8.2 Lineære 1. ordens differensiallikninger og integrerende faktor

$$y'+p(x)\,y=q(x),$$

der $p$ og $q$ er kjente funksjoner av $x$ alene. "Lineær" viser til at venstresida er en lineær kombinasjon av $y$ og $y'$. Eksempel: $y'+2y=e^{-x}$ ($p=2$, $q=e^{-x}$). Til motsetning er $y'=xy^2$ ikke lineær (leddet $y^2$).

Formen $y'+p(x)y=q(x)$ med koeffisienten 1 foran $y'$. Det er avgjørende å få $y'$ alene med koeffisient 1 før du leser av $p(x)$ — ellers blir den integrerende faktoren feil. Har du f.eks. $2y'+4y=6$, del først på 2: $y'+2y=3$, så er $p=2$.

$$y_h=Ce^{-\int p(x)\,dx}.$$

Denne kalles den homogene løsningen $y_h$ og bærer den frie konstanten $C$. (Merk: "homogen" betyr her høyresida er null — ikke det samme som homogen brukt om vekstlikninger.)

Den lineære likningen med $q(x)\neq0$: $y'+p(x)y=q(x)$. Høyresida $q(x)$ kalles kildeleddet eller pådraget. Den generelle løsningen er da homogen pluss en partikulær løsning, $y=y_h+y_p$ — strukturen vi bygger videre på i Del 9.

$$\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}$$

som vi ganger hele standardformen med. Den er valgt akkurat slik at venstresida $\mu y'+\mu p y$ blir den deriverte av produktet $\mu y$. (Ved integralet $\int p\,dx$ trenger vi ingen konstant — enhver antiderivert virker.) Under kode E skal denne formelen sitte utenat.

$$(\mu y)'=\mu y'+\mu p\,y=\mu\big(y'+py\big)=\mu q.$$

Dermed forvandles hele venstresida til én derivert, $(\mu y)'$, og likningen blir $(\mu y)'=\mu q$ — klar til integrasjon.

$$y=\frac{1}{\mu}\left(\int \mu(x)\,q(x)\,dx + C\right).$$

Del hele høyresida (også $C$) på $\mu$ — en vanlig tabbe er å glemme å dele $C$-leddet. I praksis er det tryggere å huske stegene ($\mu$, $(\mu y)'=\mu q$, integrer, del) enn å pugge formelen som helhet.

For $y'+p(x)y=q(x)$:

1. Standardform (koeffisient 1 foran $y'$); les av $p$ og $q$.
2. Regn $\mu=e^{\int p\,dx}$ (ingen konstant nødvendig).
3. Gang likningen med $\mu$; venstresida er nå $(\mu y)'$.
4. Integrer: $\mu y=\int \mu q\,dx + C$.
5. Del på $\mu$ for å få $y$; bruk evt. initialbetingelsen til å finne $C$.

Løsningen av den tilhørende homogene likningen $y'+p(x)y=0$: $y_h=Ce^{-\int p\,dx}$. Den bærer den frie konstanten og oppfyller ingen initialbetingelse i seg selv. For konstant $p>0$ dør $y_h=Ce^{-px}$ ut når $x\to\infty$ — derav navnet transient (forbigående) ledd i modeller.

$$y=y_h+y_p.$$

Dette er superposisjonsstrukturen, og den er broen til Del 9: også for 2. ordens lineære likninger er den generelle løsningen $y_h+y_p$, bare med to frie konstanter i $y_h$ i stedet for én.

En lineær likning med en initialbetingelse $y(x_0)=y_0$. Fremgangsmåte: finn den generelle løsningen $y=y_h+y_p$ (med konstant $C$) først, sett så inn $x_0,y_0$ og løs for $C$. Fordi $p,q$ pene funksjoner gir eksistens- og entydighet (kap. 8.1), har problemet nøyaktig én løsning.

$$T'=-k\,(T-T_m),\qquad k>0.$$

Substitusjonen $u=T-T_m$ gir $u'=-ku$, altså eksponentielt henfall $u=u_0e^{-kt}$, så $T=T_m+(T_0-T_m)e^{-kt}$. Temperaturen nærmer seg omgivelsene når $t\to\infty$. Likningen er både lineær ($T'+kT=kT_m$) og separabel.

Verdien temperaturen nærmer seg: omgivelsestemperaturen $T_m$. Den er den partikulære (konstante) løsningen $T_p=T_m$, og leddet $(T_0-T_m)e^{-kt}$ er den transiente homogene delen som forsvinner. I standardform $T'+kT=kT_m$ er likevekten $q/p=kT_m/k=T_m$.

$$y'=(\text{inn-rate})-(\text{ut-rate})=r_{\text{inn}}c_{\text{inn}}-r_{\text{ut}}\frac{y}{V(t)},$$

der $r$ er volumstrømmer (volum/tid), $c_{\text{inn}}$ er innkonsentrasjon (mengde/volum) og $V(t)$ er væskevolumet i tanken. Med lik inn- og utstrøm er $V$ konstant, og likningen er lineær med konstante koeffisienter.

Mengde oppløst stoff per volumenhet: $c=\dfrac{y}{V}$ (f.eks. kg/L). I en godt blandet tank er konsentrasjonen i utløpet lik konsentrasjonen i tanken, $y/V$ — det er dette som gjør ut-raten lineær i $y$.

Den delen av løsningen som dør ut med tiden — typisk den homogene delen $y_h=Ce^{-\int p\,dx}$ når $\int p\to\infty$. I avkjøling er det $(T_0-T_m)e^{-kt}$; i blanding $Ce^{-t/20}$. Etter lang tid dominerer den stasjonære delen.

Verdien løsningen nærmer seg når $t\to\infty$, altså den partikulære delen $y_p$ når $y_h$ har dødd ut. For konstante $p>0,q$ er den $y_p=q/p$. Eksempler: likevektstemperaturen $T_m$, saltlikevekten $200$ kg i blandingstanken.

For lineære likninger: er $y_1$ løsning med kildeledd $q_1$ og $y_2$ med $q_2$, så er $y_1+y_2$ løsning med kildeledd $q_1+q_2$; og enhver løsning av den fulle likningen er en homogen løsning pluss én partikulær. Dette prinsippet er grunnen til strukturen $y=y_h+y_p$ og bæres videre til 2. ordens likninger i Del 9.

Sjekk i denne rekkefølgen: (1) Er den lineær ($y'+p(x)y=q(x)$)? Bruk integrerende faktor. (2) Er den separabel ($y'=f(x)g(y)$)? Skill de variable. Noen likninger er begge (f.eks. $y'+ky=0$ og $y'=2xy$) — da virker begge metodene og gir samme svar. Er den verken lineær eller separabel, ligger den utenfor pensum i denne boka.

$$L\,I'+R\,I=E(t),\qquad\text{standardform } I'+\frac{R}{L}I=\frac{E(t)}{L}.$$

Med konstant $E$ er stasjonærstrømmen $I_p=E/R$ og den transiente delen $Ce^{-(R/L)t}$. Samme matematikk som avkjøling og blanding — bare andre navn på størrelsene.