8.4 Øvingseksamen 2: den tunge GE-varianten

- Kvasi-lineær nytte og innsettingsmetoden: kap. 1.3
- Tilpasningsbetingelsen og ikke-optimale punkter: kap. 2.1
- Slutsky og fortegnet på substitusjonseffekten: kap. 2.3
- Bytteboksen og felles budsjettlinje: kap. 4.1
- Definisjoner, numerisk likevekt og Walras' lov: kap. 4.2
- Velferdsteoremene: kap. 4.3
- Kostnadsminimering og skalautbytte: kap. 5.1–5.2
- Kostnadsfunksjoner og profittmaks: kap. 5.3–5.4
- MTB = MSB og Pareto-forbedringen ved avvik: kap. 6.2

Sist du var her — de tre formlene dette settet krever:

$$\frac{u'_1}{u'_2} = \frac{p_1}{p_2}, \qquad \frac{F'_K}{F'_L} = \frac{r}{w}, \qquad \text{MTB} = \frac{p_1}{p_2} = \text{MSB}$$

Øvingseksamen 2 — oppgavesettet (4 timer)

Alle svar skal begrunnes. Der oppgaven ber om en utledning, holder ikke figur alene. Alle formelle betingelser skal tolkes i økonomiske enheter. Deloppgavene innad i hver oppgave teller likt.

---

Oppgave 1 (30 %) — Konsumenten med kvasi-lineær nytte

Sara bruker inntekten sin på konsertbilletter (vare 1) og alt annet forbruk (vare 2, med prisen normalisert til $p_2 = 1$). Preferansene kan representeres ved

$$u(c_1, c_2) = 4\sqrt{c_1} + c_2.$$

Inntekten er $m = 12$, og prisen på konsertbilletter er $p_1$.

a) Sett opp nyttemaksimeringsproblemet, og løs det med innsettingsmetoden. Forklar hvorfor innsettingsmetoden er tilgjengelig her. Utled etterspørselen etter konsertbilletter som funksjon av $p_1$, og tolk tilpasningsbetingelsen i økonomiske enheter.

b) Avgjør ved derivasjon om konsertbilletter er et normalt gode. Med $p_1 = 1$: regn ut tilpasningen. Prisen stiger deretter til $p_1 = 2$. Regn ut den nye tilpasningen, og dekomponer endringen i billettforbruket i substitusjonseffekt og inntektseffekt ved hjelp av Slutsky-kompensasjon. Forklar resultatet.

c) Anta $p_1 = 1$ og $m = 12$. Fire punkter er foreslått som Saras tilpasning:
$$A = (1, 11), \qquad B = (4, 8), \qquad C = (9, 3), \qquad D = (3, 6).$$
Avgjør for hvert punkt om det kan være optimalt, og forklar i hvert tilfelle hvorfor eller hvorfor ikke. Beskriv figuren du ville tegnet, med akser, kurver, punkter og hjelpelinjer.

d) Ta stilling til påstandene og begrunn hvert svar:
(i) «Substitusjonseffekten av en prisøkning på vare 1 kan være positiv.»
(ii) «Siden Saras etterspørsel etter konsertbilletter ikke avhenger av inntekten, er konsertbilletter et mindreverdig gode for henne.»

---

Oppgave 2 (20 %) — Produsenten

Et pakkeri sorterer og pakker bær med produktfunksjonen

$$F(K, L) = K^{1/4}L^{1/4},$$

og står overfor faktorprisene $r = 2$ og $w = 18$. Bedriften er pristaker.

a) Bestem skalautbyttet ved å utføre testen på $F(tK, tL)$. Sett deretter opp kostnadsminimeringsproblemet for en gitt produksjon $\bar{y}$, utled førsteordensbetingelsen, tolk den i enheter, og utled kostnadsfunksjonen $c(y)$ for de oppgitte faktorprisene.

b) Vis ved å bestemme fortegnet på $c''(y)$ hvilken form kostnadsfunksjonen har, og gjør rede for hvordan dette henger sammen med skalautbyttet du fant i a). Produktprisen er $p = 72$: finn den profittmaksimerende produksjonen og profitten, og beskriv hvor profitten ligger som areal i et diagram med marginal- og gjennomsnittskostnad.

c) Ta stilling til påstandene og begrunn hvert svar:
(i) «Et pakkeri som minimerer kostnadene ved sitt planlagte kvantum, har dermed også maksimert profitten.»
(ii) «Dersom begge faktorprisene dobles, dobles kostnadsfunksjonen.»

---

Oppgave 3 (50 %) — Generell likevekt i bytteøkonomien

To småbruk, $A$ og $B$, kan handle med hverandre i to varer: sekker med saueull (vare 1) og alt annet forbruk (vare 2). Preferansene er

$$u_A(c_1, c_2) = 10\sqrt{c_1} + c_2, \qquad u_B(c_1, c_2) = 20\sqrt{c_1} + c_2,$$

og beholdningene er

$$\omega^A = (3, 4), \qquad \omega^B = (2, 16).$$

Sett $p_2 = 1$ gjennom hele oppgaven.

a) Beskriv byttediagrammet presist: sidenes lengde, plasseringen av de to origoene, beholdningspunktet $W$ og hvordan indifferenskurvene ser ut for denne typen preferanser. Hvem eier mest av hva?

b) Definer presist allokering, markedslikevekt og forskjellen mellom generell og partiell likevekt. Forklar deretter — med begge argumentene — hvorfor $A$ og $B$ står overfor samme budsjettlinje når de kan handle til prisene $(p_1, p_2)$.

c) Utled hver husholdnings etterspørsel etter vare 1, og beregn likevektsprisen $p_1$. Oppgi likevektsallokeringen. Forklar hvorfor det er nok å klarere ett marked, navngi resultatet du bruker, og kontroller at det andre markedet klarerer.

d) Formuler begge velferdsteoremene, med forutsetningene rangert etter hvor sentrale de er, og med det andre teoremets tilleggskrav. Vis deretter konkret — ved å regne ut de marginale substitusjonsbrøkene i likevekten — at likevektsallokeringen er Pareto-effektiv.

e) Finn alle Pareto-effektive allokeringer i denne økonomien (kontraktkurven), og tolk resultatet: hva bestemmer effektivitet, og hva står fritt?

f) I en annen økonomi, der vare 1 også kan produseres, er marginal transformasjonsbrøk $\text{MTB} = 1$ mens konsumentenes marginale substitusjonsbrøk er $\text{MSB} = 3$. Forklar hvorfor allokeringen ikke er Pareto-effektiv, og konstruer eksplisitt en omlegging av produksjon og fordeling som gjør alle bedre stilt. Forklar til slutt hvilken rolle prisene spiller når markedet selv skal få MTB og MSB til å bli like.

Løsningsforslag

Under følger en A-besvarelse for hver oppgave, ført etter bokas tretrinnsmal: formelt oppsett, utledning steg for steg, og tolkning i enheter. Hver løsning avsluttes med et notat om tidsbudsjett og om hvor begrunnelsespoengene sitter.

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å nøle.

Oppgave 1 — kvasi-lineær konsument

- ☐ 1a: innsettingsmetoden brukt og begrunnet, $c_1 = 4/p_1^2$ utledet, tolkningen i enheter.
- ☐ 1b: $\partial c_1/\partial m = 0$ vist, tilpasningene $(4,8)$ og $(1,10)$, $\text{SE} = -3$ og $\text{IE} = 0$ med forklaring.
- ☐ 1c: MSB regnet i alle tre punktene på linjen, og punktet innenfor linjen forklart som ubrukt inntekt.
- ☐ 1d: avslørte preferanser brukt i (i), og «null, ikke negativ» i (ii).

Oppgave 2 — produsenten

- ☐ 2a: testen utført ($t^{1/2}F < tF$), Lagrange begrunnet, MTSB tolket, $c(y) = 12y^2$ utledet.
- ☐ 2b: $c'' = 24 > 0$ regnet og koblet til skalaregimet; $y^* = 3$, $\pi = 108$, profittarealet identifisert.
- ☐ 2c: implikasjonsretningen i (i), og homogeniteten i faktorprisene i (ii).

Oppgave 3 — generell likevekt

- ☐ 3a: boks $5 \times 20$, origoene riktig plassert, $W = (3,4)$, avlesningen av hvem som eier mest.
- ☐ 3b: «i alle markeder» med i definisjonen, og begge budsjettlinje-argumentene.
- ☐ 3c: $p_1 = 5$, allokeringen $(1,14)$ og $(4,6)$, Walras' lov navngitt, andre marked kontrollert.
- ☐ 3d: begge teoremer riktig vei, kjernetrioen først, tilleggskravene til andre teorem, og $\text{MSB}_A = \text{MSB}_B = 5$ regnet ut.
- ☐ 3e: kontraktkurven $c_1^A = 1$ funnet, og tolkningen om at vare 2 står fritt.
- ☐ 3f: byttehandelen konstruert med tall, og prissignalets rolle forklart.

Slik leser du resultatet: mistet du poeng i oppgave 3, er det der du skal legge innsatsen — den bar halve settet. Repeter kap. 4.2–4.3 og drillen i kap. 4.5, og gå så videre til utsatt-varianten i kap. 8.5.