11.4 Øvingseksamen 2: ~10 deloppgaver — abstrakt vektorrom, minste kvadrater og ODE-system | TMA4110 Lineær algebra, komplekse tall og differensiallikninger

Sett nummer to — samme form (4 timer, ~10 likt vektede deloppgaver, kode E, ingen flervalg), men vridd mot de temaene sett 1 ikke rakk. Her møter du abstrakt vektorrom (

\operatorname{P}_2

), lineær transformasjon (

T(p)=p'

), minste kvadrater via normallikningene, og et system av differensiallikninger med komplekse egenverdier. Sammen med sett 1 dekker de to settene alle sjangrene A–N.

Miksen: komplekse likninger (O1, J), determinant/invers (O2, B+C), abstrakt underrom + basis + koordinater (O3, D), lineær transformasjon + kjerne/bilde (O4, F), kurvetilpasning (O5, I), ODE-system (O6, M) og et bevis (O7, N).

Merk: systemet i O6 (sjanger M) hører til temaet «systemer av differensiallikninger». Metoden er egenverdier/egenvektorer til koeffisientmatrisen, akkurat som for 2. ordens likninger — løsningen under er selvforklarende. Løs settet under tidspress først; åpne løsningene etterpå.

Forkunnskaper: Del 1–9 pluss systemer av differensiallikninger. Repeter ved behov: komplekse likninger kap. 7.4, determinant/invers kap. 2.2–2.3, abstrakt vektorrom kap. 3.1–3.2, lineær transformasjon kap. 4.2, minste kvadrater kap. 6.4, og bevis kap. 11.2. Føringsstandarden: kap. 11.1.

Øvingseksamen 2 — oppgavesettet (4 timer, kode E)

Alle svar begrunnes. Eksakte svar. De sju oppgavene er likt vektet.

Oppgave 1 (komplekse likninger).

a) Løs $z^{2}-2z+5=0$ .

b) Finn alle løsninger av $z^{3}=-8$ , og oppgi dem på formen $x+iy$ .

Oppgave 2 (determinant, invers, system). La $A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$ .

a) Regn ut $\det A$ og avgjør om $A$ er inverterbar.

b) Finn $A^{-1}$ .

c) Løs $A\mathbf x=\mathbf b$ med $\mathbf b=(4,4,4)$ .

Oppgave 3 (abstrakt vektorrom). La $W=\{p\in\operatorname{P}_2:\ p(1)=0\}$ , der $\operatorname{P}_2$ er polynomer av grad $\le2$ .

a) Vis at $W$ er et underrom av $\operatorname{P}_2$ .

b) Finn en basis for $W$ og oppgi $\dim W$ .

c) Finn koordinatene til $q(x)=x^{2}+x-2$ i basisen fra b).

Oppgave 4 (lineær transformasjon). La $T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2$ være $T(p)=p'$ (den deriverte), og $\mathcal B=\{1,x,x^{2}\}$ .

a) Finn matrisen $[T]_{\mathcal B}$ .

b) Finn $\ker T$ og bildet $\operatorname{im}T$ , og verifiser dimensjonsteoremet.

Oppgave 5 (minste kvadrater). Finn den rette linjen $y=\beta_0+\beta_1 x$ som best tilpasser punktene $(1,2),(2,3),(3,5),(4,6)$ i minste kvadraters forstand.

Oppgave 6 (system av differensiallikninger). Gitt $\mathbf x'=A\mathbf x$ med $A=\begin{pmatrix}1&-2\\2&1\end{pmatrix}$ .

a) Finn den generelle (reelle) løsningen.

b) Klassifiser likevekten i origo.

Oppgave 7 (bevis). La $A$ være en $n\times n$ -matrise med $A^{3}=O$ . Vis at $I-A$ er inverterbar med $(I-A)^{-1}=I+A+A^{2}$ .

Løsningsforslag

En A-besvarelse for hver oppgave, ført etter standarden i kap. 11.1.

Løsning oppgave 1 — komplekse likninger (J)

Løsning oppgave 2 — determinant, invers, system (B+C)

Løsning oppgave 3 — abstrakt vektorrom P₂ (D)

Løsning oppgave 4 — lineær transformasjon (F)

Løsning oppgave 5 — minste kvadrater (I)

Løsning oppgave 6 — system av differensiallikninger (M)

Løsning oppgave 7 — bevis (N)

Selvdiagnose

- ☐ O1: diskriminant via $\sqrt{-1}=i$ i a); alle tre røttene av $z^3=-8$ i b).
- ☐ O2: $\det=4$ , inverterbarhetssetningen navngitt, $A^{-1}$ kontrollert, $\mathbf x=(1,1,1)$ .
- ☐ O3: alle tre underrom-betingelsene; basis $\{x-1,x^2-1\}$ ; koordinater $(1,1)$ .
- ☐ O4: $[T]_{\mathcal B}$ kolonnevis; $\ker T=\operatorname{Span}\{1\}$ , $\operatorname{im}T=\operatorname{P}_1$ ; dimensjonsteoremet.
- ☐ O5: normallikningene ved navn; $y=\tfrac12+\tfrac75x$ (eksakt).
- ☐ O6: real-/imaginærdel av kompleks løsning; klassifisert som ustabil spiral.
- ☐ O7: produktet vist begge veier; $A^3=O$ brukt eksplisitt.

Fortsett med de vanskeligste variantene i øvingseksamen 3 (kap. 11.5).