8.5 Øvingseksamen 3: utsatt-varianten (konte-beredskap)

- Beholdningsbudsjettet og rotasjonen gjennom $W$: kap. 3.1
- Slutsky med beholdningsledd, netto kjøper mot netto selger: kap. 3.2
- Intertemporalt valg, nåverdibudsjettet og renten som pris: kap. 3.3
- Drill på begge: kap. 3.4
- Kostnadsfunksjoner på kort sikt, sunk kost og nedlegging: kap. 5.3
- Profittmaksimering: kap. 5.4
- Produksjonsmulighetskurven og MTB: kap. 6.1
- MTB = MSB og Pareto-forbedringen: kap. 6.2
- Eksternaliteter og virkemidler: kap. 6.3
- Sjangertreningen: kap. 8.1–8.2

Sist du var her — de fire formlene utsatt-settene lever av:

$$\frac{\partial c_1}{\partial p_1} = \frac{\partial c_1^s}{\partial p_1} + (\omega_1 - c_1)\frac{\partial c_1}{\partial m}$$

$$c_1 + \frac{c_2}{1+r} = m_1 + \frac{m_2}{1+r}, \qquad \frac{u'_1}{u'_2} = 1 + r$$

$$\text{MTB} = \frac{p_1}{p_2} = \text{MSB}$$

Øvingseksamen 3 — oppgavesettet (4 timer, utsatt-profil)

Alle svar skal begrunnes. Der oppgaven ber om en utledning, holder ikke figur alene. Alle formelle betingelser skal tolkes i økonomiske enheter. Deloppgavene innad i hver oppgave teller likt.

---

Oppgave 1 (40 %) — Beholdning og valg over tid

Del A (deloppgave a–c). Solfrid driver et lite gårdsysteri. Hun konsumerer to goder: ost (vare 1, målt i kilo) og alt annet forbruk (vare 2, med prisen normalisert til $p_2 = 1$). Hun eier beholdningen $\omega = (12, 6)$ og kan kjøpe og selge ost til markedsprisen. Preferansene er

$$u(c_1, c_2) = \tfrac{1}{2}\ln c_1 + \tfrac{1}{2}\ln c_2.$$

a) Sett opp budsjettbetingelsen, og forklar hvorfor beholdningspunktet alltid ligger på budsjettlinjen. Med $p_1 = 1$: regn ut tilpasningen, og avgjør om Solfrid er netto kjøper eller netto selger av ost. Beskriv figuren du ville tegnet.

b) Osteprisen stiger til $p_1 = 3$. Regn ut den nye tilpasningen, og dekomponer endringen i ostekonsumet i substitusjonseffekt, ordinær inntektseffekt og beholdningsvirkning. Tolk hvert ledd, og forklar hvordan figuren endres.

c) Avgjør om Solfrid får høyere eller lavere nytte etter prisøkningen, og begrunn svaret uten å regne ut nyttetall. Forklar deretter hvorfor totaleffekten på etterspørselen generelt er ubestemt for en netto selger, selv om den er entydig negativ i dette tilfellet.

Del B (deloppgave d–e). Solfrid planlegger to perioder. Hun får inntekten $m_1 = 400$ i periode 1 og $m_2 = 252$ i periode 2, og kan spare eller låne til renten $r$. Nytten over perioder er $u(c_1, c_2) = \tfrac{1}{2}\ln c_1 + \tfrac{1}{2}\ln c_2$, der $c_1$ er konsum i dag og $c_2$ konsum i morgen.

d) Utled budsjettbetingelsen på nåverdiform, og regn ut nåverdien av inntekten når $r = 5\ \%$ (uten kalkulator). Finn tilpasningen, og avgjør om Solfrid sparer eller låner. Tolk tilpasningsbetingelsen $u'_1/u'_2 = 1 + r$ i enheter.

e) Renten stiger til $r = 20\ \%$. Regn ut den nye tilpasningen. Avgjør hva som skjer med nytten, og forklar resultatet med samme logikk som i del A. Ta til slutt stilling til påstanden: «En renteøkning gjør spareren bedre stilt og låntakeren dårligere stilt.»

---

Oppgave 2 (30 %) — Produsenten på kort sikt

Et glassverk har på kort sikt fast utstyr, så den eneste variable innsatsfaktoren er arbeid. Produktfunksjonen på kort sikt er

$$y = \sqrt{l},$$

der $l$ er antall arbeidstimer og $y$ er produsert mengde. Timelønnen er $w = 4$. Bedriften har i tillegg faste kostnader på 114, som består av to deler: en tomteleie på 64 som kan sies opp dersom driften legges ned, og en ovnsombygging på 50 som er betalt og ikke kan gjenvinnes.

a) Utled de variable kostnadene $c_v(y)$ og marginalkostnaden. Vis ved fortegnet på den andrederiverte at kostnadsfunksjonen er konveks, og forklar hvorfor teknologien gir stigende marginalkostnad.

b) Produktprisen er $p = 40$. Finn den produksjonen som maksimerer profitten, og regn ut inntekt, variable kostnader og samlet profitt. Bør bedriften produsere på kort sikt? Begrunn svaret.

c) Utled nedleggingsbetingelsen på kort sikt, og forklar presist hvilke kostnader som hører med i vurderingen og hvilke som ikke gjør det. Beskriv figuren du ville tegnet, med marginalkostnad, den relevante gjennomsnittskostnaden, nedleggingsgrensen og dekningsbidraget som areal.

d) Ta stilling til påstanden og begrunn svaret: «Siden bedriften har negativ profitt, bør den legge ned driften.» Skill eksplisitt mellom kort og lang sikt.

---

Oppgave 3 (30 %) — Likevekt med produksjon

Et innlandsdistrikt har 400 arbeidstimer i uka til rådighet. Timene kan brukes i to næringer: skiferbrudd, med $x_1 = \sqrt{n_1}$ (kvadratmeter skifer), og elvegrusuttak, med $x_2 = \sqrt{n_2}$ (kubikkmeter grus), der $n_1 + n_2 = 400$.

a) Utled produksjonsmulighetskurven. Forklar hva helningen måler — i enheter — og hvorfor kurven blir brattere mot høyre. Beskriv figuren.

b) Prisene er $p_1 = 4$ og $p_2 = 3$. Finn produksjonen som maksimerer verdien av samlet produksjon, ved å sette opp og løse problemet med Lagrange-metoden. Oppgi hvor mange timer som brukes i hver næring, og verdien av produksjonen.

c) Vis at markedslikevekten oppfyller $\text{MTB} = \text{MSB}$, og forklar hvilken rolle prisene spiller. Vis deretter at en samfunnsplanlegger som maksimerer nytten direkte på produksjonsmulighetskurven, kommer til den samme betingelsen — uten priser.

d) Elvegrusuttaket ødelegger gyteplasser for laks i elva, som lokalbefolkningen setter pris på, uten at bedriftene betaler for skaden. Forklar hvorfor $\text{MTB} = \text{MSB}$ ikke lenger er nok for at allokeringen skal være effektiv, hvilken forutsetning bak velferdsteoremene som er brutt, og hvorfor en avgift på selve skaden er økonomenes førstevalg. Drøft til slutt hvordan virkningen av å subsidiere skiferbruddet i stedet ville avhenge av hvor nære substitutter de to næringene er i bruken av arbeidskraft. Merk at spørsmålet gjelder virkemidlenes virkning på ressursbruken, ikke hvordan inntektene bør fordeles.

Løsningsforslag

Under følger en A-besvarelse for hver oppgave, ført etter bokas tretrinnsmal: formelt oppsett, utledning steg for steg, og tolkning i enheter. Åpne dem én om gangen. Hver løsning avsluttes med et notat om tidsbudsjett og hvor begrunnelsespoengene sitter.

Selvdiagnose

Kryss av det du fikk til uten å nøle. Er du konte-kandidat, er de åpne boksene her din prioriteringsliste.

Oppgave 1 — beholdning og tid

- ☐ 1a: budsjettet satt opp, $W$ på linjen begrunnet, tilpasningen $(9,9)$, netto selger konkludert, figuren beskrevet.
- ☐ 1b: ny tilpasning $(7,21)$, $c_1^s = 6$, og de tre effektene $-3$, $-3$, $+4$ hver for seg med tolkning.
- ☐ 1c: nytten begrunnet med at den gamle kurven koster 36 mot inntekt 42 — og etterspørselsvirkningen holdt fra nyttevirkningen.
- ☐ 1d: nåverdibudsjettet utledet fra periodebudsjettene, $252/1{,}05 = 240$ regnet i hodet, $c_1 = 320$ og sparing 80, helningen $-(1+r)$.
- ☐ 1e: $c_1' = 305$, nytten begrunnet med nåverdien 600 mot 610, og påstanden avgrenset til utgangsposisjonen.

Oppgave 2 — produsenten på kort sikt

- ☐ 2a: teknologien invertert, $c_v = 4y^2$, $\text{MK} = 8y$, $c'' > 0$ vist, koblingen til avtakende marginalprodukt.
- ☐ 2b: $y^* = 5$, regnskapet satt opp, profitt $-14$, og svaret «driv videre» begrunnet mot alternativet $-50$.
- ☐ 2c: nedleggingsgrensen $p < 32$ utledet, sunk kost eksplisitt holdt utenfor, dekningsbidraget 36 identifisert som areal.
- ☐ 2d: kort og lang sikt skilt, og poenget om at $-14$ er den maksimale profitten.

Oppgave 3 — likevekt med produksjon

- ☐ 3a: $x_1^2 + x_2^2 = 400$ utledet, MTB tolket i enheter, krumningen begrunnet med avtakende marginalprodukt i begge næringer.
- ☐ 3b: Lagrange brukt, $\text{MTB} = p_1/p_2$ navngitt, $(16,12)$ funnet, timebruken 256/144 og verdien 100 oppgitt.
- ☐ 3c: samme prisforhold i begge betingelser, og planleggerversjonen $u'_1/u'_2 = g'(n_2)/f'(n_1)$ utledet.
- ☐ 3d: hvorfor likheten ikke er nok, hvilken forutsetning som brytes, avgiften på marginen, og substituerbarheten drøftet — på ressursbruken, som spurt.

Slik leser du resultatet. Manglet du flere bokser i oppgave 1b eller 1c, gå tilbake til kap. 3.2 og drillen i kap. 3.4 — det er den sjangeren utsatt-settene oftest bygger den største oppgaven på. Manglet du i oppgave 3, ta kap. 6.1–6.3 i sammenheng. Har du gjort alle tre øvingseksamenene, har du vært gjennom hele sjangerregisteret i faget bortsett fra spillteori og atferdsøkonomi, som du finner i kap. 7.1–7.3 og prøvene der — de har ikke båret en eksamensoppgave siden 2022, og settene her speiler derfor en typisk eksamen.