7.2 Polar form, Eulers formel og de Moivres formel

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad r=|z|>0.$$

Her er $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ modulus, og $\theta$ er argumentet — vinkelen fra den positive realaksen til pila mot $z$, målt i radianer. Sammenhengen med kartesisk form er $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.

$$\arg z=\theta+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Vi finner $\theta$ fra $\tan\theta=\dfrac yx$, men kvadranten avgjøres av fortegnene til $x$ og $y$ — ikke av $\tan^{-1}$ alene.

For å få en entydig vinkel velger vi ofte hovedargumentet i intervallet $(-\pi,\pi]$ (noen bøker bruker $[0,2\pi)$). Skriver du et svar, oppgi hvilket intervall du bruker. Alle vinkler som skiller seg med et helt antall $2\pi$, gir samme tall.

Bestem $\theta$ i to steg: (1) finn referansevinkelen $\alpha=\arctan\left|\tfrac yx\right|$; (2) juster etter kvadranten $z$ ligger i:

- 1. kvadrant ($x>0,y>0$): $\theta=\alpha$.
- 2. kvadrant ($x<0,y>0$): $\theta=\pi-\alpha$.
- 3. kvadrant ($x<0,y<0$): $\theta=-\pi+\alpha$ (eller $\pi+\alpha$).
- 4. kvadrant ($x>0,y<0$): $\theta=-\alpha$.

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

Dette knytter eksponentialfunksjonen til trigonometrien og er ett av de viktigste resultatene i faget. Spesialtilfellet $\theta=\pi$ gir den berømte $e^{i\pi}=-1$, altså $e^{i\pi}+1=0$.

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.$$

Denne eksponentialformen gjør regnereglene opplagte: potensregler for eksponenter gir automatisk reglene for multiplikasjon, divisjon og potens av komplekse tall.

$$e^{i\cdot0}=1,\quad e^{i\pi/2}=i,\quad e^{i\pi}=-1,\quad e^{i3\pi/2}=e^{-i\pi/2}=-i,\quad e^{i2\pi}=1.$$

Alle har modulus $1$ (ligger på enhetssirkelen). Å gange med $e^{i\pi/2}=i$ svarer til å rotere $90^\circ$ mot klokka.

Under kode E må disse eksakte verdiene sitte utenat:

$$z_1z_2=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)}.$$

Moduli ganges, argumenter adderes. Å multiplisere med $z_2$ betyr altså å skalere med $r_2$ og rotere med $\theta_2$.

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}.$$

Moduli deles, argumenter subtraheres. Spesielt er $\dfrac1z=\dfrac1r e^{-i\theta}$ og $\bar z=re^{-i\theta}$.

$$\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta}.$$

Derfor er $z\bar z=re^{i\theta}\cdot re^{-i\theta}=r^2=|z|^2$, i tråd med 7.1.

$$z^n=r^n\,e^{in\theta}=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta),\qquad n\in\mathbb Z.$$

Modulus opphøyes i $n$, argumentet ganges med $n$. Dette gjør ellers uhåndterlige potenser som $(-1+i)^6$ til en linje med regning.

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^2=\cos2\theta+i\sin2\theta,$$

og ved å sammenligne realdel og imaginærdel får du $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ og $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$. Samme grep gir formler for $\cos3\theta$ osv.

Fra $z=x+iy$ til $z=re^{i\theta}$: (1) $r=\sqrt{x^2+y^2}$; (2) tegn punktet og bestem kvadranten; (3) referansevinkel $\alpha=\arctan\left|\tfrac yx\right|$; (4) juster $\alpha$ til riktig kvadrant. Sjekk alltid mot en skisse — det er den vanligste feilkilden.

Fra $z=re^{i\theta}$ til $z=x+iy$: regn $x=r\cos\theta$ og $y=r\sin\theta$ med eksakte verdier. Under kode E holder de fem standardvinklene pluss symmetri.

Argumenter måles i radianer, der en hel omdreining er $2\pi$. Sammenhengen med grader: $180^\circ=\pi$. På eksamen holdes alt i radianer; unngå å blande inn grader.

Å gange med $z=re^{i\theta}$ betyr geometrisk å skalere med faktoren $r$ og rotere vinkelen $\theta$ om origo. Spesielt roterer $\cdot\,i=e^{i\pi/2}$ med $90^\circ$ mot klokka.

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$

Nyttig i utledninger og for å gjenkjenne trig i eksponentialform.

$$\frac1z=\frac1r e^{-i\theta}=\frac{\bar z}{|z|^2}.$$

Modulus inverteres, argumentet snur fortegn.

Fordi $e^{i2\pi}=1$, er $re^{i\theta}=re^{i(\theta+2\pi k)}$ for alle heltall $k$. Dette er nettopp grunnen til at $z^n=c$ har $n$ ulike løsninger (kap. 7.3): $n$ ulike valg av $k$ gir ulike argumenter før de gjentar seg.

For tall på aksene er argumentet enkelt: positiv realakse $\theta=0$, positiv imaginærakse $\theta=\tfrac\pi2$, negativ realakse $\theta=\pi$, negativ imaginærakse $\theta=-\tfrac\pi2$. Bruk disse som holdepunkter når du bestemmer kvadrant.

Argumentet er additivt under multiplikasjon: $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$ og $\arg\tfrac{z_1}{z_2}=\arg z_1-\arg z_2$ (opp til $2\pi k$). Dette er kjernen i hvorfor multiplikasjon roterer.

Fra de Moivre følger $|z^n|=|z|^n$: modulus av en potens er potensen av modulus. Kombinert med $\arg(z^n)=n\arg z$ gir det hele de Moivres formel.

Tallet $z=0$ har modulus $0$ og ikke noe argument — det ligger i origo og peker ingen vei. Polar form gjelder bare for $z\ne0$. Sjekk alltid dette unntaket i utledninger.

de Moivres formel gjelder også for $n<0$: $z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}$. Spesielt er $z^{-1}=\tfrac1r e^{-i\theta}$, i tråd med invers-regelen. Dette forbereder brøkpotenser (røtter) i kap. 7.3.