7.4 Drill: komplekse tall

Komplekstall-repertoaret drillet: kartesisk aritmetikk → polar/de Moivre → n-te røtter og zⁿ=c → komplekse likninger — den 95 %-sikre oppgave-1-sjangeren til automatikk.

80 min

14 oppgaver

Drillkomplekse tall

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Komplekse røtter og likninger (zⁿ=c, annen- og tredjegrad)

Brukes videre i

7.PPrøver til del 7: Komplekse tall (elementære)

Dette er drillkapitlet for oppgave 1 — komplekstall-sjangeren som kom i ~95 % av settene. Målet er å gjøre hele repertoaret til automatikk under tidspress og kode E (ingen hjelpemidler).

Variantene som går igjen: (1) aritmetikk/divisjon/konjugat på kartesisk form; (2) kartesisk↔polar; (3) de Moivre-potenser; (4) $n$ -te røtter og $z^n=c$ med skisse; (5) komplekse annen-/tredjegradslikninger; (6) geometrisk sted. Alle seks drilles her.

Tidsbudsjett: dette kapitlet er langt (~80 min lesetid, ×1,5 ved håndregning). Del det gjerne i to økter — oppskrift + case + oppgave 1–6 først, resten senere. Naturlige pausepunkter er merket i teksten.

Forkunnskaper: Hele Del 7:

- kap. 7.1 — kartesisk form, konjugat, modulus
- kap. 7.2 — polar form og de Moivres formel
- kap. 7.3 — $z^n=c$ og komplekse likninger

Sist du var her — formel-minimum (kode E, utenat):

$\frac{z}{w}=\frac{z\bar w}{|w|^2},\qquad z=re^{i\theta},\qquad z^n=r^n e^{in\theta},\qquad z_k=R^{1/n}e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\qquad z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Løsningsoppskrift for komplekstall-oppgaven

1. Velg riktig form. Kartesisk ( $x+iy$ ) for $+$ og $-$ ; polar ( $re^{i\theta}$ ) for $\times$ , $\div$ , potens og rot.

2. Konverter. Kartesisk→polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ , bestem argumentet med riktig kvadrant (skisse!). Polar→kartesisk: $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ med eksakte verdier.

3. Regn. de Moivre for potenser ( $z^n=r^ne^{in\theta}$ ); rot-formelen for $z^n=c$ (husk alle $k=0,\dots,n-1$ ); abc-formelen for annengrad; gjett-og-divider for tredjegrad.

4. Skriv alle løsninger og skissér. Oppgi eksakt form, tegn røttene som en regulær $n$ -kant på sirkelen med radius $R^{1/n}$ .

Poenggivende føring (sensor): vis regningen, oppgi alle røttene, riktig kvadrant, eksakte svar.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: $z^3=8i$ (med skisse)

Løs likningen $z^3=8i$ . Skriv alle løsningene på kartesisk form og skissér dem i det komplekse planet.

Steg 1 — polar form av høyresida.

8i

ligger på positiv imaginærakse, så

R=|8i|=8

\varphi=\tfrac\pi2

. Altså

8i=8e^{i\pi/2}

. (Sensor: riktig modulus og argument er første poeng.)

Steg 2 — rot-formelen. Røttenes modulus er $R^{1/3}=8^{1/3}=2$ . Med $n=3$ :
$z_k=2\,e^{i(\pi/2+2\pi k)/3}=2\,e^{i(\pi/6+2\pi k/3)},\qquad k=0,1,2.$
(Sensor: startargument $\tfrac{\pi/2}{3}=\tfrac\pi6$ og steg $\tfrac{2\pi}{3}$ — her ryker de fleste poeng ved slurv.)

Steg 3 — de tre røttene, kartesisk.
$z_0=2e^{i\pi/6}=2\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+i\tfrac12\right)=\sqrt3+i,$
$z_1=2e^{i5\pi/6}=2\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}+i\tfrac12\right)=-\sqrt3+i,\qquad z_2=2e^{i3\pi/2}=-2i.$

Steg 4 — skisse. De tre løsningene ligger på sirkelen $r=2$ med $120^\circ$ mellom hver (likesidet trekant). Se figuren. (Sensor: alle tre røtter + skisse gir full uttelling.)

Svar: $z\in\{\sqrt3+i,\ -\sqrt3+i,\ -2i\}$ .

Drilloppgaver — variantkatalogen (~50 min, del gjerne i to)

📝Oppgave 1

(Aritmetikk.) Regn ut på formen $x+iy$ : a) $(4-i)+(2+5i)$ , b) $(3+2i)(1-i)$ .

📝Oppgave 2

(Divisjon/konjugat.) Skriv $\dfrac{5+i}{2-i}$ på formen $x+iy$ , og oppgi $|{\,\cdot\,}|$ .

📝Oppgave 3

(Kartesisk↔polar.) Skriv $z=-2+2i$ på eksponentialform, og $w=3e^{i2\pi/3}$ på kartesisk form.

📝Oppgave 4

(de Moivre.) Regn ut $(1+i)^{10}$ på kartesisk form.

— naturlig pausepunkt (oppgave 1–4 dekker aritmetikk, konvertering og potens) —

📝Oppgave 5

( $z^n=c$ .) Løs $z^4=-1$ på kartesisk form og skissér i planet.

📝Oppgave 6

( $z^n=c$ .) Løs $z^3=8i$ på nytt uten å se på casen over — sjekk at du får de tre samme røttene.

📝Oppgave 7

( $z^n=c$ .) Løs $z^6=1$ og oppgi løsningene på eksponentialform.

📝Oppgave 8

(Annengrad, reelle koeff.) Løs $z^2+4z+13=0$ .

📝Oppgave 9

(Annengrad, komplekse koeff. — eksamensnivå.) Løs $z^2-(3+i)z+(2+2i)=0$ .

📝Oppgave 10

(Tredjegrad — eksamensnivå.) Løs $z^3-2z^2+4z-8=0$ .

— naturlig pausepunkt (oppgave 5–10 dekker $z^n=c$ og likninger) —

📝Oppgave 11

(Blandet.) Regn ut $\dfrac{(2+3i)(1-i)}{1+i}$ på kartesisk form.

📝Oppgave 12

(Geometrisk sted.) Bestem og beskriv mengden $|z-i|=|z+1|$ (finn likningen i $x,y$ ).

📝Oppgave 13

(Kjedet — eksamensnivå.) a) Skriv $(1-i)^8$ på kartesisk form. b) Løs $z^2=(1-i)^8$ .

📝Oppgave 14

(Krevende, uten mellomhint.) Finn alle $z$ med $z^4=-16$ og bruk dem til å faktorisere $z^4+16$ i to reelle andregradsfaktorer.

Typiske feil (hele Del 7 under tidspress)

- Mangler røtter i $z^n=c$ (glemt $k$ -verdier) — tell at du har $n$ stykker.
- Feil kvadrant for argumentet — tegn alltid en liten skisse.
- Glemt å utvide med konjugatet ved divisjon.
- Feil radius $R^{1/n}$ eller feil startargument $\varphi/n$ .
- Konjugatrot-setningen glemt ved reelle koeffisienter.
- Desimalsvar — kode E krever eksakte former ( $\sqrt3+i$ , $32i$ ).

Formel-minimum for komplekse tall (utenat, kode E)

De åtte formlene som må sitte for oppgave 1.

Repetisjonsstoff — det gjentar Del 7. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder drilloppgavene.

Divisjon (utvid med konjugat)

\frac{z}{w}=\frac{z\bar w}{|w|^2}.

Modulus

|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z},\qquad |zw|=|z||w|,\quad \left|\tfrac{z}{w}\right|=\tfrac{|z|}{|w|}.

Euler / polar form

z=re^{i\theta}=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Multiplikasjon/divisjon i polar

z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)},\qquad \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}.

de Moivres formel

z^n=r^n e^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta).

n

-te røtter /

z^n=c

z_k=R^{1/n}e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\quad k=0,\dots,n-1,\qquad c=Re^{i\varphi}.

Kompleks abc-formel

z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Geometriske steder

|z-a|=r\ \text{(sirkel)},\qquad |z-a|=|z-b|\ \text{(midtnormal)}.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.