7.1 Kartesisk form: regning, konjugat og modulus

$$z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb R.$$

Her er $x$ og $y$ vanlige reelle tall, og $i$ er den imaginære enheten. Skrivemåten $x+iy$ kalles kartesisk form (eller rektangulær form). Mengden av alle komplekse tall skrives $\mathbb C$.

$$i^2=-1.$$

Det er hele definisjonen — alt annet følger av vanlig regning der du hver gang bytter ut $i^2$ med $-1$. Et reelt tall er spesialtilfellet $y=0$, så de reelle tallene ligger inne i $\mathbb C$.

$$\operatorname{Re}z=x,\qquad \operatorname{Im}z=y.$$

Merk at imaginærdelen $\operatorname{Im}z=y$ er et reelt tall (koeffisienten foran $i$), ikke $iy$. Et tall med $x=0$ kalles rent imaginært; et tall med $y=0$ er reelt.

$$x+iy=u+iv\iff x=u \text{ og } y=v.$$

Én kompleks likning er altså to reelle likninger på én gang. Dette er grepet bak «sammenlign realdel og imaginærdel», som brukes i nesten hver komplekstall-oppgave.

$$(x+iy)\pm(u+iv)=(x\pm u)+i\,(y\pm v).$$

Geometrisk svarer addisjon til å legge sammen pilene i planet på samme måte som vektorer.

$$(x+iy)(u+iv)=xu+ixv+iyu+i^2yv=(xu-yv)+i\,(xv+yu).$$

Du trenger ikke pugge sluttformelen — det holder å gange ut og huske $i^2=-1$. Multiplikasjon er kommutativ og distributiv, akkurat som for reelle tall.

$$i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\quad i^5=i,\dots$$

For en hvilken som helst potens deler du eksponenten på $4$ og ser på resten: $i^n=i^{\,n\bmod 4}$. For eksempel $i^{23}=i^{3}=-i$ fordi $23=4\cdot5+3$.

$$\bar z=x-iy.$$

Geometrisk er $\bar z$ speilingen av $z$ om den reelle aksen. Et tall er reelt nøyaktig når $z=\bar z$, og rent imaginært nøyaktig når $\bar z=-z$.

$$\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\quad \overline{zw}=\bar z\,\bar w,\quad \overline{\left(\tfrac{z}{w}\right)}=\tfrac{\bar z}{\bar w},\quad \overline{\bar z}=z.$$

En nyttig følge: har et polynom reelle koeffisienter og $z$ er en rot, så er $\bar z$ også en rot. Det er konjugatrot-setningen (brukes i 7.3).

$$z\bar z=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2.$$

Dette tallet er $|z|^2$ (modulus i annen, se løkke 5). Nettopp fordi $z\bar z$ blir reelt, kan vi bruke konjugatet til å bli kvitt $i$ i en nevner (løkke 4).

$$\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\cdot\frac{\bar w}{\bar w}=\frac{z\bar w}{|w|^2}.$$

Etterpå deler du real- og imaginærdel hver for seg på det reelle tallet $|w|^2$. Dette grepet er den vanligste enkeltteknikken i oppgave 1 — sensor forventer å se det.

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\bar z}.$$

Modulus er alltid et reelt tall $\ge0$. Husk kvadratroten: $|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$, ikke $25$.

$$|zw|=|z|\,|w|,\qquad \left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|},\qquad |z|^2=z\bar z,\qquad |\bar z|=|z|.$$

Merk: modulus er ikke additiv — $|z+w|\ne|z|+|w|$ i alminnelighet (bare trekantulikheten $|z+w|\le|z|+|w|$ gjelder). Bruk multiplikasjonsregelen for å slippe å regne ut kvotienter før du tar modulus.

Vi tegner $z=x+iy$ som punktet $(x,y)$ i et koordinatsystem der den vannrette aksen er realaksen og den loddrette er imaginæraksen. Dette kalles det komplekse planet eller Argand-diagrammet.

Da svarer $|z|$ til avstanden fra origo, og $|z-w|$ til avstanden mellom punktene $z$ og $w$. Geometrien gjør mange komplekstall-oppgaver enklere å se.

De tre nære slektningene til $z=x+iy$ ligger symmetrisk:

- $\bar z=x-iy$ er speilingen om realaksen,
- $-z=-x-iy$ er speilingen gjennom origo (punktspeiling),
- $-\bar z=-x+iy$ er speilingen om imaginæraksen.

Alle fire har samme modulus $|z|$.

$$|z-a|=r.$$

For eksempel er $|z-(1+i)|=2$ sirkelen med sentrum $(1,1)$ og radius $2$. Ulikheten $|z-a|<r$ gir det indre av sirkelen (en disk).

$$|z-a|=|z-b|.$$

Du finner likningen ved å sette $z=x+iy$, kvadrere begge sider ($|z-a|^2=|z-b|^2$) og forenkle — de kvadratiske leddene $x^2+y^2$ faller bort, og du står igjen med en rett linje.

$$\operatorname{Re}z=\frac{z+\bar z}{2},\qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\bar z}{2i}.$$

Nyttig når du skal vise at et uttrykk er reelt ($z=\bar z$) eller rent imaginært ($z=-\bar z$).

Et komplekst tall er rent reelt når imaginærdelen er null: $z=x+0\,i=x$. Ekvivalent: $z=\bar z$. De reelle tallene er dermed en delmengde av $\mathbb C$.

Et tall er rent imaginært når realdelen er null: $z=0+iy=iy$. Ekvivalent: $\bar z=-z$. Eksempel: $z=-4i$.

$$|z-w|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$

Dette er grunnlaget for geometriske steder som sirkel og midtnormal.

Har et polynom reelle koeffisienter og $z_0$ er en (kompleks) rot, så er $\bar z_0$ også en rot. Komplekse røtter opptrer altså i konjugerte par $a\pm bi$. Dette brukes til å faktorisere reelle polynom (kap. 7.3).

$$|z+w|\le|z|+|w|.$$

Geometrisk: den ene siden i en trekant er aldri lengre enn summen av de to andre. Likhet gjelder når $z$ og $w$ peker samme vei fra origo.

$$(a+bi)^2=a^2-b^2+2ab\,i.$$

Merk at $(a+bi)^2\ne a^2+b^2$; det siste er $|a+bi|^2=(a+bi)(a-bi)$. Kvadratet brukes når du skal ta komplekse kvadratrøtter (kap. 7.3).