9.2 Inhomogene likninger: ubestemte koeffisienter og resonans

$$y''+py'+qy=g(x).$$

Høyresida $g(x)$ kalles pådraget eller kildeleddet. Til motsetning er den homogene likningen (kap. 9.1) den med $g(x)=0$. Målet er å finne én løsning som matcher $g$, og legge den til den homogene.

$$y=y_h+y_p.$$

Her bærer $y_h$ (fra kap. 9.1) begge de frie konstantene $C_1,C_2$, mens $y_p$ er én bestemt løsning uten frie konstanter. Grunnen: trekker du to løsninger av den fulle likningen fra hverandre, løser differansen den homogene likningen. Så alle løsninger ligger ett $y_h$ unna hverandre.

Den generelle løsningen av den tilhørende homogene likningen $y''+py'+qy=0$, med to frie konstanter (kap. 9.1). Den må alltid finnes først i en inhomogen oppgave — både fordi den inngår i sluttsvaret, og fordi den avgjør om ansatsen for $y_p$ har resonans. Kalles også komplementærfunksjonen.

En metode for å finne $y_p$ når pådraget $g(x)$ er av en "pen" type (polynom, eksponential, sinus/cosinus, eller produkter/summer av disse). Ideen: $y_p$ har samme form som $g$, men med ukjente ("ubestemte") koeffisienter. Sett ansatsen inn i likningen, sammenlign ledd, og løs for koeffisientene. Virker fordi derivasjon holder deg innenfor samme funksjonsfamilie.

Funksjonen på høyresida som ansatsen skal matche. De tre grunntypene metoden dekker: polynom ($g=x^2+1$), eksponential ($g=e^{\alpha x}$) og svingning ($g=\cos\beta x$ eller $\sin\beta x$), samt summer og produkter av disse. For andre typer (som $\tan x$) trengs variasjon av parametere (kap. 9.3).

$$g=x^2\ \Rightarrow\ y_p=Ax^2+Bx+C.$$

Ta alltid med alle lavere ledd, også konstantleddet — de deriverte blander gradene. (Unntak: hvis $q=0$ er $r=0$ en rot, og da trengs resonans, se løkke 5.)

$$y_p=Ae^{\alpha x}.$$

Siden $\dfrac{d}{dx}e^{\alpha x}=\alpha e^{\alpha x}$, blir innsetting bare et tall ganger $e^{\alpha x}$, og $A$ løses direkte. Advarsel: virker bare hvis $\alpha$ ikke er rot i den karakteristiske likningen — er den det, har du resonans (løkke 5).

$$y_p=A\cos\beta x+B\sin\beta x.$$

Du må ta med både $\cos$ og $\sin$ selv om $g$ bare har det ene — derivasjon bytter mellom dem, så begge trengs. Advarsel: virker bare hvis $\pm\beta i$ ikke er røtter (ellers resonans, løkke 5).

Sammensatte pådrag håndteres ledd for ledd: produkt $g=e^{\alpha x}\cos\beta x$ gir ansats $e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$; produkt $g=x\,e^{\alpha x}$ gir $(Ax+B)e^{\alpha x}$; en sum $g=g_1+g_2$ løses ved superposisjon (løkke 6): finn $y_{p1}$ for $g_1$ og $y_{p2}$ for $g_2$ hver for seg.

$$s=\text{multiplisiteten til den kolliderende roten}.$$

- $\alpha$ (eller $\pm\beta i$) er en enkel rot ⇒ $s=1$ ⇒ gang med $x$.
- $\alpha$ er en dobbel rot ⇒ $s=2$ ⇒ gang med $x^2$.

Eksempel: $g=e^{2x}$ og $r=2$ enkel rot ⇒ ansats $Axe^{2x}$. Er $r=2$ dobbel ⇒ $Ax^2e^{2x}$. Dette er den ene regelen sensor sjekker aller nøyest.

Hvor mange ganger den kolliderende roten opptrer i den karakteristiske likningen. En enkel rot ($r_1\ne r_2$) har multiplisitet $1$; en dobbel rot har multiplisitet $2$. For et trigonometrisk pådrag $\cos\beta x/\sin\beta x$ er $s$ multiplisiteten til $\beta i$ (i praksis $1$, siden $\pm\beta i$ bare kan være enkle røtter i en 2. ordens likning med reelle koeffisienter).

Er $\alpha$ en enkel rot, løser $e^{\alpha x}$ den homogene likningen, så ansatsen $Ae^{\alpha x}$ gir $0$ ved innsetting — den kan aldri bli $e^{\alpha x}$. Multipliserer du med $x$, gir derivasjonen nye ledd som ikke kanselleres, og $Axe^{\alpha x}$ kan matche pådraget. Samme mekanikk som $xe^{rx}$ ved dobbel rot i kap. 9.1: en $x$-faktor per gang formen allerede finnes i $y_h$.

$$g=g_1+g_2\ \Rightarrow\ y_p=y_{p1}+y_{p2},$$

der $y_{p1}$ løser $\dots=g_1$ og $y_{p2}$ løser $\dots=g_2$. Dette er superposisjonsprinsippet for den inhomogene likningen: hvert pådrag driver sitt eget svar, og de legger seg sammen.

Rekkefølgen er kritisk: finn hele den generelle løsningen $y=y_h+y_p$ først, deriver, og sett så inn initialbetingelsene $y(x_0),y'(x_0)$ for å bestemme $C_1,C_2$. Bestemmer du konstantene i $y_h$ før du har lagt til $y_p$, blir de feil — $y_p$ bidrar også til $y(x_0)$ og $y'(x_0)$.

Standardansatsene for $y_p$ (før eventuell resonans-$x^s$):

Når pådraget svarer til en enkel rot i den karakteristiske likningen: $g=e^{\alpha x}$ med $\alpha$ enkel rot, eller $g=\cos\beta x/\sin\beta x$ med $\pm\beta i$ røtter. Da ganges ansatsen med $x^1$: $Axe^{\alpha x}$, henholdsvis $x(A\cos\beta x+B\sin\beta x)$.

Når $g=e^{\alpha x}$ og $\alpha$ er en dobbel rot. Da er både $e^{\alpha x}$ og $xe^{\alpha x}$ i $y_h$, så ansatsen må ganges med $x^2$: $y_p=Ax^2e^{\alpha x}$. Innsetting kollapser til $2Ae^{\alpha x}$ (for likningen $y''-2\alpha y'+\alpha^2 y$).

Et annet navn på den homogene løsningen $y_h$ i inhomogen sammenheng. Den "komplementerer" partikulærløsningen: $y=y_h+y_p$. Bruk gjerne navnet i føringen — sensor kjenner det igjen.

Kjernesteget i ubestemte koeffisienter: etter innsetting samler du ledd av samme type ($x^2$, $x$, $\cos\beta x$, $e^{\alpha x}$ …) og setter koeffisientene på hver side lik hverandre. To funksjoner som $\{1,x,x^2\}$ eller $\{\cos\beta x,\sin\beta x\}$ er lineært uavhengige, så koeffisientene må matche ledd for ledd.

I en svingemodell $my''+ky=F_0\cos\omega t$ oppstår resonans når drivfrekvensen $\omega$ treffer egenfrekvensen $\sqrt{k/m}$. Da vokser $y_p$ som $t\cos\omega t$ (amplituden øker lineært) — den matematiske $x^s$-faktoren er akkurat dette voksende utslaget. Klassisk eksempel: en bro eller et glass som ristes ved sin egenfrekvens. Utdypes i kap. 9.3.

Den faste rekkefølgen (utenat, kode E): (1) løs homogen $\to y_h$; (2) velg ansats etter $g$; (3) resonanssjekk $\to$ gang med $x^s$ ved kollisjon; (4) sett inn, bestem koeffisienter $\to y_p$; (5) $y=y_h+y_p$; (6) bruk initialbetingelser sist. Hopp aldri over steg 3, og aldri steg 6 før 5.

Din eneste feilkontroll under kode E: sett den ferdige $y_p$ inn i $y''+py'+qy$ og bekreft at du får nøyaktig $g(x)$ (ikke $0$ — det ville vært en homogen løsning). Deriver ansatsen nøyaktig, samle ledd, og se at koeffisientene stemmer. Ved resonans er dette spesielt viktig, siden en glemt $x$-faktor gir $0\ne g$.