7.2 Dynamisk spillteori: SPNE, strategitelling og troverdighet — med Cournot og Stackelberg

Spilltre, produktregelen for strategitelling, baklengs induksjon og ikke-troverdige trusler — pluss duopol-regneeksemplet fra utsatt-arkivet.

50 min

8 oppgaver

Dynamisk spillteoriSPNEstrategitellingtroverdighetmed Cournot

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Statisk spillteori: Nash, dominans og rasjonaliserbarhet

Brukes videre i

7.3Atferdsøkonomi: Fehr-Schmidt, ultimatum- og tillitsspill

Også dette kapitlet er beredskapsstoff. Hele del 7 er forsikring: temaet står i emnebeskrivelsen (verifisert 2026) og ligger i fire årganger med gamle eksamenssett, men det har ingen forekomster i settene fra 2023 og framover. Har du dårlig tid, er del 7 det du hopper over.

Oppgavetypen heter i denne boka sjanger N (spillteori og atferdsøkonomi) — sjangerbokstavene er bokas eget merkesystem, og hele listen står i kap. 0.1.

Frekvens i arkivet: spillteori finnes i 4 av de 7 ordinære settene — V2018 (30 % av settet), V2019 (30 %, som en flervalgsbolk), V2020 (30 %) og V2022 (20 %) — og i 1 av de 4 utsatt-settene (V2022-utsatt). Duopol-regneoppgaven med Cournot og Stackelberg finnes i null av de ordinære settene og i 1 av de 4 utsatt-settene (igjen V2022-utsatt). Den er altså det tynneste stoffet i hele boka, målt i belegg.

Prioritet: dette bør du kjenne. Laveste av bokas tre nivåer.

Kravene fra den gangen: definere delspill-perfekt Nash-likevekt (Nash-likevekt i alle delspill), telle strategier riktig med produktregelen, gjennomføre baklengs induksjon, og forklare hvorfor en Nash-likevekt kan hvile på en ikke-troverdig trussel — inntrengningsspillet i V2020-fasiten og Stackelberg-trusselen i V2022-utsatt er de dokumenterte variantene.

Kapitlet tar rundt 50 minutter og er delt i fire løkker med tidsanslag. Det er markert et naturlig pausepunkt før løkke 3.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på:

- kap. 7.1 — Nash-likevekt, beste svar og dominans. Alt her forutsetter at du kan finne en Nash-likevekt i en matrise.
- kap. 0.1 — sjangerkodene og hvorfor del 7 er beredskapsstoff.
- Til duopol-delen i løkke 4: at profitt er $\pi = \text{inntekt} - \text{kostnad}$ , og at man finner maksimum ved å derivere og sette lik null — jf. kap. 5.4.

Sist du var her — de to tingene du må ha ferskt:

Nash-likevekt: en kombinasjon av strategier der hver spiller spiller et beste svar på det de andre gjør — altså at ingen angrer, gitt de andres valg.

Beste-svar-metoden i matrise: marker radspillerens største tall i hver kolonne og kolonnespillerens største tall i hver rad; en likevekt er en celle der begge markeringene sitter.

Vi bruker begge når vi skal vise at ikke alle Nash-likevekter i et dynamisk spill er fornuftige.

Løkke 1 — Spilltreet: når noen ser hva den andre gjorde (~12 min)

En liten entreprenør vurderer å etablere seg i et lokalt marked for grunnarbeid, der det allerede finnes en veletablert bedrift. Rekkefølgen er ikke tilfeldig her: entreprenøren må bestemme seg først, og den etablerte bedriften ser hva som skjedde før den svarer.

Det gjør dette til noe annet enn matrisespillene i forrige kapittel. Nå betyr det noe når man velger, og hva man har fått vite underveis.

Den etablerte bedriften har naturligvis sagt fra på forhånd: kommer noen inn, blir det priskrig. Spørsmålet dette kapitlet stiller, er om entreprenøren har noen grunn til å tro på trusselen — og verktøyet som svarer, er baklengs induksjon.

Ekstensiv form (spilltre)

Et spill på ekstensiv form framstilles som et spilltre : en figur som viser rekkefølgen på beslutningene. Delene er: - Noder — punkter der noen bestemmer. Treet starter i rotnoden . - Grener — de valgene som kan gjøres fra en node. - Endenoder — der spillet er slutt, med utbetalingene ført opp for begge spillere. Ekstensiv form brukes når rekkefølgen betyr noe. Er alle valg samtidige, holder normalformen fra kap. 7.1 . Ethvert spill på ekstensiv form kan skrives om til normalform — vi gjør det i løkke 3 — men noe går tapt i oversettelsen, nemlig informasjonen om hva som skjer etter hvert enkelt trekk. Det er nettopp dette tapte som gjør at ikke alle Nash-likevekter er like fornuftige.

Beslutningsnode

En beslutningsnode er et punkt i treet der én bestemt spiller skal velge. Hvor mange beslutningsnoder en spiller har, er avgjørende for hvor mange strategier hun har — det er nettopp det produktregelen i løkke 2 regner ut. Merk at en node godt kan være en node spilleren aldri kommer til å nå. Den teller likevel med i strategitellingen, fordi en strategi må si hva spilleren ville gjort der. Det er dette som gjør strategitelling så lett å regne feil.

Informasjonsmengde

En informasjonsmengde er en samling noder som spilleren ikke kan skille mellom når hun skal velge — hun vet at hun står i én av dem, men ikke hvilken. Er hver node sin egen informasjonsmengde, har spillet perfekt informasjon : alle ser alt som har skjedd. Da virker baklengs induksjon rett fram, og det er den varianten dette kapitlet holder seg til. Samtidige valg framstilles i ekstensiv form ved at to eller flere noder ligger i samme informasjonsmengde (tegnet med en stiplet ring rundt). Det trenger du å kjenne begrepet for, men vi regner ikke på slike spill her.

Delspill

n

✏️Eksempel 1: inntrengningsspillet som spilltre

En entreprenør (E) velger om han skal etablere seg eller holde seg unna et lokalt marked. Etablerer han seg, velger den etablerte bedriften (B) om den skal svare med priskrig eller dele markedet. Utbetalingene er nåverdi i millioner kroner, E først:

- E holder seg unna: $(0, 10)$ .
- E etablerer seg, B deler markedet: $(4, 5)$ .
- E etablerer seg, B tar priskrig: $(-2, 2)$ .

Beskriv spilltreet, og angi hvor mange delspill spillet har.

Figur i ord — spilltreet. Tegn en rotnode helt til venstre, merket E (entreprenøren bestemmer). Fra rotnoden går to grener:

- Den øvre grenen er merket «holder seg unna» og går rett til en endenode med utbetalingene $(0, 10)$ — entreprenøren får ingenting, den etablerte beholder hele markedet.
- Den nedre grenen er merket «etablerer seg» og går til en ny beslutningsnode, merket B (den etablerte bedriften bestemmer).

Fra noden B går to grener videre:

- «deler markedet» → endenode $(4, 5)$ .
- «priskrig» → endenode $(-2, 2)$ .

Skriv utbetalingene ved hver endenode med E sitt tall først. Merk rotnoden med $N_1$ og B-noden med $N_2$ , slik at du kan referere til delspillene.

Antall delspill. Treet har to beslutningsnoder, altså to delspill:

1. Delspillet som starter i $N_2$ — den etablerte bedriftens valg mellom priskrig og deling, etter at entreprenøren har kommet inn.
2. Delspillet som starter i $N_1$ — hele spillet.

Hva du skal legge merke til. Det avgjørende tallparet er i $N_2$ : B får 5 av å dele og 2 av priskrig. Priskrig er dyrt også for den som starter den. Det er dette som skal gjøre trusselen om priskrig lite troverdig — men vi trenger baklengs induksjon i løkke 3 for å si det presist.

📝Oppgave 1

Sjanger N-fundament

Forklar hva et delspill er, og finn ut hvor mange delspill et spilltre med fire beslutningsnoder og perfekt informasjon har.

Løkke 2 — Strategi som komplett plan, og produktregelen (~12 min)

Her ligger den mest bortkastede feilen i hele sjangeren, og den er ren telling.

I et dynamisk spill er en strategi ikke ett trekk. Den er en komplett plan som sier hva spilleren gjør i hver av sine beslutningsnoder — også i de nodene hun regner med aldri å komme til.

Bildet som hjelper: du skal reise bort og gi en fullmakt til noen som skal spille for deg. Fullmakten må dekke alle tilfeller, ellers er den ubrukelig. «Jeg deler markedet» er ikke en plan hvis du har tre noder; planen må si hva du gjør i alle tre.

Og da følger tellingen av seg selv.

Strategi i et dynamisk spill

En strategi for en spiller i et dynamisk spill er en komplett plan: en angivelse av hvilket valg hun tar i hver av sine beslutningsnoder. To presiseringer som eksamen har testet: - Planen må dekke også noder som aldri nås i den likevekten man ender med. Det er dette som gjør at spillet kan ha Nash-likevekter som hviler på trusler om atferd i noder man aldri kommer til. - Antall strategier er derfor mye større enn antall trekk. Har en spiller flere noder, vokser tallet raskt. Å tenke på en strategi som «hva jeg gjør» i stedet for «hva jeg ville gjort overalt» er kilden til de fleste tellefeilene.

Produktregelen for strategitelling

k

✏️Eksempel 2: strategitelling steg for steg

En kommune skal sette ut et vedlikeholdsoppdrag. Først velger entreprenøren én av tre kontraktsformer ( $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ ). Deretter ser kommunen hvilken form som er valgt, og svarer med ett av to tilsagn (ja eller nei) i hvert av de tre tilfellene.

a) Hvor mange beslutningsnoder har hver spiller?

b) Hvor mange rene strategier har hver spiller?

c) Hvor mange delspill har spillet?

d) Hvordan endres svaret i b) hvis kommunen i stedet kan velge blant fire tilsagn i hvert tilfelle?

a) Entreprenøren har én beslutningsnode: rotnoden, der kontraktsformen velges.

Kommunen har tre beslutningsnoder — én for hver kontraktsform entreprenøren kan ha valgt. Selv om bare én av dem blir nådd, finnes alle tre i treet.

b) Produktregelen.

- Entreprenøren: én node med tre valg → $3$ strategier. (De er rett og slett $K_1$ , $K_2$ og $K_3$ .)
- Kommunen: tre noder med to valg hver → $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ strategier.

En av kommunens åtte strategier er for eksempel «ja hvis $K_1$ , nei hvis $K_2$ , ja hvis $K_3$ ». Legg merke til at planen sier noe om alle tre tilfeller, selv om entreprenøren bare velger ett.

c) Antall beslutningsnoder er $1 + 3 = 4$ , så spillet har fire delspill: de tre som starter i kommunens noder, pluss hele spillet.

d) Med fire tilsagn per node blir kommunens antall strategier

$4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64.$

Entreprenørens antall er uendret, 3, siden hun fortsatt har én node med tre valg.

Kontroll av logikken: doblingen av valgmuligheter fra 2 til 4 i hver node firedoblet ikke antallet — den åttedoblet det, fra 8 til 64. Det er potensregelen: eksponenten er antall noder, og grunntallet er antall valg. Å regne $3 \cdot 4 = 12$ eller $4 + 4 + 4 = 12$ er den klassiske feilen.

Figur i ord. Rotnoden merket E til venstre, med tre grener oppover, midt og nedover, merket $K_1$ , $K_2$ , $K_3$ . Hver gren ender i en node merket K (kommunen), og fra hver av disse går to grener til endenoder. Til sammen $3 \cdot 2 = 6$ endenoder, hver med et tallpar. De tre K-nodene er tre separate delspill — sett en ring rundt hvert av dem i figuren for å se det.

📝Oppgave 2

Sjanger N

I et anbudsspill velger byggherren først én av to utlysningsformer. Leverandøren ser valget og svarer med ett av fem bud i hvert tilfelle. Deretter er spillet slutt.

a) Hvor mange strategier har hver spiller?

b) Hvor mange delspill har spillet?

c) Forklar hvorfor leverandøren har flere strategier enn antall bud hun faktisk kommer til å legge inn.

📝Oppgave 3

Sjanger N

I et tretrinns spill har spiller 1 én node med tre valg. Spiller 2 ser valget og har tre noder med tre valg hver. Deretter velger spiller 1 igjen, i tre nye noder med to valg hver.

a) Hvor mange strategier har spiller 2?

b) Hvor mange strategier har spiller 1 i alt?

c) En kandidat svarer «spiller 1 har $3 + 2 = 5$ strategier». Forklar presist hva som er galt.

Løkke 3 — Baklengs induksjon, SPNE og ikke-troverdige trusler (~14 min)

— naturlig pausepunkt før denne løkka, hvis du deler kapitlet over to økter —

Nå til selve løsningsmetoden. Den er enklere enn navnet antyder: begynn i slutten.

Se på nodene lengst til høyre i treet, der spillet snart er over. Der er valget rent og enkelt — spilleren ser bare på tallene sine og tar det største. Skriv inn det valget, og erstatt noden med utbetalingene den gir. Nå er treet blitt ett trinn kortere. Gjenta.

Når du er tilbake i rotnoden, har du en komplett plan for alle spillere som er optimal i hver enkelt node. Det er nettopp det som gjør den delspill-perfekt.

Baklengs induksjon

Baklengs induksjon er å løse et spilltre fra slutten mot begynnelsen: 1. Finn en beslutningsnode der alle grener går rett til endenoder. 2. Velg det alternativet som gir den spilleren som bestemmer der, høyest utbetaling. Marker grenen. 3. Erstatt noden med utbetalingsparet fra den valgte grenen. 4. Gjenta til du står i rotnoden. Metoden krever perfekt informasjon (alle ser hva som har skjedd) og at spillet er endelig. Resultatet er en delspill-perfekt Nash-likevekt. Skriv alltid ned hvilket valg du gjør i hver node, og hvorfor. Det er der uttellingen ligger — ikke i sluttsvaret alene.

Delspill-perfekt Nash-likevekt (SPNE)

En delspill-perfekt Nash-likevekt (SPNE) er en kombinasjon av strategier som utgjør en Nash-likevekt i hvert enkelt delspill — ikke bare i hele spillet. Uttrykket «delspill-perfekt» betyr altså: planen er optimal også i de nodene spillet aldri kommer til. Forholdet til vanlig Nash-likevekt: - Hver SPNE er en Nash-likevekt. Kravet er strengere, ikke svakere. - Ikke hver Nash-likevekt er en SPNE. De likevektene som faller bort, er nettopp dem som hviler på atferd spilleren ikke ville gjennomført om noden faktisk ble nådd. I et endelig spill med perfekt informasjon finner du alle SPNE ved baklengs induksjon.

Ikke-troverdig trussel

En ikke-troverdig trussel er et varsel om en handling som spilleren ikke ville funnet det lønnsomt å gjennomføre om hun faktisk kom til den noden. En slik trussel kan likevel inngå i en Nash-likevekt. Grunnen er teknisk, men viktig: er trusselen virksom, blir noden aldri nådd, og da påvirker ikke planen for den noden spillerens utbetaling i det hele tatt. Hun har derfor ingenting å tape på å «love» den — og Nash-likevektsbegrepet ser bare på utbetalinger. Baklengs induksjon fjerner slike likevekter, fordi den krever at valget i hver node er optimalt der og da. Det er hele grunnen til at SPNE er det rette begrepet i dynamiske spill. Speilbildet er et ikke-troverdig løfte : et lovnad om en handling spilleren ikke ville gjennomført, brukt for å lokke motparten til å gjøre noe.

✏️Eksempel 3: inntrengningsspillet løst — og likevekten som ikke holder

Bruk inntrengningsspillet fra Eksempel 1: E velger «etablere seg» eller «holde seg unna»; etablerer E seg, velger B «dele markedet» $(4, 5)$ eller «priskrig» $(-2, 2)$ . Holder E seg unna, blir utfallet $(0, 10)$ .

a) Finn den delspill-perfekte likevekten ved baklengs induksjon.

b) Skriv spillet på normalform og finn alle Nash-likevekter.

c) Forklar hvilken likevekt som ikke er delspill-perfekt, og hva den ikke-troverdige trusselen består i.

a) Baklengs induksjon.

Siste node først (B sitt valg, etter at E har etablert seg). B får 5 av å dele markedet og 2 av priskrig. Priskrig koster B mer enn den koster å slippe inn en konkurrent. Altså velger B dele markedet, og noden erstattes med utbetalingene $(4, 5)$ .

Rotnoden (E sitt valg). E vet nå at etablering fører til $(4, 5)$ , altså 4 til henne, mens det å holde seg unna gir 0. Siden $4 > 0$ , velger E etablere seg.

$\text{SPNE: } \big(\text{E: etablere seg};\; \text{B: dele markedet}\big), \quad \text{utbetalinger } (4, 5).$

b) Normalform. E har to strategier; B har én node med to valg, altså to strategier. Matrisen (E først):

E (rad) / B (kolonne)	priskrig	dele
etablere seg	$(-2, 2)$	$(4, 5)$
holde seg unna	$(0, 10)$	$(0, 10)$

E sine beste svar: mot «priskrig» er

-2

mot

0

→ holde seg unna. Mot «dele» er

4

mot

0

→ etablere seg.
B sine beste svar: i raden «etablere seg» er 2 mot 5 → dele. I raden «holde seg unna» er 10 mot 10 → B er likegyldig, så begge er beste svar.
Nash-likevekter:

- $(\text{etablere seg}, \text{dele})$ : E svarer best på «dele» ✓, B svarer best på «etablere seg» ✓. Nash-likevekt, $(4,5)$ .

- $(\text{holde seg unna}, \text{priskrig})$ : E svarer best på «priskrig» ✓, og B er likegyldig når E holder seg unna, så «priskrig» er et beste svar ✓. Nash-likevekt, $(0, 10)$ .

- $(\text{holde seg unna}, \text{dele})$ : E sitt beste svar på «dele» er å etablere seg ✗. Ikke likevekt.

Spillet har altså to Nash-likevekter.
c) Hvilken faller, og hvorfor.
Likevekten $(\text{holde seg unna}, \text{priskrig})$ er ikke delspill-perfekt. Se på delspillet som starter i B sin node: der er «priskrig» ikke en Nash-likevekt, siden B ville fått 5 av å dele mot 2 av priskrig. Strategien er altså ikke optimal i det delspillet, og kravet om delspill-perfekthet er brutt.

Den ikke-troverdige trusselen er nettopp løftet om priskrig. B varsler: «kommer du inn, senker jeg prisene til begge taper penger.» Trusselen virker — den holder E ute — men B ville ikke gjennomført den, for i det øyeblikket E faktisk er inne, er deling bedre for B enn krig.

Hvorfor er dette likevel en Nash-likevekt? Fordi trusselen er virksom, blir B sin node aldri nådd. Dermed spiller det ingen rolle for B sin utbetaling hva planen sier om den noden — B får 10 uansett, og har ingenting å tape på å true. Nash-likevekt ser bare på utbetalinger; delspill-perfekthet ser i tillegg på om planen er fornuftig der den skulle brukes.

Hva ville gjort trusselen troverdig? At priskrig faktisk lønte seg for B når den kom til noden — for eksempel hvis B på forhånd hadde bundet seg til noe som gjorde krig billig, som en langtidskontrakt om lave priser med en storkunde. Da ville tallene i B sin node endret seg, og trusselen ville overlevd baklengs induksjon. Det er derfor bindende forpliktelser er verdifulle i dynamiske spill.

Bindende forpliktelse

En bindende forpliktelse er et tiltak som gjør et framtidig valg uunngåelig eller lønnsomt, og som derfor gjør et varsel troverdig. Poenget er kontraintuitivt og verdt å merke seg: å snevre inn sine egne valgmuligheter kan gjøre en spiller bedre stilt. Klarer den etablerte bedriften å binde seg slik at priskrig faktisk blir lønnsom, holder trusselen, og inntrengeren blir borte. Eksempler i praksis: irreversible investeringer, langtidskontrakter, offentlig annonserte prisløfter og lovpålagte forpliktelser. Samme mekanisme ligger bak førstetrekksfordelen i Stackelberg-spillet i løkke 4: verdien ligger i å binde seg først.

📝Oppgave 4

Sjanger N

En kommune (K) velger først om den skal lyse ut en kontrakt eller utføre selv. Lyses den ut, velger en leverandør (L) om den skal by lavt eller by høyt. Utbetalinger, K først:

- utføre selv: $(6, 0)$
- lyse ut, L byr lavt: $(9, 3)$
- lyse ut, L byr høyt: $(4, 7)$

a) Finn den delspill-perfekte likevekten ved baklengs induksjon. Vis hvert steg.

b) L sier på forhånd at den vil by lavt hvis kontrakten lyses ut. Er det troverdig?

c) Hva må til for at løftet skal bli troverdig?

📝Oppgave 5

(Krevende — konstruer en Nash-likevekt som ikke er delspill-perfekt.) Bruk spillet fra oppgave 4 (K velger «lyse ut» eller «utføre selv»; L velger deretter «by lavt» eller «by høyt»; utbetalinger $(6,0)$ , $(9,3)$ og $(4,7)$ ).

a) Skriv spillet på normalform.

b) Finn alle Nash-likevekter.

c) Avgjør hvilke av dem som er delspill-perfekte, og forklar hvorfor de øvrige ikke er det.

Løkke 4 — Cournot og Stackelberg: å binde seg først (~12 min)

Til slutt regneoppgaven fra utsatt-arkivet. To bedrifter selger den samme varen og bestemmer kvantum. Prisen faller med samlet mengde: jo mer de to leverer til sammen, desto lavere blir prisen.

Dette er beredskapsstoffets tynneste del — duopol-regningen finnes i null av de ordinære settene og i ett av de fire utsatt-settene. Men den er lærerik, fordi den samme situasjonen løses to ganger:

- Cournot: de bestemmer kvantum samtidig. Da er det et vanlig simultant spill, og vi finner Nash-likevekten.
- Stackelberg: den ene binder seg først, og den andre ser kvantumet før hun svarer. Da er det et dynamisk spill, og vi bruker baklengs induksjon.

Sammenlikningen viser hva det er verdt å kunne binde seg — og hvorfor «jeg holder mitt Cournot-kvantum» ikke er en troverdig trussel når du får se lederens valg først.

(Markedsmakt i én-bedrifts-tilfellet hører til forgjengerboka; se Monopolets tilpasning. Her holder vi oss til duopolet.)

Reaksjonsfunksjon

q_1 = R_1(q_2).

Cournot-likevekt

q_1 = R_1(q_2), \qquad q_2 = R_2(q_1).

Stackelberg-likevekt og førstetrekksfordel

q_2 = R_2(q_1)

✏️Eksempel 4: Cournot mot Stackelberg med tall

To bedrifter selger sand fra samme forekomst. Prisen bestemmes av samlet levert mengde: $p = 26 - (q_1 + q_2)$ , der $q$ er tusen tonn og $p$ er kroner per tonn. Begge har kostnaden 2 kroner per tonn.

a) Finn bedrift 1 sin reaksjonsfunksjon.

b) Finn Cournot-likevekten, prisen og profittene.

c) Anta i stedet at bedrift 1 binder seg til et kvantum først, og at bedrift 2 ser det før hun velger. Finn Stackelberg-løsningen, prisen og profittene.

d) Sammenlikn, og forklar hvorfor «jeg holder 8» ikke er en troverdig trussel fra bedrift 2 i det dynamiske spillet.

a) Reaksjonsfunksjonen. Bedrift 1 sin profitt, med

q_2

holdt fast:

$\pi_1 = p\,q_1 - 2q_1 = \big(26 - q_1 - q_2\big)q_1 - 2q_1 = 24q_1 - q_1^2 - q_1q_2.$

Deriver med hensyn på $q_1$ (ikke $q_2$ ) og sett lik null:

$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 24 - 2q_1 - q_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad q_1 = 12 - \frac{q_2}{2}.$

(Annenderiverte er $-2 < 0$ , så det er et maksimum ✓.)

Den faller i $q_2$ , som forventet: leverer den andre mer, presses prisen ned, og bedrift 1 trekker seg litt tilbake.

b) Cournot. Bedriftene er identiske, så $q_2 = 12 - q_1/2$ er den symmetriske motparten. Sett $q_1 = q_2 = q$ :

$q = 12 - \frac{q}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3q}{2} = 12 \quad\Longrightarrow\quad q = 8.$

$q_1 = q_2 = 8, \qquad Q = 16, \qquad p = 26 - 16 = 10.$

Profittene: $\pi_i = (p - 2)q_i = (10 - 2)\cdot 8 = \mathbf{64}$ hver.

Kontroll av at ingen angrer: sett $q_2 = 8$ inn i reaksjonsfunksjonen: $q_1 = 12 - 4 = 8$ ✓. Ingen ensidig endring lønner seg.

c) Stackelberg.

Steg 1 — følgerens svar. Bedrift 2 sin reaksjonsfunksjon er $q_2 = 12 - q_1/2$ . Dette er hennes optimale valg i delspillet, uansett hva $q_1$ er.

Steg 2 — sett inn i lederens profitt. Med følgerens svar innebygd blir prisen

$p = 26 - q_1 - \left(12 - \frac{q_1}{2}\right) = 14 - \frac{q_1}{2},$

og lederens profitt

$\pi_1 = \left(14 - \frac{q_1}{2} - 2\right)q_1 = \left(12 - \frac{q_1}{2}\right)q_1 = 12q_1 - \frac{q_1^2}{2}.$

Steg 3 — maksimer.

$\frac{d\pi_1}{dq_1} = 12 - q_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad q_1 = 12.$

Da svarer følgeren med $q_2 = 12 - 12/2 = 6$ , samlet kvantum blir $Q = 18$ , og

$p = 26 - 18 = 8.$

Profittene: $\pi_1 = (8 - 2)\cdot 12 = \mathbf{72}$ og $\pi_2 = (8-2)\cdot 6 = \mathbf{36}$ .

d) Sammenlikning og troverdighet.

Cournot	Stackelberg
$q_1$	8	12
$q_2$	8	6
$Q$	16	18
$p$	10	8
$\pi_1$	64	72
$\pi_2$	64	36

Lederen går fra 64 til 72; følgeren fra 64 til 36. Samlet profitt faller (128 mot 108), fordi det samlede kvantumet er høyere og prisen lavere. Legg merke til at lederens kvantum er nøyaktig dobbelt så stort som følgerens.
Førstetrekksfordelen kommer av forpliktelsen, ikke av størrelsen. Lederen tjener ikke fordi hun er stor, men fordi kvantumet hennes ligger på bordet og ikke kan tas tilbake. Følgeren må velge sitt beste svar på et tall som er gitt.
Hvorfor «jeg holder 8» ikke er troverdig. Bedrift 2 kan si på forhånd: «uansett hva du legger på bordet, leverer jeg 8» — altså sitt Cournot-kvantum. Tror bedrift 1 på det, er hennes beste svar

q_1 = 12 - 8/2 = 8

, og vi er tilbake i Cournot med 64 hver. Trusselen er derfor svært attraktiv for bedrift 2, som ellers ender på 36.
Og legg merke til at dette faktisk er en Nash-likevekt i det dynamiske spillet: med bedrift 2 sin plan «alltid 8» er 8 bedrift 1 sitt beste svar, og gitt at bedrift 1 spiller 8, er 8 også bedrift 2 sitt beste svar. Ingen angrer, gitt den andres valg.
Men den overlever ikke baklengs induksjon. Ser bedrift 2 at bedrift 1 faktisk har lagt 12 på bordet, er hennes beste svar

q_2 = 12 - 12/2 = 6

, som gir prisen 8 og profitten 36. Å holde 8 i stedet ville gitt prisen

26 - 12 - 8 = 6

og profitten

(6-2)\cdot 8 = 32 < 36

. Hun ville altså tapt på å gjennomføre trusselen, og planen er derfor ikke optimal i det delspillet.

(q_1, q_2) = (8, 8)

i det dynamiske spillet er dermed nøyaktig samme fenomen som «priskrig» i Eksempel 3: en Nash-likevekt som hviler på et varsel spilleren ikke ville innfri. Den er ikke delspill-perfekt.
(At trusselen ville virket om den var troverdig, ser du på lederens side: med

q_2 = 8

fast og

q_1 = 12

blir bedrift 1 sin profitt bare

(6-2)\cdot 12 = 48

, altså mindre enn de 64 hun får i Cournot. Nettopp derfor ville hun holdt seg til 8 — hvis hun trodde på trusselen.)

📝Oppgave 6

(Krevende — hele duopol-kjeden med nye tall.) To pukkverk selger til samme marked. Prisen er $p = 40 - (q_1 + q_2)$ kroner per tonn, og begge har en kostnad på 4 kroner per tonn.

a) Finn reaksjonsfunksjonen til bedrift 1.

b) Finn Cournot-likevekten, prisen og profittene.

c) Finn Stackelberg-løsningen når bedrift 1 binder seg først, med pris og profitter.

d) Sammenlikn de to utfallene og forklar hvem som tjener og hvem som taper på at bedrift 1 kan binde seg.

Typiske feil

Boka har et samlet register over de vanligste tabbene, nummerert #1–#13 og presentert i kap. 0.1. Feil #12 — spillteori-arven er den viktigste her: å legge mye tid i fire årganger med gamle spilloppgaver i stedet for produsentteorien, som testes hvert år. Del 7 er beredskap.

De rene fagfeilene:

- Feiltelling av strategier. Den dokumenterte klassikeren. En strategi er en komplett plan — ett valg i hver av spillerens noder, også de som aldri nås. Bruk produktregelen og gang, ikke legg sammen. Har spilleren tre noder med tre valg hver, er svaret $3^3 = 27$ , ikke 9 og ikke 6.
- Blande Nash-likevekt og SPNE. Hver SPNE er en Nash-likevekt, men ikke omvendt. Skriv aldri «Nash-likevekten er delspill-perfekt» uten å ha sjekket hvert delspill.
- «Finne» en SPNE uten baklengs induksjon. Å peke på et utfall som ser rimelig ut, er ikke en løsning. Vis valget i hver node, fra slutten mot begynnelsen, med begrunnelse.
- Overse at ikke-troverdige trusler og løfter ikke overlever induksjonen. Spørsmålet er alltid: ville spilleren gjennomført dette om noden faktisk ble nådd? Sammenlikn tallene i den noden, ikke i hele spillet.
- Regne reaksjonsfunksjoner med feil derivasjonsvariabel. Bedrift 1 deriverer sin egen profitt med hensyn på $q_1$ , med $q_2$ holdt fast. Deriverer du med hensyn på $q_2$ , får du et uttrykk uten mening.
- Glemme å sette følgerens reaksjonsfunksjon inn før man maksimerer i Stackelberg. Maksimerer du lederens profitt med $q_2$ holdt fast, får du bare Cournots reaksjonsfunksjon på nytt — hele førstetrekksfordelen forsvinner.
- Forklare førstetrekksfordelen med «lederen er størst». Årsaken er forpliktelsen: kvantumet er lagt på bordet og kan ikke tas tilbake. Kunne det endres, forsvinner fordelen.

Begrepsbank

Dette er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet over. Begrepene er forklart underveis; her står de samlet for pugging.

Perfekt informasjon

Et spill har perfekt informasjon når hver spiller, i hver av sine noder, vet nøyaktig hva som har skjedd fram til da. Formelt: hver node er sin egen informasjonsmengde. Dette er forutsetningen som gjør baklengs induksjon rett fram: står du i en node, kjenner du hele historien og kan regne ut hva som vil følge. Alle spillene i dette kapitlet har perfekt informasjon. Har spillet samtidige trekk — altså noder i samme informasjonsmengde — må delspillene defineres mer varsomt, og det ligger utenfor beredskapsdosen her.

Ikke-troverdig løfte

Et ikke-troverdig løfte er en lovnad om en handling spilleren ikke ville funnet lønnsom om noden faktisk ble nådd — brukt for å lokke motparten til å gjøre noe. Speilbildet er den ikke-troverdige trusselen, som skal avskrekke . Et interessant asymmetri-poeng: en tom trussel kan bæres av en Nash-likevekt, fordi den virksomme trusselen gjør at noden aldri nås og trusselens utbetaling derfor er uberørt. Et tomt løfte som virker, trekker derimot motparten inn i noden der løftet skal innfris — og avslører seg selv. Derfor er tomme løfter sjeldnere forenlige med Nash-likevekt enn tomme trusler.

Endenode og utbetalingsvektor

3 \cdot 2 = 6

Samlet kvantum og invers etterspørsel

p = a - Q, \qquad Q = q_1 + q_2.

Symmetrisk likevekt

q_1 = q_2 = q

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 2 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.