7.1 Statisk spillteori: Nash, dominans og rasjonaliserbarhet

NE-definisjonen, beste-svar-analyse i matrisen og iterert eliminering — vedlikeholdsdose for et tema som kan komme tilbake.

45 min

8 oppgaver

Statisk spillteoriNashdominansrasjonaliserbarhet

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON2220

Brukes videre i

7.2Dynamisk spillteori: SPNE, strategitelling og troverdighet — med Cournot og Stackelberg

Les dette først, så du vet hvor du er. Hele del 7 er beredskapsstoff: den er tatt med som forsikring, ikke fordi den er sannsynlig. Er du presset på tid før eksamen, er dette det første du kan hoppe over — og det siste du bør lese hvis du har tid til overs.

Oppgavetypen heter i denne boka sjanger N (spillteori og atferdsøkonomi). Sjangerbokstavene er bokas eget merkesystem for oppgavetyper, og hele listen står i kap. 0.1.

Frekvens i arkivet — og derfor prioriteringen. Spillteori bar 30–40 % av eksamen i årene 2018–2022, og temaet finnes i 4 av de 7 ordinære settene: V2018 (30 % av settet), V2019 (30 %, som en egen flervalgsbolk med ti delspørsmål), V2020 (30 %) og V2022 (20 %). I tillegg opptrer det i 1 av de 4 utsatt-settene (V2022-utsatt). Men: det finnes null forekomster i settene fra 2023 og framover, verken ordinære eller utsatte. Faget la om i 2023, og produsentteori tok plassen.

Hvorfor da lese det i det hele tatt? Fordi temaet fortsatt står i emnebeskrivelsen (verifisert 2026), og fordi fire årganger med tunge spilloppgaver ligger i arkivet studentene øver på. Et bytte av foreleser kan reversere bortfallet.

Prioritet: dette bør du kjenne. Det er den laveste av bokas tre nivåer — «må sitte», «må kunne», «bør kjenne».

Kravene fra den gangen temaet ble testet: definere Nash-likevekt presist, finne den ved beste-svar-analyse i matrisen, og skille rasjonelle fra rasjonaliserbare strategier ved iterert eliminering av strengt dominerte strategier — inkludert dominans via blandede strategier, som ble eksplisitt testet i V2022.

Kapitlet er kompakt med vilje: dette er vedlikehold, ikke fordypning. Trenger du en mykere inngang til matrisespill, finnes den i forgjengerboka: Spillteori: 2×2-matrisen, Nash og fangens dilemma.

Forkunnskaper. Dette kapitlet krever nesten ingenting fra resten av boka:

- kap. 0.1 — eksamenskartet, som forklarer sjangerkodene og hvorfor del 7 er beredskapsstoff.
- Nyttig, men ikke nødvendig: Spillteori: 2×2-matrisen, Nash og fangens dilemma fra forgjengerboka gir en roligere første gjennomgang av matrisespill.

Du trenger ingen Lagrange, ingen nyttefunksjoner og ingen produksjonsteori her. Det eneste regnetekniske er å regne et gjennomsnitt (til blandede strategier i løkke 4).

Ett begrep du bør ha med deg fra resten av boka: Pareto-forbedring — en endring der minst én får det bedre og ingen får det verre. Vi bruker det for å vise at en Nash-likevekt godt kan være dårlig for alle.

Løkke 1 — Spillet, beste svar og Nash-likevekten (~13 min)

To reketrålere fisker på samme felt utenfor Jæren. Hver av dem bestemmer seg om kvelden for hvor hardt de skal fiske neste dag — mye eller moderat — og de gjør det samtidig, uten å vite hva den andre velger.

Det er dette som gjør situasjonen til et spill og ikke et vanlig optimeringsproblem: det beste valget for den ene avhenger av hva den andre gjør. Fisker begge hardt, tømmes feltet og begge tjener lite. Fisker begge moderat, tjener begge godt. Men fisker naboen moderat, er det svært lønnsomt for meg å fiske hardt.

Spillteori er verktøykassa for slike situasjoner. Den består i praksis av tre ting: en måte å skrive ned spillet, et begrep om hva som er «best svar», og en likevektsdefinisjon.

Spill i normalform

(\text{rad-spillerens utbetaling}, \text{kolonne-spillerens utbetaling})

Ren strategi

En ren strategi er ett av de valgene en spiller kan gjøre — «fisk mye», «sett prisen til 40 kroner», «velg standard A». Ordet «ren» skiller den fra en blandet strategi, der spilleren trekker lodd mellom flere valg. Blandede strategier møter du i løkke 4; fram til da er alle strategier rene. I et spill på matriseform er de rene strategiene nettopp radene og kolonnene.

Utbetaling (payoff)

En utbetaling er tallet en spiller får i en gitt cellekombinasjon. Det kan være kroner, profitt, nytte eller poeng — det som betyr noe, er rangeringen : at høyere tall er bedre for den spilleren. I matrisen står radspillerens utbetaling først i hvert par. Å lese dem i feil rekkefølge er en av de vanligste tabbene, og den forplanter seg til hele analysen. Utbetalingene antas kjent for begge spillere. Denne antakelsen — at spillet er felles kunnskap — er det som gjør det meningsfullt å spørre hva den andre kommer til å gjøre.

Beste svar

En strategi er et beste svar til motspillerens valg hvis den gir spilleren høyest mulig utbetaling gitt nettopp det valget. I matrisen finner du dem mekanisk: - For radspilleren: gå gjennom hver kolonne for seg, og marker den største verdien blant radspillerens tall i den kolonnen. - For kolonnespilleren: gå gjennom hver rad for seg, og marker den største verdien blant kolonnespillerens tall i den raden. Merk at «beste svar» alltid er relativt til én bestemt antakelse om den andre. Det er ikke et beste valg i seg selv.

Nash-likevekt

En Nash-likevekt er en kombinasjon av strategier der hver spiller spiller et beste svar på det de andre gjør . Den intuitive formuleringen er verdt å pugge ordrett, fordi den er sensors kontrollspørsmål: ingen angrer, gitt de andres valg . Får du vite hva de andre gjorde, ville du ikke ønsket å endre ditt eget valg. I matrisen er en Nash-likevekt en celle der begge tall er markert som beste svar. Legg merke til hva definisjonen ikke sier. Den sier ingenting om at utfallet er godt for spillerne samlet, ingenting om rettferdighet, og ingenting om at likevekten er den eneste. Et spill kan ha én, flere eller ingen Nash-likevekter i rene strategier.

✏️Eksempel 1: reketrålerne — Nash-likevekt funnet ved beste svar

To reketrålere, A og B, velger samtidig mellom å fiske mye eller moderat. Utbetalingene er årsprofitt i hundre tusen kroner, med A først:

A (rad) / B (kolonne)	mye	moderat
mye	$(2, 2)$	$(6, 1)$
moderat	$(1, 6)$	$(4, 4)$

Finn alle Nash-likevekter ved beste-svar-analyse, og kommenter utfallet.

Steg 1 — radspillerens beste svar (A). Gå kolonnevis og se bare på det første tallet i hvert par.

- Kolonnen «B: mye»: A får 2 av mye og 1 av moderat. Beste svar: mye.
- Kolonnen «B: moderat»: A får 6 av mye og 4 av moderat. Beste svar: mye.

A har altså samme beste svar uansett — mye er et beste svar mot alt.

Steg 2 — kolonnespillerens beste svar (B). Gå radvis og se bare på det andre tallet.

- Raden «A: mye»: B får 2 av mye og 1 av moderat. Beste svar: mye.
- Raden «A: moderat»: B får 6 av mye og 4 av moderat. Beste svar: mye.

Steg 3 — der markeringene møtes. Den eneste cellen der begge spiller beste svar, er $(\text{mye}, \text{mye})$ med utbetalingene $(2, 2)$ .

$\text{Nash-likevekt: } (\text{mye},\, \text{mye}), \quad \text{utbetalinger } (2, 2).$

Kontroll mot definisjonen. Angrer noen? A får 2. Hadde A gått over til moderat mens B fisker mye, ville A fått 1 — dårligere. Samme for B. Ingen angrer, gitt den andres valg ✓.

Kommentaren som gir uttelling. Legg merke til at $(\text{moderat}, \text{moderat})$ gir $(4, 4)$ — begge tjener mer der enn i likevekten. Utfallet $(2,2)$ er altså Pareto-dominert: det finnes et annet utfall som er bedre for alle.

Det er ingen selvmotsigelse. Nash-likevekt handler om hva ingen vil avvike fra på egen hånd, ikke om hva som er best samlet. Fra $(4,4)$ ville hver trålers ensidige avvik til mye gitt 6 i stedet for 4 — så det gode utfallet er ikke stabilt uten en avtale som binder.

Dette mønsteret heter fangens dilemma, og feltet trålerne fisker på, er et skolebokeksempel: den enkeltes gevinst av å fiske hardt bæres av begge.

📝Oppgave 1

Sjanger N-fundament

Definer Nash-likevekt så presist du kan, og forklar hvorfor formuleringen «Nash-likevekten er det som er best for alle» er feil.

📝Oppgave 2

Sjanger N

To bakerier i samme gate velger samtidig om de skal holde søndagsåpent eller søndagsstengt. Utbetalingene er ukeprofitt i tusen kroner, bakeri A først:

A (rad) / B (kolonne)	åpent	stengt
åpent	$(9, 9)$	$(14, 6)$
stengt	$(6, 14)$	$(11, 11)$

a) Finn alle Nash-likevekter ved beste-svar-analyse. Vis markeringene.
b) Er likevekten Pareto-dominert av et annet utfall? Forklar hvorfor det utfallet likevel ikke er en likevekt.

Løkke 2 — Større matriser og flere likevekter (~11 min)

Metoden er den samme når matrisen vokser — men to ting forandrer seg, og de er nettopp det eksamen har testet.

Det første er at flere Nash-likevekter kan finnes samtidig. En kandidat som stopper etter den første, mister poeng. Gå derfor alltid gjennom hele matrisen systematisk, kolonne for kolonne og rad for rad, og finn alle cellene der begge markeringer møtes.

Det andre er at det kan finnes strategier ingen ville valgt uansett. Dem tar vi i løkke 3.

Arbeidsmåten som holder orden: skriv opp matrisen, sett en strek eller stjerne ved radspillerens beste tall i hver kolonne, og en annen markering ved kolonnespillerens beste tall i hver rad. Der begge markeringene sitter i samme celle, har du en likevekt. Ikke gjett — gå gjennom alle.

Koordinasjonsspill

Et koordinasjonsspill er et spill der spillerne tjener på å gjøre det samme, men der det finnes flere måter å gjøre det samme på. Typisk struktur: to Nash-likevekter, én der begge velger A og én der begge velger B, og ingen av dem er stabilt bedre for begge — eller den ene er bedre, men den andre er likevel en likevekt. Eksempler er valg av teknisk standard, hvilken side av veien man kjører på, og hvilke rutetider to transportselskaper legger seg på. Kjennemerket er at koordineringen i seg selv er verdifull, uavhengig av hvilket alternativ man samler seg om. Poenget i sjangeren: at det finnes flere likevekter betyr at teorien ikke alltid gir én prediksjon — og det er et helt legitimt svar på eksamen, så lenge du sier det.

✏️Eksempel 2: to likevekter i et 3×3-spill

To selskaper skal velge kontakttype for hurtiglading og gjør det samtidig. Selskap R (rad) velger mellom T, C og B; selskap K (kolonne) mellom L, M og R. Utbetalingene er anslått nåverdi i millioner, R først:

R (rad) / K (kolonne)	L	M	R
T	$(5, 5)$	$(2, 2)$	$(0, 1)$
C	$(2, 2)$	$(4, 4)$	$(1, 0)$
B	$(1, 0)$	$(1, 1)$	$(-1, 3)$

Finn alle Nash-likevekter.

Radspilleren R sine beste svar (kolonnevis, første tall i hvert par):

- Kolonne L: tallene er 5, 2, 1 → beste svar T.
- Kolonne M: tallene er 2, 4, 1 → beste svar C.
- Kolonne R: tallene er 0, 1, $-1$ → beste svar C.

Kolonnespilleren K sine beste svar (radvis, andre tall i hvert par):

- Rad T: tallene er 5, 2, 1 → beste svar L.
- Rad C: tallene er 2, 4, 0 → beste svar M.
- Rad B: tallene er 0, 1, 3 → beste svar R.

Der markeringene møtes:

- $(T, L)$ : R sitt beste svar mot $L$ er $T$ ✓, og K sitt beste svar mot $T$ er $L$ ✓. Nash-likevekt, utbetalinger $(5,5)$ .
- $(C, M)$ : R sitt beste svar mot $M$ er $C$ ✓, og K sitt beste svar mot $C$ er $M$ ✓. Nash-likevekt, utbetalinger $(4,4)$ .
- $(C, R)$ : R spiller beste svar ✓, men K sitt beste svar mot $C$ er $M$ , ikke $R$ ✗. Ikke likevekt.
- $(B, R)$ : K spiller beste svar ✓, men R sitt beste svar mot $R$ er $C$ , ikke $B$ ✗. Ikke likevekt.

$\text{To Nash-likevekter: } (T, L) \text{ med } (5,5) \text{ og } (C, M) \text{ med } (4,4).$

Kommentar. Dette er et koordinasjonsspill: begge selskaper vil velge samme standard, men de har to å velge mellom. Den ene likevekten er bedre for begge — $(5,5)$ mot $(4,4)$ — men $(C, M)$ er likevel en fullgod Nash-likevekt: står vi der, taper hver den som bytter alene. Teorien peker altså ikke ut ett svar her, og det skal du si rett ut i en besvarelse.

Den dyre feilen å unngå: å finne $(T, L)$ , se at det er det beste utfallet, og stoppe. Gå alltid gjennom hele matrisen.

📝Oppgave 3

Sjanger N

To bussoperatører velger samtidig avgangsprofil på en strekning. Operatør R velger mellom morgen, midt og kveld; operatør K velger mellom morgen, midt og kveld. Utbetalingene er månedsresultat i tusen kroner, R først:

R (rad) / K (kolonne)	morgen	midt	kveld
morgen	$(3, 3)$	$(7, 4)$	$(6, 2)$
midt	$(4, 7)$	$(2, 2)$	$(5, 5)$
kveld	$(2, 6)$	$(5, 5)$	$(1, 1)$

Finn alle Nash-likevekter ved beste-svar-analyse. Vis arbeidet kolonne for kolonne og rad for rad.

Løkke 3 — Dominans, iterert eliminering og rasjonaliserbarhet (~12 min)

Noen ganger finnes det strategier en spiller aldri ville velge, uansett hva den andre gjør. Å luke dem ut først gjør analysen enklere — og eksamen har testet nettopp dette håndverket, med et vesentlig krav: elimineringen må gjøres i runder, og rekkefølgen kan ha noe å si.

Ideen er enkel. Er strategi $s$ dårligere enn strategi $s'$ i alle kolonner, kommer en rasjonell spiller aldri til å bruke $s$ . Da kan vi stryke den. Men da har vi også endret spillet: motspilleren vet at $s$ er strøket, og i det reduserte spillet kan hun ha en strategi som nå er blitt dårligere enn en annen — selv om den ikke var det før.

Derfor gjentar vi prosessen til ingenting mer kan strykes. Det som står igjen, kalles de rasjonaliserbare strategiene.

Strengt dominert strategi

s

Svakt dominert strategi

En strategi er svakt dominert hvis en annen strategi er minst like god mot alt, og strengt bedre mot minst én ting. Forskjellen fra streng dominans er at det finnes minst én kolonne der de to gir likt . Da kan spilleren ikke utelukkes fra å bruke den svakt dominerte strategien — hun taper ingenting ved det, gitt akkurat den kolonnen. Praktisk regel for eksamen: i iterert eliminering stryker du bare strengt dominerte strategier. Stryker du svakt dominerte, kan du komme til å slette en ekte Nash-likevekt, og det er en reell feil.

Iterert eliminering av strengt dominerte strategier

Iterert eliminering er å stryke strengt dominerte strategier i runder: 1. Finn og stryk alle strengt dominerte strategier for begge spillere. 2. Se på det reduserte spillet som er igjen, og gjenta. 3. Stopp når ingen strategi er strengt dominert. Det viktige poenget: en strategi som ikke var dominert i det opprinnelige spillet, kan bli dominert etter at motspillerens dårlige strategier er strøket. Derfor holder det ikke med én runde — og eksamen har testet nettopp at kandidaten fortsetter til det stopper. Skriv alltid ned rekkefølgen og begrunn hver stryking. Det er der uttellingen ligger.

Rasjonaliserbar strategi

En strategi er rasjonaliserbar hvis den overlever den itererte elimineringen av strengt dominerte strategier. Tolkningen: strategien kan forsvares som et beste svar mot en fornuftig antakelse om hva motspilleren gjør, der «fornuftig» i sin tur betyr at motspillerens antatte strategi selv er forsvarlig, og så videre. Sammenhengen med Nash-likevekt er verdt å ha klart: hver strategi som inngår i en Nash-likevekt, er rasjonaliserbar — men det finnes rasjonaliserbare strategier som ikke inngår i noen Nash-likevekt. Rasjonaliserbarhet er altså et svakere krav, og gir typisk en større mengde strategier.

✏️Eksempel 3: iterert eliminering der rekkefølgen betyr noe

Bruk hurtiglade-spillet fra Eksempel 2:

R (rad) / K (kolonne)	L	M	R
T	$(5, 5)$	$(2, 2)$	$(0, 1)$
C	$(2, 2)$	$(4, 4)$	$(1, 0)$
B	$(1, 0)$	$(1, 1)$	$(-1, 3)$

Utfør iterert eliminering av strengt dominerte strategier, og angi hvilke strategier som er rasjonaliserbare.

Runde 1 — radspilleren. Sammenlikn radene på R sine tall.

- B gir $(1, 1, -1)$ . C gir $(2, 4, 1)$ . C er strengt bedre i alle tre kolonner ( $2>1$ , $4>1$ , $1>-1$ ), så B er strengt dominert av C og strykes.
- (B er også strengt dominert av T: $5 > 1$ , $2 > 1$ og $0 > -1$ . Det holder å peke på én dominerende strategi, men det skader ikke å nevne begge.)

Runde 1 — kolonnespilleren. Sammenlikn kolonnene på K sine tall i det opprinnelige spillet:

- R gir $(1, 0, 3)$ . M gir $(2, 4, 1)$ . Her er M bedre i de to første radene, men dårligere i rad B ( $1 < 3$ ). Så R er ikke dominert ennå.
- L gir $(5, 2, 0)$ , og heller ikke den dominerer eller domineres.

Ingen kolonne kan strykes i runde 1.

Runde 2 — etter at B er strøket. Det reduserte spillet er:

R (rad) / K (kolonne)	L	M	R
T	$(5, 5)$	$(2, 2)$	$(0, 1)$
C	$(2, 2)$	$(4, 4)$	$(1, 0)$

Nå gir M K-tallene

(2, 4)

og R gir

(1, 0)

. M er strengt bedre i begge rader (

2>1

4>0

), så R er strengt dominert av M og strykes.
Dette er poenget i eksemplet: kolonnen

R

var ikke dominert før

B

ble fjernet. Det var bare fordi

R

ga hele 3 mot

B

at den holdt seg. Én runde er ikke nok.
Runde 3. Det som står igjen:

R (rad) / K (kolonne)	L	M
T	$(5, 5)$	$(2, 2)$
C	$(2, 2)$	$(4, 4)$

For R: $T = (5, 2)$ og $C = (2, 4)$ — ingen dominerer den andre. For K: $L = (5, 2)$ og $M = (2, 4)$ — heller ikke. Prosessen stopper.

Konklusjon. De rasjonaliserbare strategiene er

$\{T, C\} \text{ for radspilleren og } \{L, M\} \text{ for kolonnespilleren.}$
Kontroll mot Eksempel 2: de to Nash-likevektene $(T, L)$ og $(C, M)$ bruker bare rasjonaliserbare strategier ✓, som teorien krever.

📝Oppgave 4

Sjanger N

I et spill har radspilleren strategiene $H$ , $M$ og $S$ , og kolonnespilleren $K_1$ og $K_2$ . Radspillerens utbetalinger er:

$K_1$	$K_2$
$H$	6	3
$M$	4	5
$S$	3	2

a) Er noen av radspillerens strategier strengt dominert? Begrunn ved å sammenlikne kolonne for kolonne.
b) Hvorfor kan vi konkludere om dette uten å kjenne kolonnespillerens utbetalinger i det hele tatt?

📝Oppgave 5

(Krevende — full iterert eliminering med rekkefølge.) To leverandører byr på en rammeavtale. Rad-leverandøren velger mellom $A$ , $B$ og $C$ ; kolonne-leverandøren mellom $X$ , $Y$ og $Z$ . Utbetalinger (rad først):

$X$	$Y$	$Z$
$A$	$(6, 4)$	$(3, 6)$	$(1, 2)$
$B$	$(5, 3)$	$(4, 5)$	$(2, 1)$
$C$	$(2, 2)$	$(1, 1)$	$(0, 5)$

a) Utfør iterert eliminering av strengt dominerte strategier. Angi rekkefølgen eksplisitt og begrunn hver stryking.
b) Hvilke strategier er rasjonaliserbare?
c) Finn alle Nash-likevekter i det opprinnelige spillet, og kontroller at de bare bruker rasjonaliserbare strategier.

Løkke 4 — Blandede strategier og blandet dominans (~9 min)

Til slutt et poeng som ble eksplisitt testet i V2022, og som mange overser: en ren strategi kan være dominert av en blanding av andre, selv om ingen enkelt ren strategi dominerer den.

En blandet strategi er en sannsynlighetsfordeling over de rene: «velg $H$ med sannsynlighet $\tfrac12$ og $L$ med sannsynlighet $\tfrac12$ ». Utbetalingen av en blanding er det vanlige gjennomsnittet (den forventede verdien) av utbetalingene til de rene strategiene, vektet med sannsynlighetene.

Og da åpner det seg en ny mulighet. En strategi som ligger «trygt i midten» — middels bra mot alt — kan bli slått av en miks som er svært god halvparten av tiden og svært dårlig den andre halvparten, fordi gjennomsnittet av de to ytterpunktene kan være høyere enn midten.

Det er denne muligheten du må huske å sjekke når en oppgave ber deg eliminere alt som kan elimineres.

Blandet strategi

\sigma = (p_1, p_2, \ldots)

Dominans via blandet strategi

s

✏️Eksempel 4: midten slått av en miks

En underleverandør (rad) velger om den skal spesialisere seg mot produkt H, mot produkt L, eller kjøre en mellomløsning som dekker litt av begge. Verftet (kolonne) velger samtidig hvilken av de to produktlinjene det satser på, $V_H$ eller $V_L$ . Utbetalinger i millioner, leverandøren først:

$V_H$	$V_L$
H	$(8, 7)$	$(0, 2)$
L	$(0, 1)$	$(8, 6)$
Mellom	$(3, 4)$	$(3, 4)$

a) Vis at ingen ren strategi dominerer Mellom.
b) Vis at Mellom likevel er strengt dominert av en blandet strategi.
c) Finn Nash-likevektene i spillet som står igjen.

a) Ingen ren dominans.

- H mot Mellom: $8 > 3$ i kolonnen $V_H$ , men $0 < 3$ i kolonnen $V_L$ . Ikke dominans.
- L mot Mellom: $0 < 3$ i $V_H$ , men $8 > 3$ i $V_L$ . Ikke dominans.

Hver av ytterpunktene er altså bedre i sin egen kolonne og mye dårligere i den andre. Mellom er tryggest — og derfor ikke dominert av noen enkelt ren strategi.

b) Dominans via blanding.

Prøv den blandede strategien «H med sannsynlighet $\tfrac12$ , L med sannsynlighet $\tfrac12$ ». Forventet utbetaling:

- Mot $V_H$ : $\tfrac12 \cdot 8 + \tfrac12 \cdot 0 = 4$ .
- Mot $V_L$ : $\tfrac12 \cdot 0 + \tfrac12 \cdot 8 = 4$ .

Mellom gir 3 mot begge. Siden $4 > 3$ i begge kolonner, er Mellom strengt dominert av blandingen og skal elimineres.

(Miksen behøver ikke være 50–50. Enhver blanding med sannsynlighet $p$ på H gir $8p$ mot $V_H$ og $8(1-p)$ mot $V_L$ , og begge overstiger 3 så lenge $3/8 < p < 5/8$ . Det holder å finne én.)

c) Spillet som står igjen.

$V_H$	$V_L$
H	$(8, 7)$	$(0, 2)$
L	$(0, 1)$	$(8, 6)$

Leverandørens beste svar: mot

V_H

er 8 mot 0 → H. Mot

V_L

er 0 mot 8 → L.
Verftets beste svar: i rad H er 7 mot 2 →

V_H

. I rad L er 1 mot 6 →

V_L

.
Begge markeringer møtes i

(\text{H}, V_H)

med

(8, 7)

og i

(\text{L}, V_L)

med

(8, 6)

$\text{To Nash-likevekter: } (\text{H}, V_H) \text{ og } (\text{L}, V_L).$

Tolkning. Spillet er et koordinasjonsspill: leverandøren og verftet må satse på samme produktlinje, og begge måter å koordinere seg på er stabile. Mellomløsningen — som virket som den fornuftige risikospredningen — er den ene strategien som aldri kan være riktig, fordi det å satse med et loddtrekk slår det å nøle med sikkerhet.

📝Oppgave 6

(Krevende — blandet dominans, dokumentert V2022-krav.) En entreprenør (rad) velger mellom å satse på tre, stål eller en kombinasjon. Byggherren (kolonne) velger samtidig regelverk $R_1$ eller $R_2$ . Entreprenørens utbetalinger er:

$R_1$	$R_2$
tre	12	0
stål	0	12
kombinasjon	5	5

a) Undersøk om kombinasjon er dominert av en ren strategi.
b) Undersøk om den er dominert av en blandet strategi, og finn hvilke blandinger som gjør det.
c) Hva ville svaret vært hvis utbetalingen i kombinasjon hadde vært 7 i stedet for 5? Begrunn.

Typiske feil

Boka har et samlet register over de vanligste tabbene, nummerert #1–#13 og presentert i kap. 0.1. I dette kapitlet er det særlig feil #12 — spillteori-arven som gjelder: å bruke mye tid på fire årganger med gamle spilloppgaver på bekostning av produsentteorien, som faktisk testes hvert år. Les dette kapitlet som vedlikehold, ikke som hovedsak.

De rene fagfeilene:

- Definere Nash-likevekt upresist. «Det som er best for alle» er galt, og «ingen kan gjøre det bedre» er upresist. Formuleringen som holder, er: ingen angrer, gitt de andres valg — altså at ingen tjener på et ensidig avvik.
- Blande Nash-likevekt med Pareto-optimalitet. Fangens dilemma har en likevekt som er dårligere for begge enn et annet utfall. Det er ikke en motsigelse; det er poenget.
- Stoppe elimineringen for tidlig. En kolonne som ikke var dominert i runde 1, kan bli dominert etter at en rad er strøket. Fortsett til ingenting mer kan strykes, og skriv ned rekkefølgen.
- Overse dominans via blandet strategi. Dokumentert trekk fra V2022. En midtstrategi som ikke er dominert av noen ren strategi, kan likevel bli slått av en miks. Sjekk det med regning.
- Stryke svakt dominerte strategier i elimineringen. Da kan du slette en ekte Nash-likevekt. Bare strengt dominerte strategier elimineres.
- Finne bare én likevekt når det er flere. Gå systematisk gjennom hele matrisen, kolonne for kolonne og rad for rad. Å stoppe ved den likevekten som ser «best» ut, er en klassiker.
- Lese tallparet i feil rekkefølge. Radspillerens utbetaling står først. Bytter du om, blir hele beste-svar-analysen feil, og feilen er vanskelig å oppdage i etterkant.

Begrepsbank

Dette er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet over. Begrepene er forklart underveis; her står de samlet for pugging.

Simultant spill

Et simultant spill er et spill der spillerne velger uten å kjenne de andres valg. Det behøver ikke bety at de velger i samme sekund — bare at ingen har informasjon om den andres valg når hun bestemmer seg. Simultane spill skrives på normalform (matrise). Spill der noen ser den andres valg først, skrives i stedet på ekstensiv form som et spilltre, og analyseres i kap. 7.2 . Skillet er ikke kosmetisk: det avgjør hvilken likevektsdefinisjon som er den riktige.

Felles kunnskap om spillet

Felles kunnskap betyr at begge spillere kjenner spillets strategier og utbetalinger, at begge vet at den andre kjenner dem, at begge vet at den andre vet det, og så videre. Antakelsen er det som gjør resonnementer av typen «hun vil aldri spille en dominert strategi, altså kan jeg stryke den, altså blir min egen strategi X dominert \dots» meningsfulle. Uten felles kunnskap kollapser iterert eliminering etter første runde. Det er også her rasjonaliserbarhet henter sitt innhold: en rasjonaliserbar strategi er en som kan forsvares i en slik kjede av antakelser.

Fangens dilemma

Fangens dilemma er et spill der begge spillere har en strengt dominerende strategi, og der utfallet når begge spiller den, er dårligere for begge enn et annet mulig utfall. Strukturen er alltid den samme: samarbeid gir god gevinst for begge, men å svikte gir høyere gevinst for den som svikter — og derfor svikter begge. Klassiske økonomiske eksempler er overfiske på et felles felt, priskrig og utslipp som ingen enkelt aktør har grunn til å kutte. Poenget for eksamen er at det viser hvorfor Nash-likevekt og Pareto-effektivitet er to helt ulike begreper.

Pareto-dominans mellom utfall i et spill

(4,4)

Anti-koordinasjonsspill

Et anti-koordinasjonsspill er et spill der hver spiller tjener på å gjøre det motsatte av den andre. Typisk resultat: to Nash-likevekter, der rollene er byttet om, og der den ene spilleren gjør det bedre enn den andre i hver av dem. Bussoperatørene i oppgave 3 er et eksempel: begge vil ha den avgangsprofilen den andre ikke tar. Sjangerpoenget: modellen forteller at rollene fordeles, men ikke hvem som får den gode rollen. Det er en ekte begrensning ved teorien, og det er riktig å skrive at prediksjonen ikke er entydig.

Nash-likevekt kontra rasjonaliserbarhet

Sammenhengen mellom de to løsningsbegrepene: - Hver strategi som inngår i en Nash-likevekt, er rasjonaliserbar. Den overlever elimineringen. - Det motsatte gjelder ikke. Det finnes rasjonaliserbare strategier som ikke inngår i noen Nash-likevekt. Rasjonaliserbarhet er altså et svakere krav og gir en større mengde strategier. Nash-likevekt krever i tillegg at antakelsene spillerne gjør om hverandre, faktisk stemmer. Praktisk konsekvens: ender iterert eliminering i ett eneste strategipar, er det paret den eneste Nash-likevekten. Ender den med flere strategier igjen, må du finne likevektene ved beste-svar-analyse i det reduserte spillet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 2 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.