9.1 Homogene 2. ordens med konstante koeffisienter: karakteristisk likning

$$y''+py'+qy=0,\qquad p,q\in\mathbb R.$$

"Homogen" betyr her at høyresida er $0$ (ingen pådragsledd $g(x)$). "Lineær" betyr at $y,y',y''$ ikke ganges med hverandre eller opphøyes. Eksempel: $y''-4y'+13y=0$ ($p=-4$, $q=13$). Til motsetning er $y''+ (y')^2=0$ ikke lineær.

At tallene $p$ og $q$ foran $y'$ og $y$ er konstanter, ikke funksjoner av $x$. Nettopp dette gjør at prøveløsningen $y=e^{rx}$ virker og reduserer likningen til en andregradslikning. Har koeffisientene $x$ i seg (f.eks. $y''+xy=0$), faller metoden i dette kapitlet bort.

$$y=e^{rx}\ \Rightarrow\ y'=re^{rx},\ \ y''=r^2e^{rx}.$$

Setter vi dette inn i $y''+py'+qy=0$, faller $e^{rx}$ ut som felles faktor, og bare en likning i $r$ blir igjen.

$$r^2+pr+q=0.$$

Dette er den karakteristiske likningen. Røttene $r$ bestemmer løsningen fullstendig. Oversettelsen er mekanisk: $y''\to r^2$, $y'\to r$, $y\to 1$.

Løser du $r^2+pr+q=0$ med $abc$-formelen, $r=\dfrac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$, avgjør diskriminanten $D=p^2-4q$ hvilket tilfelle du er i:

- $D>0$: to reelle ulike røtter;
- $D=0$: én dobbel (reell) rot $r=-p/2$;
- $D<0$: to kompleks-konjugerte røtter $r=a\pm bi$.

Hvert tilfelle har sin egen løsningsform. Å kjenne igjen tilfellet er halve oppgaven.

$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.$$

Her er $C_1,C_2$ frie konstanter (bestemmes av initialbetingelser). Dette er den vanligste og enkleste formen.

For en homogen lineær likning gjelder: er $y_1$ og $y_2$ begge løsninger, så er enhver kombinasjon $C_1y_1+C_2y_2$ også en løsning. Dette er superposisjonsprinsippet, og det er grunnen til at vi kan legge sammen de to grunnløsningene $e^{r_1x}$ og $e^{r_2x}$ og fortsatt ha en løsning. Prinsippet gjelder KUN for den homogene likningen (høyresida $0$).

$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}.$$

Den ekstra $x$-faktoren er lett å glemme — og er en dokumentert eksamensfelle.

$$y''-2ry'+r^2y=e^{rx}\big[(2r+r^2x)-2r(1+rx)+r^2x\big]=e^{rx}\cdot 0=0.$$

Altså er $xe^{rx}$ en ekte løsning, uavhengig av $e^{rx}$. (Metoden bak — reduksjon av orden — nevnes i begrepsbanken.) Du beviser dette selv i oppgave 8.

$$r=a\pm bi,\qquad a=-\tfrac{p}{2},\ \ b=\tfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}>0.$$

Den reelle generelle løsningen er da

$$y=e^{ax}\big(C_1\cos bx+C_2\sin bx\big).$$

Realdelen $a$ styrer vekst/demping ($e^{ax}$), og imaginærdelen $b$ styrer svingefrekvensen ($\cos bx,\sin bx$).

$$e^{ax}e^{ibx}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx).$$

Tar vi real- og imaginærdel hver for seg (begge er reelle løsninger), sitter vi igjen med $e^{ax}\cos bx$ og $e^{ax}\sin bx$. Kombinasjonen $e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$ er den generelle reelle løsningen.

To løsninger $y_1,y_2$ er lineært uavhengige hvis den ene ikke er et konstant multiplum av den andre. Bare da spenner $C_1y_1+C_2y_2$ ut alle løsninger. I hvert av de tre tilfellene er grunnløsningene uavhengige: $e^{r_1x},e^{r_2x}$ (ulike $r$), $e^{rx},xe^{rx}$, og $e^{ax}\cos bx,e^{ax}\sin bx$.

$$W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_2y_1'.$$

Er $W\ne0$ i minst ett punkt, er $y_1,y_2$ lineært uavhengige og danner et fundamentalt løsningssett. For $e^{r_1x},e^{r_2x}$ er $W=(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}\ne0$ når $r_1\ne r_2$.

Et par $\{y_1,y_2\}$ av lineært uavhengige løsninger av $y''+py'+qy=0$. Enhver løsning kan da skrives entydig som $y=C_1y_1+C_2y_2$. De tre løsningsformene i kapitlet er nettopp de tre standard fundamentale løsningssettene.

Løsningsmengden til $y''+py'+qy=0$ er et vektorrom av dimensjon 2: den spennes ut av to uavhengige løsninger, og trenger derfor to frie konstanter $C_1,C_2$. Derfor må du alltid ha nøyaktig to konstanter i svaret — én konstant (vanlig felle ved dobbel rot) betyr at du har mistet halve løsningsrommet.

En 2. ordens likning med to initialbetingelser i samme punkt, typisk $y(x_0)=y_0$ og $y'(x_0)=y_0'$. Fremgangsmåte: finn først den generelle løsningen $y=C_1y_1+C_2y_2$, deriver for å få $y'$, sett så inn begge betingelsene og løs det lineære $2\times2$-systemet for $C_1,C_2$. To betingelser matcher de to konstantene.

En 2. ordens likning med betingelser i to ulike punkter, f.eks. $y(0)=0$ og $y(L)=0$. Til forskjell fra et initialverdiproblem kan et randverdiproblem ha ingen, én eller uendelig mange løsninger. Metoden er den samme (sett inn i den generelle løsningen), men tolkningen av utfallet skiller seg.

Den generelle løsningen av den homogene likningen $y''+py'+qy=0$, med sine to frie konstanter. I Del 9 er dette byggesteinen: den fulle (inhomogene) løsningen i kap. 9.2 er $y=y_h+y_p$, der $y_h$ er nettopp det du lærer å finne her.

For $y''+py'+qy=0$ med konstante $p,q$ har initialverdiproblemet $y(x_0)=y_0$, $y'(x_0)=y_0'$ nøyaktig én løsning, definert for alle $x$. Derfor bestemmer de to konstantene $C_1,C_2$ løsningen entydig fra to initialbetingelser.

Mengden av alle løsninger av $y''+py'+qy=0$ er et vektorrom av dimensjon 2 (jf. Del 3): summen av to løsninger er en løsning, og et konstant multiplum også. En basis er et fundamentalt løsningssett $\{y_1,y_2\}$, og $\dim=2$ er grunnen til de to konstantene.

En svingende løsning $C_1\cos bx+C_2\sin bx$ kan skrives kompakt som $A\cos(bx-\varphi)$ med amplitude $A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ og fase $\varphi$ gitt av $\tan\varphi=C_2/C_1$. Nyttig når du skal lese av største utslag; behandles nærmere i kap. 9.3.

Ved komplekse røtter $a\pm bi$ styrer realdelen $a$ oppførselen: $a<0$ gir dempet svingning (amplituden $e^{ax}$ dør ut), $a=0$ gir udempet (ren $\cos/\sin$), $a>0$ gir voksende svingning. Fysisk svarer $a<0$ til friksjon/motstand.

Ved rent imaginære røtter $\pm bi$ (som i $y''+9y=0$ med $b=3$) svinger systemet fritt med egenfrekvensen $b$. Denne størrelsen blir avgjørende for resonans i kap. 9.2–9.3: treffer et pådrag egenfrekvensen, vokser utslaget.

Enhver ODE-løsning kan (og bør) kontrolleres ved å sette den inn i likningen og se at den gir $0$ (homogent). Under kode E er dette din eneste feilsjekk: deriver $y$ to ganger, sett inn i $y''+py'+qy$, og bekreft at alt kanselleres.

Metoden som forklarer hvorfor $xe^{rx}$ dukker opp ved dobbel rot: kjenner du én løsning $y_1$, søk en annen på formen $y_2=u(x)y_1$. For $y_1=e^{rx}$ ved dobbel rot fører dette til $u''=0$, altså $u=x$, og $y_2=xe^{rx}$. Du trenger ikke føre dette på eksamen — bare kjenne til begrunnelsen.