7.2 Spillteori: 2×2-matrisen, Nash og fangens dilemma

Skrivemåte: i en spillmatrise skriver vi utfallet i hver rute som et tallpar $(A, B)$, der $A$ er gevinsten til spilleren som velger rad og $B$ til spilleren som velger kolonne. Høyere tall er bedre.

Tenk deg to bensinstasjoner rett ved hverandre. Holder begge prisen høy, tjener begge godt. Men hver av dem frister til å sette prisen litt lavere for å kapre den andres kunder. Problemet er at når begge tenker slik, ender begge med lav pris — og begge tjener dårligere enn om de hadde holdt sammen. Ingen av dem ville prisdumpingen, men hver for seg er det det lureste å gjøre.

Dette er fangens dilemma, og spillteori gir oss et enkelt bord — en 2×2-matrise — for å analysere det presist. Vi bygger opp verktøyet i tre trinn: matrisen, Nash-likevekten og Pareto-vurderingen, med en oppgave etter hvert.

Trinn 1 — Fra tekst til 2×2-matrise (~10 min)

Et spill i denne boka har tre deler: spillerne (hvem velger), strategiene (hva hver kan velge) og utfallene (hva hver får, avhengig av begges valg). Med to spillere og to strategier hver får vi en 2×2-matrise med fire ruter.

Oppskriften for å bygge matrisen fra en tekst:

1. Finn de to spillerne. Den ene styrer radene, den andre kolonnene.
2. Finn de to strategiene til hver — de blir rad-/kolonneoverskrifter.
3. Fyll inn hver rute med tallparet $(\text{radspillerens gevinst},\ \text{kolonnespillerens gevinst})$ for den kombinasjonen av valg.

Det er lett å bytte om tallene i paret — les alltid rad-gevinsten først. En feillest matrise gir feil Nash-likevekt, så bruk et øyeblikk på å sette den opp ryddig.

Trinn 2 — Nash-likevekt: beste svar celle for celle (~15 min)

En Nash-likevekt er et utfall der ingen spiller kan tjene på å endre valget sitt alene, gitt hva den andre gjør. Den korte formuleringen du alltid skal ha med: ingen angrer på valget sitt, gitt de andres valg.

Du finner Nash-likevektene med beste-svar-metoden, celle for celle:

1. Radspillerens beste svar: gå gjennom hver kolonne (hver ting den andre kan gjøre). I den kolonnen: hvilken rad gir radspilleren høyest gevinst? Marker den (sensor tegner gjerne en ring rundt tallet).
2. Kolonnespillerens beste svar: gå gjennom hver rad. I den raden: hvilken kolonne gir kolonnespilleren høyest gevinst? Marker den.
3. Nash-likevekt er enhver rute der begge tallene er markert — begge spiller sitt beste svar på den andre samtidig.

Er én strategi beste svar uansett hva den andre gjør, kalles den en dominerende strategi. Har begge spillere en dominerende strategi, er utfallet der de møtes den eneste Nash-likevekten.

Trinn 3 — Pareto-vurdering og fangens dilemma (~12 min)

Nash-likevekten sier hva som skjer — men ikke om utfallet er godt. Til det bruker vi Pareto-vurdering. Et utfall er Pareto-optimalt hvis det ikke finnes et annet utfall som gjør minst én spiller bedre stilt uten å gjøre noen andre verre. Er det et utfall som er bedre for alle (eller bedre for én uten å skade noen), er dagens utfall ikke Pareto-optimalt.

Fangens dilemma er nettopp tilfellet der Nash-likevekten ikke er Pareto-optimal. I bensinstasjon-spillet er Nash $(5, 5)$, men $(10, 10)$ er bedre for begge — så $(5, 5)$ er ikke Pareto-optimalt. Det er dilemmaets kjerne: rasjonell egeninteresse fører begge til et utfall som er dårligere for begge. Grunnen er at hver spiller, når hun ser bort fra den andre, tjener på å bryte samarbeidet (dominerende strategi LAV) — men når begge gjør det, taper begge.

Advarsel mot en vanlig sammenblanding: Nash og Pareto er to ulike spørsmål. Nash spør «hva blir valgt?»; Pareto spør «kunne alle fått det bedre?». Et utfall kan være Nash uten å være Pareto-optimalt (dilemmaet) — og et Pareto-optimalt utfall kan være uoppnåelig som Nash.

Koblingen til konkurransepolitikk: derfor sprekker karteller

Her ligger spillteoriens varige verdi i mikroøkonomien. Et kartell er et prissamarbeid der bedriftene sammen holder prisen høy — som (HØY, HØY) i bensinstasjon-spillet — og deler en gevinst à la monopolutfallet. Men hver enkelt bedrift frister til å underby de andre litt og kapre markedet (bytte til LAV). Fordi «bryt» er en dominerende strategi for hver, er samarbeidet ustabilt: Nash-likevekten er at alle konkurrerer prisen ned. Det er derfor karteller historisk sprekker — og hvorfor prissamarbeid er forbudt, mens myndighetene ikke trenger å håndheve konkurranse like hardt som man skulle tro: bedriftenes egeninteresse driver dem mot konkurranse av seg selv.

Veier ut av dilemmaet: i et gjentatt spill (bedriftene møtes igjen og igjen) kan samarbeid holde, fordi den som bryter kan straffes i senere runder. En enkel og robust strategi er tit-for-tat: start med å samarbeide, og gjør deretter det motparten gjorde forrige runde. Trusselen om gjengjeldelse gjør det dyrt å bryte, og stilltiende samarbeid kan da overleve — men det er nettopp derfor konkurransemyndighetene følger med på markeder med få, faste aktører.

— naturlig pausepunkt — Kjernestoffet er nå gjennomgått. Resten av kapitlet er begrepsbank og repetisjon til flashcards.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.