåverdikriteriet for lønnsomhet

Invester hvis nåverdien av de fremtidige gevinstene overstiger kostnaden i dag. Fordi høyere rente senker nåverdien, blir færre prosjekter lønnsomme jo høyere renta er. Konklusjonen om et grensetilfelle kan derfor snu når renta endres.

Diskonteringsfaktor

\displaystyle \frac{1}{(1+r)^t}

Renteøkningens virkning på nåverdien

En høyere rente diskonterer fremtidige beløp hardere og senker dermed nåverdien av både enkeltbeløp, betalingsrekker og evigvarende strømmer. Praktisk konsekvens: et prosjekt som er lønnsomt ved lav rente, kan bli ulønnsomt ved høyere rente — nettopp fordi gevinstene ligger fram i tid.

Pengers tidsverdi

Prinsippet om at penger har en tidsverdi: samme kronebeløp er mer verdt jo tidligere du får det, fordi tidlige kroner kan forrentes lenger. Dette er grunnen til at vi diskonterer, og til at man som regel foretrekker en utbetaling nå framfor samme beløp senere.

Udiskontert sum (feilen å unngå)

Å legge sammen fremtidige beløp uten å diskontere overvurderer et prosjekt, fordi det behandler kroner på ulike tidspunkter som like mye verdt. Riktig framgang er alltid å diskontere hvert års beløp til nåverdi før du summerer og sammenligner med kostnaden i dag.

Renta som terskel for prosjekter

Renta fungerer som en terskel: den er avkastningen pengene ellers kunne fått. Et prosjekt må gi en nåverdi av gevinster som slår kostnaden ved gjeldende rente. Stiger renta, heves terskelen, og prosjekter med gevinster langt fram i tid faller først ut.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 2 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.