8.1 Separable differensiallikninger og initialverdiproblem

$$y' = F(x,y),$$

som leses: stigningstallet til grafen i punktet $(x,y)$ er $F(x,y)$. Å "løse" likningen betyr å finne alle funksjoner $y(x)$ som gjør likningen sann for alle $x$ i et intervall.

En løsning er en konkret funksjon $y(x)$ som, satt inn i likningen, gjør venstre side lik høyre side for alle $x$ i et intervall. Du sjekker en påstått løsning ved innsetting: regn ut $y'$, sett $y$ og $y'$ inn i likningen, og se om de to sidene blir like. Dette er den sikreste kontrollen på eksamen — en løsning som ikke passer ved innsetting, er feil.

Metoden for å bekrefte at en funksjon løser en gitt likning: deriver funksjonen, sett funksjonen og den deriverte inn i likningen, og forenkle til begge sider er identiske. Verifikasjon krever ingen løsningsteknikk og brukes både som kontroll av eget svar og som egen oppgavetype ("vis at $y=\dots$ er en løsning").

Fordi $y'=F(x,y)$ gir stigningstallet i hvert punkt, kan vi tegne en liten strek med dette stigningstallet i hvert punkt i planet. Mønsteret av streker er retningsfeltet, og en løsningskurve er en kurve som overalt følger strekene. Du trenger ikke tegne retningsfelt for hånd på eksamen; poenget er den geometriske intuisjonen — en løsning er en kurve som hele tiden har den stigningen likningen foreskriver.

$$y' = f(x)\,g(y).$$

Eksempler: $y'=xy$ ($f(x)=x$, $g(y)=y$), $y'=3x^2(1+y^2)$, $y'=y\cos x$. Kjennetegnet er at $x$ og $y$ lar seg skille på hver sin side — det er nettopp det som gjør likningen løsbar med integrasjon.

1. Skriv $\displaystyle y'=\frac{dy}{dx}$ og flytt alt med $y$ til venstre, alt med $x$ til høyre:
$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx.$$
2. Integrer begge sider (én integrasjonskonstant holder, samle den på høyre side).
3. Løs for $y$ hvis mulig (ellers la svaret stå implisitt).
4. Sjekk konstantløsningene $g(y)=0$ (se løkke 3) — de kan ha gått tapt da du delte på $g(y)$.

At vi "deler på $g(y)$" og "ganger med $dx$" er en trygg regnesnarvei; den kan begrunnes stringent, men på eksamen brukes den direkte.

$$g(c)=0.$$

Hver nullpunkt-verdi $c$ av $g$ gir altså en konstantløsning. Disse forsvinner i det øyeblikket du deler på $g(y)$ i den separable metoden, så de må hentes inn igjen til slutt. Konstantløsninger kalles også likevektsløsninger, fordi systemet står stille der.

En likning der høyresida ikke avhenger eksplisitt av $x$: $y'=g(y)$. Da er $f(x)=1$, og konstantløsningene $g(y)=0$ er spesielt viktige (de er systemets likevekter). Eksempel: $y'=y(1-y)$ har konstantløsningene $y=0$ og $y=1$.

En initialbetingelse er en oppgitt verdi $y(x_0)=y_0$: løsningskurven skal gå gjennom det bestemte punktet $(x_0,y_0)$. Betingelsen plukker ut én kurve fra den uendelige familien den generelle løsningen beskriver, ved å fastlegge integrasjonskonstanten.

$$y'=F(x,y),\qquad y(x_0)=y_0.$$

Løsningsoppskriften: (1) finn den generelle løsningen (med konstant $C$), (2) sett inn $x=x_0,\ y=y_0$ og løs for $C$, (3) skriv den partikulære løsningen med denne $C$-verdien. Sett alltid inn initialbetingelsen etter integrasjonen, aldri før.

Den generelle løsningen inneholder den vilkårlige konstanten $C$ og beskriver hele løsningsfamilien. En partikulær løsning er ett bestemt medlem av familien — det du får når $C$ er fastlagt, typisk av en initialbetingelse. En 1. ordens likning har alltid én fri konstant i den generelle løsningen.

Konstanten $C$ (eller $C_1$, $A$) som oppstår når du integrerer et ubestemt integral. I differensiallikninger bærer den friheten i den generelle løsningen. Vanligste tabbe: å glemme den, eller å sette inn initialbetingelsen før man har integrert ferdig. Én integrasjon i en 1. ordens likning gir nøyaktig én slik konstant.

Det største åpne intervallet rundt $x_0$ der den partikulære løsningen er definert og deriverbar. En løsning kan "sprekke" (gå mot uendelig) i et punkt; da stopper definisjonsintervallet der. Eksempel: $y=\dfrac{2}{2-x^2}$ er udefinert i $x=\pm\sqrt2$, så løsningen gjennom $x_0=0$ lever bare på $(-\sqrt2,\ \sqrt2)$.

For initialverdiproblemet $y'=F(x,y)$, $y(x_0)=y_0$ gjelder: hvis $F$ og dens partielt deriverte med hensyn på $y$ er kontinuerlige i et område rundt $(x_0,y_0)$, så finnes det nøyaktig én løsning i et intervall rundt $x_0$. På eksamen brukes dette som trygghet: for de pene høyresidene vi møter, finnes det én entydig løsning — derfor gir en initialbetingelse alltid ett bestemt svar. (Kjennskap: du skal vite at setningen finnes og hva den garanterer, ikke bevise den.)

$$y(t)=y_0e^{kt},$$

der $y_0=y(0)$. Er $k>0$ har vi vekst (bakterier, rente på rente); er $k<0$ har vi henfall (radioaktivt henfall, avkjøling mot 0). Konstanten $k$ er den relative vekstraten: $k=\dfrac{y'}{y}$.

Forholdet $\dfrac{y'}{y}$ — den prosentvise endringen per tidsenhet. For eksponentiell vekst $y=y_0e^{kt}$ er den relative vekstraten konstant lik $k$. Det er dette som skiller eksponentiell vekst fra lineær vekst (der det er $y'$ selv, ikke $y'/y$, som er konstant).

For henfall $y=y_0e^{kt}$ (med $k<0$) er halveringstiden $T_{1/2}$ tiden det tar før mengden er halvert: $y(T_{1/2})=\tfrac12 y_0$. Det gir $e^{kT_{1/2}}=\tfrac12$, altså $T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{-k}=\dfrac{\ln 2}{|k|}$. Praktisk: med halveringstid $T$ er $y=y_0\left(\tfrac12\right)^{t/T}$.

For vekst $y=y_0e^{kt}$ (med $k>0$) er doblingstiden $T_2$ tiden til mengden er doblet: $e^{kT_2}=2$, altså $T_2=\dfrac{\ln 2}{k}$. Praktisk: med doblingstid $T$ er $y=y_0\cdot 2^{t/T}$.

En løsning der $y$ ikke er skilt ut alene, men bundet i en likning som $\ln|y-3|=x^2+C_1$ eller $\arctan y = x^3+C$. Er det umulig eller upraktisk å løse for $y$, er en implisitt løsning et fullgodt svar — men på eksamen løses for $y$ (eksplisitt form) når det lar seg gjøre.

En løsning på formen $y=(\text{uttrykk i }x)$, altså der $y$ er skilt ut alene, som $y=Ce^{x^2}$ eller $y=\dfrac{2}{2-x^2}$. Foretrekkes når oppgaven ber om "løs for $y$" eller et definisjonsintervall skal bestemmes.

Mengden av alle løsninger, beskrevet av den generelle løsningen med den frie konstanten. En 1. ordens likning har en én-parameter familie (én konstant $C$): geometrisk en kurveskare som fyller planet, der akkurat én kurve går gjennom hvert punkt (der entydighetssetningen gjelder).