9.3 Variasjon av parametere og svingningsmodeller

$$W(y_1,y_2)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2.$$

Er $W\ne 0$ på et intervall, er $y_1,y_2$ lineært uavhengige der, og de utgjør et fundamentalt løsningssett. For $y_1=\cos x,\ y_2=\sin x$ blir $W=\cos x\cdot\cos x-(-\sin x)\sin x=\cos^2x+\sin^2x=1$.

Et fundamentalt løsningssett for $y''+py'+qy=0$ er to lineært uavhengige løsninger $y_1,y_2$. Fordi løsningsrommet har dimensjon 2, gir de hele den homogene løsningen som $y_h=C_1y_1+C_2y_2$.

Lineær uavhengighet sjekkes med Wronski-determinanten: $y_1,y_2$ er uavhengige på et intervall hvis $W(y_1,y_2)\ne 0$ der. Eksempler på par: $\{e^{r_1x},e^{r_2x}\}$ (reelle ulike røtter), $\{e^{rx},xe^{rx}\}$ (dobbel rot), $\{e^{ax}\cos bx,\ e^{ax}\sin bx\}$ (komplekse røtter).

$$y_p=-y_1\int\frac{y_2\,g}{W}\,dx+y_2\int\frac{y_1\,g}{W}\,dx,$$

der $W=W(y_1,y_2)=y_1y_2'-y_1'y_2$ er Wronski-determinanten. Merk: likningen må først skrives på standardform med koeffisient 1 foran $y''$ (del på ledende koeffisient), ellers blir $g$ feil skalert.

$$m x''+c x'+k x=F(t).$$

Her er $x(t)$ utslaget fra likevekt, $m x''$ treghetskraften (Newtons 2. lov), $c x'$ dempingen (luftmotstand/friksjon, motvirker farten) og $k x$ fjærkraften (Hookes lov, trekker mot likevekt). Er $F=0$ kalles svingningen fri; ellers tvungen. Er $c=0$ er den udempet.

$$x(t)=C_1\cos\omega_0 t+C_2\sin\omega_0 t.$$

Dette er en harmonisk svingning: massen svinger evig med fast frekvens $\omega_0$ og konstant amplitude, siden ingen demping tar energi ut av systemet.

Egenfrekvensen er nøkkelen til resonans: driver du systemet med en ytre kraft av frekvens $\omega$ lik $\omega_0$, treffer du systemets «egen takt» og amplituden vokser. Perioden er $T=2\pi/\omega_0$.

$$x(t)=A\cos(\omega_0 t-\varphi),\qquad A=\sqrt{C_1^2+C_2^2},\quad \tan\varphi=\frac{C_2}{C_1}.$$

$A$ er amplituden (største utslag) og $\varphi$ fasen. Formen gjør det lett å lese av hvor stort utslaget er og når toppen inntreffer — sensor liker at du oppgir amplituden eksplisitt når oppgaven spør «hvor stort blir utslaget».

$$r=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}.$$

Fortegnet til diskriminanten $c^2-4mk$ bestemmer hvilket av de tre tilfellene fra kap. 9.1 som gjelder — og dermed om systemet svinger eller ikke. Uansett tilfelle går løsningen mot $0$ når $t\to\infty$ fordi realdelen av røttene er negativ: demping tar energi ut av systemet.

$$x(t)=C_1e^{r_1 t}+C_2e^{r_2 t}.$$

Ingen svingning: systemet kryper mot likevekt uten å passere den (høyst én gang). Eksempel: en dør med kraftig lukkemekanisme som glir sakte igjen uten å slå.

$$x(t)=(C_1+C_2 t)e^{rt}.$$

Dette er den raskeste måten å nå likevekt på uten å svinge — akkurat balansen der systemet er på grensen til å begynne å oscillere. Støtdempere i biler dimensjoneres nær kritisk demping.

$$x(t)=e^{-\frac{c}{2m}t}\big(C_1\cos\omega_d t+C_2\sin\omega_d t\big).$$

Systemet svinger, men med en amplitude $e^{-ct/2m}$ som avtar eksponentielt — en døende svingning. Dette er det vanligste virkelige tilfellet (et pendellodd i luft, en gitarstreng).

$$\omega_d=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^2}{4m^2}}=\frac{\sqrt{4mk-c^2}}{2m}.$$

Den er alltid mindre enn egenfrekvensen $\omega_0=\sqrt{k/m}$ — demping bremser svingningen litt. Når $c\to 0$ nærmer $\omega_d$ seg $\omega_0$. Kvasifrekvensen er imaginærdelen av de komplekse røttene.

$$m x''+c x'+k x=F_0\cos\omega t.$$

Den generelle løsningen er $x=x_h+x_p$. Med demping dør $x_h$ ut (transient), og systemet svinger til slutt med drivfrekvensen $\omega$ — ikke sin egen $\omega_0$. Denne varige delen $x_p$ finner du med ubestemte koeffisienter (ansats $A\cos\omega t+B\sin\omega t$).

Ved dempet tvungen svingning er den stasjonære løsningen partikulærløsningen $x_p=A\cos\omega t+B\sin\omega t$ — den delen som svinger videre i det lange løp, med drivfrekvensen $\omega$. Den er uavhengig av startbetingelsene: uansett hvordan du setter systemet i gang, ender det med samme stasjonære svingning.

Den transiente løsningen er den homogene delen $x_h$ ved dempet tvungen svingning. Fordi dempingen gir negativ realdel i røttene, gjelder $x_h\to 0$ når $t\to\infty$ — den «husker» startbetingelsene, men dør ut. Etter en innsvingningsfase står bare den stasjonære delen igjen. Skillet transient/stasjonær er den fysiske tolkningen av $y=y_h+y_p$.

Fysisk er resonans både nyttig (radiomottakere, musikkinstrumenter) og farlig (broer og bygninger som svinger seg i stykker). Med demping vokser amplituden ikke ubegrenset, men blir størst når $\omega\approx\omega_0$.

$$x_p=\frac{F_0}{2\omega_0}\,t\sin\omega_0 t.$$

Faktoren $t$ foran gjør at utslaget vokser lineært med tiden — svingningen blir stadig kraftigere. Dette er den matematiske signaturen på resonans: en $t$ (eller $t^2$) som ikke kan absorberes i den homogene løsningen.

$$L Q''+R Q'+\frac{1}{C}Q=E(t).$$

Her svarer $L$ til massen $m$, motstanden $R$ til dempingen $c$, $1/C$ til fjærstivheten $k$ og spenningskilden $E(t)$ til drivkraften $F(t)$. Egenfrekvensen er $\omega_0=1/\sqrt{LC}$. Alt du kan om mekanisk svingning gjelder derfor uendret for kretser — én matematikk, to fysiske drakter.

For en svingning $x(t)=A\cos(\omega t-\varphi)$ er vinkelfrekvensen $\omega$ (rad per tidsenhet), perioden $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ (tid per svingning) og frekvensen $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}$ (svingninger per tidsenhet). For fri udempet svingning er $\omega=\omega_0=\sqrt{k/m}$; for underkritisk dempet er $\omega=\omega_d$.

Skriver man svingningslikningen på normalisert form $x''+2\zeta\omega_0 x'+\omega_0^2 x=0$, er dempingsforholdet $\zeta=\dfrac{c}{2\sqrt{mk}}$ et dimensjonsløst mål på dempingen. De tre tilfellene svarer til: $\zeta>1$ overkritisk, $\zeta=1$ kritisk, $0<\zeta<1$ underkritisk. Verdien $\zeta=1$ er nøyaktig grensen $c^2=4mk$. Dempingsforholdet er en kompakt måte å oppgi «hvor dempet» et system er.