Tilbake
7.3
Alle fag for Høyskole

7.3 Komplekse røtter og likninger (zⁿ=c, annen- og tredjegrad)

n-te røtter av et komplekst tall (jevnt fordelt på en sirkel), binomiske likninger zⁿ=c, og komplekse annen-/tredjegradslikninger via abc-formel og faktorisering — den klassiske komplekstall-oppgaven.

55 min
12 oppgaver
Komplekse røtterlikninger (zⁿ=cannen-tredjegrad)
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger rett på kap. 7.2 — polar form, eksponentialform og de Moivres formel. Andregradslikninger og faktorisering friskes opp i Andregradslikninger – faktorisering.

Sist du var her (fra 7.2): z=reiθz=re^{i\theta}, og zn=rneinθz^n=r^n e^{in\theta} (de Moivre). At argumentet er bestemt opp til 2πk2\pi k er nettopp det som gir nn ulike røtter her.

En binomisk likning zn=cz^n=c ber om alle tallene som opphøyd i nn gir cc. Over de reelle tallene har xn=cx^n=c høyst to løsninger, men over C\mathbb C har zn=cz^n=c nøyaktig nn løsninger — og de ligger vakkert fordelt: jevnt utover en sirkel. Det er de Moivres formel lest baklengs.

Vi går i fire løkker: nn-te røtter og formelen, binomiske likninger zn=cz^n=c med skisse, komplekse annengradslikninger via abc-formelen, og til slutt tredjegrad med gjett-og-divider og faktorisering over C\mathbb C.

Løkke 1 — nn-te røtter av et komplekst tall (~13 min)

nn-te røtter av cc
For c=Reiφ≠0c=Re^{i\varphi}\ne0 har likningen zn=cz^n=c nøyaktig nn løsninger, gitt ved

zk=R1/n ei(φ+2πk)/n,k=0,1,…,n−1.z_k=R^{1/n}\,e^{i(\varphi+2\pi k)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.

Alle har samme modulus R1/nR^{1/n} (den reelle nn-te roten av ∣c∣|c|), og argumentene skiller seg med 2πn\tfrac{2\pi}{n}. For k≥nk\ge n gjentar løsningene seg.

Røttene ligger jevnt på en sirkel

De nn løsningene av zn=cz^n=c ligger på en sirkel med radius R1/nR^{1/n} om origo, med lik vinkelavstand 2πn\tfrac{2\pi}{n} mellom nabopunktene — hjørnene i en regulær nn-kant. Derfor holder det å finne den første roten z0z_0 og så rotere den videre med 2πn\tfrac{2\pi}{n}.

Enhetsrøtter (zn=1z^n=1)
Løsningene av zn=1z^n=1 kalles nn-te enhetsrøtter:

zk=ei2πk/n,k=0,…,n−1.z_k=e^{i2\pi k/n},\qquad k=0,\dots,n-1.

De ligger jevnt på enhetssirkelen, med z0=1z_0=1 alltid blant dem. Enhver nn-te rot av et vilkårlig cc fås ved å gange én bestemt rot med enhetsrøttene.

✏️Eksempel 1: Fjerderøttene av 1

Løs z4=1z^4=1, og skissér løsningene i det komplekse planet.

Her er c=1=1⋅ei0c=1=1\cdot e^{i0}, så R=1R=1, φ=0\varphi=0, n=4n=4. Formelen gir zk=11/4ei(0+2πk)/4=eiπk/2z_k=1^{1/4}e^{i(0+2\pi k)/4}=e^{i\pi k/2} for k=0,1,2,3k=0,1,2,3:

z0=ei0=1,z1=eiπ/2=i,z2=eiπ=−1,z3=ei3π/2=−i.z_0=e^{i0}=1,\quad z_1=e^{i\pi/2}=i,\quad z_2=e^{i\pi}=-1,\quad z_3=e^{i3\pi/2}=-i.

De fire løsningene {1,i,−1,−i}\{1,i,-1,-i\} ligger på enhetssirkelen med 90∘90^\circ mellom hver — hjørnene i et kvadrat. Se figuren.

📝Oppgave 1

(Innsteg.) Skriv opp de tre tredjerøttene av 11 (z3=1z^3=1) på eksponentialform.

Løkke 2 — Binomiske likninger zn=cz^n=c (~14 min)

Binomisk likning
En likning på formen

zn=c(c∈C, c≠0)z^n=c\qquad(c\in\mathbb C,\ c\ne0)

kalles binomisk. Løsningsoppskriften: (1) skriv c=Reiφc=Re^{i\varphi} på polar form; (2) zk=R1/nei(φ+2πk)/nz_k=R^{1/n}e^{i(\varphi+2\pi k)/n} for k=0,…,n−1k=0,\dots,n-1; (3) konverter til kartesisk form der det kreves; (4) skissér.

Antall løsninger er nøyaktig nn

En binomisk likning zn=cz^n=c med c≠0c\ne0 har nøyaktig nn forskjellige komplekse løsninger. Får du færre, har du glemt noen kk-verdier; får du flere, har du regnet en modulo-2π2\pi-gjentakelse som ny løsning. Dette er algebraens fundamentalsetning for dette spesialtilfellet.

✏️Eksempel 2: Tredjerøttene av 8

Løs z3=8z^3=8, og skissér løsningene.

Skriv 8=8ei08=8e^{i0}: R=8R=8, φ=0\varphi=0, n=3n=3. Modulus til røttene er 81/3=28^{1/3}=2. Formelen gir zk=2ei(0+2πk)/3z_k=2e^{i(0+2\pi k)/3}:

z0=2ei0=2,z1=2ei2π/3=2(−12+i32)=−1+i3,z2=2ei4π/3=−1−i3.z_0=2e^{i0}=2,\quad z_1=2e^{i2\pi/3}=2\left(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=-1+i\sqrt3,\quad z_2=2e^{i4\pi/3}=-1-i\sqrt3.

De tre løsningene ligger på en sirkel med radius 22 med 120∘120^\circ mellom hver. Merk at bare z0=2z_0=2 er reell; de to andre er et konjugert par (fordi koeffisientene i z3−8z^3-8 er reelle).

✏️Eksempel 3: Mønsteroppgaven $z^4=-16$ (sjanger J)

Løs likningen z4=−16z^4=-16. Skriv alle fire løsningene på kartesisk form og skissér dem i det komplekse planet.

Skriv −16-16 på polar form: −16=16 eiπ-16=16\,e^{i\pi}, så R=16R=16, φ=π\varphi=\pi, n=4n=4. Røttenes modulus er 161/4=216^{1/4}=2. Formelen gir zk=2 ei(π+2πk)/4z_k=2\,e^{i(\pi+2\pi k)/4} for k=0,1,2,3k=0,1,2,3:

z0=2eiπ/4=2(22+i22)=2+2 i,z_0=2e^{i\pi/4}=2\left(\tfrac{\sqrt2}{2}+i\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2+\sqrt2\,i,
z1=2ei3π/4=−2+2 i,z2=2ei5π/4=−2−2 i,z3=2ei7π/4=2−2 i.z_1=2e^{i3\pi/4}=-\sqrt2+\sqrt2\,i,\quad z_2=2e^{i5\pi/4}=-\sqrt2-\sqrt2\,i,\quad z_3=2e^{i7\pi/4}=\sqrt2-\sqrt2\,i.

De fire løsningene ligger på sirkelen r=2r=2 med 90∘90^\circ mellom hver (et kvadrat rotert 45∘45^\circ). De opptrer i to konjugerte par, som seg hør og bør for et reelt polynom.

📝Oppgave 2

Løs z4=16z^4=16. Oppgi alle løsningene på kartesisk form.

📝Oppgave 3

Løs z3=−8z^3=-8 på kartesisk form.

📝Oppgave 4

Løs z3=27iz^3=27i på kartesisk form.

Løkke 3 — Komplekse annengradslikninger (~13 min)

Kompleks kvadratrot

En kvadratrot av ww er et tall zz med z2=wz^2=w. Hvert w≠0w\ne0 har nøyaktig to kvadratrøtter, ±z0\pm z_0. Du finner dem enten ved rot-formelen (n=2n=2) eller ved å sette z=x+iyz=x+iy, kvadrere og sammenligne real- og imaginærdel. For eksempel er kvadratrøttene av −2i-2i nettopp ±(1−i)\pm(1-i), siden (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i.

Kompleks abc-formel
Andregradslikningen az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 (med komplekse koeffisienter, a≠0a\ne0) løses med samme formel som over R\mathbb R:

z=−b±b2−4ac2a,z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},

men her betyr  \sqrt{\ } en kompleks kvadratrot (velg én av de to; ±\pm tar den andre). Det finnes alltid to løsninger (talt med multiplisitet).

Diskriminanten b2−4acb^2-4ac
Diskriminanten D=b2−4acD=b^2-4ac styrer røttene. Over C\mathbb C finnes alltid D\sqrt D: er D=0D=0 er det én dobbeltrot; ellers to distinkte røtter. For reelle koeffisienter gir D<0D<0 et konjugert par −b2a±i∣D∣2a\tfrac{-b}{2a}\pm i\tfrac{\sqrt{|D|}}{2a}.
✏️Eksempel 4: Reelle koeffisienter, komplekse røtter

Løs z2+2z+5=0z^2+2z+5=0.

Her er a=1,b=2,c=5a=1,b=2,c=5, alle reelle. Diskriminant D=b2−4ac=4−20=−16<0D=b^2-4ac=4-20=-16<0, så D=−16=4i\sqrt D=\sqrt{-16}=4i. abc-formelen:

z=−2±4i2=−1±2i.z=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i.

Løsningene −1+2i-1+2i og −1−2i-1-2i er et konjugert par — som forventet når koeffisientene er reelle. Kontroll (Vieta): sum =−2=−b/a=-2=-b/a ✓, produkt =(−1)2+22=5=c/a=(-1)^2+2^2=5=c/a ✓.

📝Oppgave 5

Løs a) z2+9=0z^2+9=0 og b) z2−2z+2=0z^2-2z+2=0.

✏️Eksempel 5: Komplekse koeffisienter

Løs z2−(3+i)z+(2+2i)=0z^2-(3+i)z+(2+2i)=0.

a=1a=1, b=−(3+i)b=-(3+i), c=2+2ic=2+2i. Diskriminant:
D=b2−4ac=(3+i)2−4(2+2i)=(9+6i−1)−(8+8i)=(8+6i)−(8+8i)=−2i.D=b^2-4ac=(3+i)^2-4(2+2i)=(9+6i-1)-(8+8i)=(8+6i)-(8+8i)=-2i.
Vi trenger en kvadratrot av −2i-2i. Fra Løkke 3 er −2i=±(1−i)\sqrt{-2i}=\pm(1-i) (fordi (1−i)2=−2i(1-i)^2=-2i). abc-formelen:
z=(3+i)±(1−i)2.z=\frac{(3+i)\pm(1-i)}{2}.
z1=3+i+1−i2=42=2z_1=\dfrac{3+i+1-i}{2}=\dfrac{4}{2}=2, og z2=3+i−1+i2=2+2i2=1+i.z_2=\dfrac{3+i-1+i}{2}=\dfrac{2+2i}{2}=1+i.

Løsningene er 22 og 1+i1+i. (Her er koeffisientene komplekse, så røttene er ikke et konjugert par — kontroll: produkt 2(1+i)=2+2i=c2(1+i)=2+2i=c ✓.)

📝Oppgave 6
Eksamensnivå

Løs z2−4z+13=0z^2-4z+13=0, og faktorisér polynomet z2−4z+13z^2-4z+13 over C\mathbb C.

Løkke 4 — Tredjegrad, faktorisering og konjugatrøtter (~11 min)

Algebraens fundamentalsetning
Ethvert polynom av grad n≥1n\ge1 med komplekse koeffisienter har nøyaktig nn røtter i C\mathbb C (talt med multiplisitet). Derfor kan et polynom av grad nn alltid faktoriseres fullstendig i nn førstegradsfaktorer over C\mathbb C:

p(z)=an(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn).p(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).

Konjugatrot-setningen

Har polynomet reelle koeffisienter og z0=a+biz_0=a+bi (med b≠0b\ne0) er en rot, så er også zˉ0=a−bi\bar z_0=a-bi en rot. Komplekse røtter opptrer altså i konjugerte par. Følge: et reelt polynom av oddetallsgrad har minst én reell rot.

Gjett en rot og polynomdivider

For en tredjegradslikning p(z)=0p(z)=0: (1) gjett en enkel rot z1z_1 (prøv ±1,±2,±i\pm1,\pm2,\pm i, delere av konstantleddet); (2) polynomdivider p(z)p(z) med (z−z1)(z-z_1); (3) løs det gjenværende andregradspolynomet med abc-formelen. Faktor-setningen sier at z1z_1 er rot nøyaktig når (z−z1)(z-z_1) deler p(z)p(z).

Reell faktorisering (konjugerte par)
Et konjugert rotpar a±bia\pm bi svarer til en reell andregradsfaktor:

(z−(a+bi))(z−(a−bi))=z2−2az+(a2+b2).(z-(a+bi))(z-(a-bi))=z^2-2az+(a^2+b^2).

Derfor kan ethvert reelt polynom skrives som et produkt av reelle første- og andregradsfaktorer.

✏️Eksempel 6: Tredjegrad ved gjetting

Løs z3−2z2+4z−8=0z^3-2z^2+4z-8=0.

Gjett en rot: prøv delere av 88. z=2z=2: 8−8+8−8=08-8+8-8=0 ✓, så z1=2z_1=2 er en rot.

Polynomdivider z3−2z2+4z−8z^3-2z^2+4z-8 med (z−2)(z-2): resultatet er z2+4z^2+4 (siden (z−2)(z2+4)=z3+4z−2z2−8(z-2)(z^2+4)=z^3+4z-2z^2-8 ✓).

Løs resten: z2+4=0⇒z2=−4⇒z=±2i.z^2+4=0\Rightarrow z^2=-4\Rightarrow z=\pm2i.

Løsningene er z=2, 2i, −2iz=2,\ 2i,\ -2i. De to komplekse er et konjugert par (polynomet har reelle koeffisienter).

📝Oppgave 7
Eksamensnivå

Løs z3−z2+z−1=0z^3-z^2+z-1=0, og faktorisér polynomet fullstendig over C\mathbb C.

Blandet oppgavesett (stigende vanskegrad)

📝Oppgave 8

Løs z2=−2iz^2=-2i ved å sette z=x+iyz=x+iy og sammenligne real- og imaginærdel.

📝Oppgave 9
Eksamensnivå

Løs z4=−16z^4=-16 (regn på nytt uten å slå opp figuren) og forklar hvorfor de fire løsningene danner et kvadrat i planet.

📝Oppgave 10

(Krevende.) Vis at summen av de tre tredjerøttene av ethvert c≠0c\ne0 er 00.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene samlet i kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Røttenes felles radius R1/nR^{1/n}

Alle nn-te røttene av c=Reiφc=Re^{i\varphi} har samme modulus R1/nR^{1/n} — den positive reelle nn-te roten av ∣c∣|c|. De ligger derfor på én sirkel om origo. Feil her (f.eks. R/nR/n) er en klassisk tabbe.

Vinkelavstand 2π/n2\pi/n

Nabo-røtter av zn=cz^n=c skiller seg med argumentet 2πn\tfrac{2\pi}{n}. Har du funnet én rot, får du de neste ved gjentatt rotasjon 2πn\tfrac{2\pi}{n} mot klokka.

Sum av enhetsrøtter er 0

For n≥2n\ge2 er summen av de nn enhetsrøttene 1+ω+⋯+ωn−1=01+\omega+\dots+\omega^{n-1}=0 (geometrisk rekke, ω=ei2π/n\omega=e^{i2\pi/n}). Mer generelt er summen av de nn røttene av zn=cz^n=c lik 00 for n≥2n\ge2.

Vietas formler (andregrad)

For z2+pz+q=0z^2+pz+q=0 med røtter z1,z2z_1,z_2 gjelder z1+z2=−pz_1+z_2=-p og z1z2=qz_1z_2=q. Nyttig kontroll etter abc-formelen og til å gjette røtter.

Dobbeltrot

Er diskriminanten D=b2−4ac=0D=b^2-4ac=0, faller de to røttene sammen i én dobbeltrot z=−b2az=\tfrac{-b}{2a}. Da er az2+bz+c=a(z−z0)2az^2+bz+c=a(z-z_0)^2.

nn-te røtter som brøkpotens

Å ta nn-te rot er de Moivres formel med brøkeksponent: c1/n=R1/neiφ/nc^{1/n}=R^{1/n}e^{i\varphi/n} gir én rot, og de øvrige fås ved å legge til 2πkn\tfrac{2\pi k}{n} i argumentet. Røtter er altså «potenser baklengs».

Primitiv enhetsrot ω\omega
ω=ei2π/n\omega=e^{i2\pi/n} er den primitive nn-te enhetsroten: alle enhetsrøttene er potensene 1,ω,ω2,…,ωn−11,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}. Å gange en rot av zn=cz^n=c med ω\omega gir nabo-roten.
Faktor-setningen
z1z_1 er en rot av polynomet p(z)p(z) nøyaktig når (z−z1)(z-z_1) er en faktor i p(z)p(z), altså når divisjonen p(z)/(z−z1)p(z)/(z-z_1) går opp uten rest. Dette rettferdiggjør gjett-og-divider-metoden.
Multiplisitet av en rot

En rot z1z_1 har multiplisitet mm hvis (z−z1)m(z-z_1)^m deler p(z)p(z), men (z−z1)m+1(z-z_1)^{m+1} ikke gjør det. Talt med multiplisitet har et gradspolynom nn nøyaktig nn røtter.

Reell rot av oddegrads polynom

Et polynom med reelle koeffisienter av oddetallsgrad har minst én reell rot: komplekse røtter kommer i konjugerte par (konjugatrot-setningen), og et oddetall kan ikke deles helt i par.

Kvadratkomplettering (alternativ)
z2+bz+c=0z^2+bz+c=0 kan også løses ved å fullføre kvadratet: (z+b2)2=b24−c(z+\tfrac b2)^2=\tfrac{b^2}{4}-c, deretter kompleks kvadratrot. Gir samme svar som abc-formelen, men er nyttig når koeffisientene er enkle.
Regulær nn-kant

De nn løsningene av zn=cz^n=c er hjørnene i en regulær nn-kant innskrevet i sirkelen med radius R1/nR^{1/n}. For n=3n=3 en likesidet trekant, n=4n=4 et kvadrat, osv. — et raskt kontrollbilde på skissen.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 2 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.