9.4 Drill: 2. ordens differensiallikninger

ODE-2-repertoaret drillet: karakteristisk likning (tre tilfeller) → ubestemte koeffisienter med resonanssjekk → initialverdi → svingningsmodell, den 82 %-sikre sjangeren til automatikk.

90 min

14 oppgaver

Drill2. ordens differensiallikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.3Variasjon av parametere og svingningsmodeller

Brukes videre i

9.PPrøver til del 9: Differensiallikninger av 2. orden

Dette er drillkapitlet for den 82 %-sikre sjangeren (sjanger L — 2. ordens ODE). Nesten hvert sett har en oppgave her, ofte verdt 10–15 %. Variantene som går igjen:

- Homogen $y''+py'+qy=0$ — de tre tilfellene (reelle ulike røtter, dobbel rot, komplekse røtter).
- Inhomogen med ubestemte koeffisienter — én ansats-type per høyreside ( $g$ polynom, eksponential, $\sin/\cos$ ).
- Resonans — den dokumenterte fella: ansatsen kolliderer med $y_h$ , så den må ganges med $x^s$ .
- Initialverdiproblem (IVP) — bestem konstantene, alltid ETTER at $y_p$ er lagt til.
- Svingningsmodell — samme matematikk i fysisk drakt.

Kode E: ingen hjelpemidler — de tre homogene formene, ansatstabellen og resonansregelen må sitte utenat. Alle svar begrunnes, svarene er eksakte ( $x e^{2x}$ , $\tfrac{t}{8}\sin 4t$ , aldri desimal). Målet med kapitlet er ren automatikk: kjenne igjen varianten og kjøre oppskriften uten å nøle.

Øktforslag (kapitlet er ~90 min): ta det gjerne i to økter — homogen + ansats-typene først (~45 min), resonans + IVP + svingning etterpå (~45 min).

Forkunnskaper — kapitlet driller stoffet fra hele Del 9:

- kap. 9.1 — homogen løsning og de tre tilfellene.
- kap. 9.2 — ubestemte koeffisienter og resonans.
- kap. 9.3 — variasjon av parametere og svingningsmodeller.

Sist du var her — nøkkelformlene du trenger:

- Karakteristisk likning: $r^2+pr+q=0$ . Tre tilfeller: reelle ulike $\Rightarrow C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ ; dobbel rot $r\Rightarrow (C_1+C_2x)e^{rx}$ ; komplekse $a\pm bi\Rightarrow e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\sin bx)$ .
- Generell løsning: $y=y_h+y_p$ .
- Resonansregel: gang ansatsen med $x^s$ , der $s$ er multiplisiteten til den kolliderende roten.
- Egenfrekvens: $\omega_0=\sqrt{k/m}$ ; resonans i udempet svingning når drivfrekvens $=\omega_0$ .

Løsningsoppskriften (algoritmen)

Enhver 2. ordens lineær likning med konstante koeffisienter løses med samme fem steg. Lær rekkefølgen utenat — den fjerner nesten alle fellene.

1. Homogen løsning $y_h$ : sett opp karakteristisk likning $r^2+pr+q=0$ , finn røttene, velg riktig av de tre tilfellene.
2. Ansats for $y_p$ : velg form etter høyresida $g(x)$ (polynom → polynom, $e^{\alpha x}\to Ae^{\alpha x}$ , $\cos/\sin\beta x\to A\cos\beta x+B\sin\beta x$ ).
3. Resonanssjekk: kolliderer ansatsen med et ledd i $y_h$ ? Gang hele ansatsen med $x^s$ , der $s$ er multiplisiteten til den kolliderende roten (1 for enkel rot, 2 for dobbel).
4. Bestem koeffisientene: sett ansatsen inn i likningen og løs for konstantene.
5. Sett sammen og bruk IVP: skriv $y=y_h+y_p$ . FØRST NÅ setter du inn initialbetingelsene og bestemmer $C_1,C_2$ .

Den vanligste tabben er å bytte om steg 3 og 5 (hoppe over resonans, eller bestemme $C_1,C_2$ før $y_p$ er lagt til). Oppskriften finnes som huskekort nederst i kapitlet.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: inhomogen med resonans + IVP (sjanger L)

Løs initialverdiproblemet $y''-3y'+2y=e^{2x}$ , $y(0)=0$ , $y'(0)=1$ .

Vi følger oppskriften steg for steg. Margnotatene i kursiv viser hva sensor gir uttelling for.

Steg 1 — homogen løsning. Karakteristisk likning $r^2-3r+2=0\Rightarrow (r-1)(r-2)=0$ , så $r_1=1,\ r_2=2$ (reelle ulike). Dermed
$y_h=C_1e^{x}+C_2e^{2x}.$
(Sensor: riktig faktorisering og riktig av de tre tilfellene — grunnpoenget.)

Steg 2 — ansats. Høyresida er $g=e^{2x}$ , som normalt gir ansatsen $Ae^{2x}$ .

Steg 3 — resonanssjekk. Men $e^{2x}$ er allerede en homogen løsning (roten $r=2$ )! Enkel rot ⇒ multiplisitet $s=1$ . Gang ansatsen med $x$ :
$y_p=Axe^{2x}.$
(Sensor: å oppdage resonansen og gange med $x$ er den dokumenterte skillelinjen — glemmer du dette, går hele oppgaven galt.)

Steg 4 — bestem $A$ . Deriver: $y_p'=Ae^{2x}+2Axe^{2x}=A(1+2x)e^{2x}$ , $y_p''=A(4+4x)e^{2x}$ . Sett inn:
$A(4+4x)e^{2x}-3A(1+2x)e^{2x}+2Axe^{2x}=e^{2x}.$
Samle koeffisientene til $e^{2x}$ : $A[(4+4x)-3(1+2x)+2x]=A[4+4x-3-6x+2x]=A[1]=A$ . Så $A=1$ og $y_p=xe^{2x}$ .
(Sensor: $x$ -leddene skal kansellere — gjør de ikke det, er ansatsen feil.)

Steg 5 — sett sammen og bruk IVP. Generell løsning:
$y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+xe^{2x}.$
Nå bruker vi initialbetingelsene. $y(0)=C_1+C_2=0$ . Deriver: $y'=C_1e^x+2C_2e^{2x}+e^{2x}+2xe^{2x}$ , så $y'(0)=C_1+2C_2+1=1\Rightarrow C_1+2C_2=0$ . Trekk fra: $C_2=0$ , $C_1=0$ . Dermed
$\boxed{y=xe^{2x}.}$
(Sensor: konstantene bestemmes ETTER at $y_p$ er lagt til — gjør du det på $y_h$ alene, blir svaret feil. Verbal konklusjon og innrammet sluttsvar gir full uttelling.)

Drilloppgaver

Alle på eksamensnivå, nyskrevne tall. Ett av hvert homogent tilfelle, én per ansats-type, flere med resonans, en svingningsmodell. Kjør oppskriften på hver — kjenn igjen varianten før du regner.

📝Oppgave 1

(Homogen, reelle ulike røtter.) Finn den generelle løsningen av $y''+y'-6y=0$ .

📝Oppgave 2

(Homogen, dobbel rot.) Finn den generelle løsningen av $y''+10y'+25y=0$ .

📝Oppgave 3

(Homogen, komplekse røtter + IVP.) Løs $y''-2y'+10y=0$ med $y(0)=0$ , $y'(0)=6$ .

📝Oppgave 4

(Homogen, reelle røtter + IVP.) Løs $y''+y'-6y=0$ med $y(0)=1$ , $y'(0)=0$ .

📝Oppgave 5

(Inhomogen, polynom-ansats.) Finn den generelle løsningen av $y''-y=x^2$ .

📝Oppgave 6

(Inhomogen, eksponential-ansats.) Finn den generelle løsningen av $y''-2y'-3y=e^{4x}$ .

📝Oppgave 7

(Inhomogen, trigonometrisk ansats.) Finn den generelle løsningen av $y''+4y=\sin x$ .

📝Oppgave 8

(Inhomogen med RESONANS, eksponential + IVP.) Løs $y''-4y'+3y=e^{x}$ med $y(0)=0$ , $y'(0)=0$ .

📝Oppgave 9

(Inhomogen med RESONANS, trigonometrisk + IVP.) Løs $y''+y=\sin x$ med $y(0)=0$ , $y'(0)=1$ .

📝Oppgave 10

(Inhomogen med DOBBEL resonans.) Finn en partikulær løsning av $y''-4y'+4y=e^{2x}$ .

📝Oppgave 11

(Sammensatt høyreside — superposisjon.) Finn den generelle løsningen av $y''+4y=8x+\cos x$ .

📝Oppgave 12

(Svingningsmodell — klassifisering + løsning.) En dempet fri svingning er gitt ved $x''+2x'+10x=0$ . Avgjør dempingstypen og finn den generelle løsningen.

📝Oppgave 13

(Svingningsmodell med RESONANS + IVP.) En udempet fjær-masse drives i takt med egenfrekvensen: $x''+16x=\cos 4t$ , $x(0)=0$ , $x'(0)=0$ .

a) Vis at det er resonans.

b) Finn $x(t)$ og beskriv amplitudeutviklingen.

📝Oppgave 14

(Full IVP, polynom-høyreside.) Løs $y''-y=x^2$ med $y(0)=0$ , $y'(0)=0$ .

Typiske feil

Hele fellekatalogen fra Del 9, samlet — dette er tabbene under tidspress:

- Glemt resonans-multiplikasjon. Sjekk ALLTID om ansatsen kolliderer med $y_h$ . Enkel rot ⇒ gang med $x$ ; dobbel rot ⇒ gang med $x^2$ . Dette er den hyppigst dokumenterte fella.
- Bestemt $C_1,C_2$ før $y_p$ er lagt til. Initialbetingelsene skal på HELE $y=y_h+y_p$ , aldri på $y_h$ alene.
- Feil homogen form. Dobbel rot uten $x$ -faktor; komplekse røtter skrevet som $e^{r_1x}+e^{r_2x}$ i stedet for $e^{ax}(\cos,\sin)$ .
- For kort ansats. For $\sin\beta x$ trengs BÅDE $A\cos\beta x$ og $B\sin\beta x$ ; for et grad-2 polynom trengs $ax^2+bx+c$ (alle ledd).
- Fortegnsfeil i karakteristisk likning. $y''-3y'+2y=0$ gir $r^2-3r+2=0$ , ikke $r^2+3r+2$ .
- Derivasjonsfeil ved produkt. $\tfrac{d}{dx}(xe^{2x})=e^{2x}+2xe^{2x}$ — bruk produktregelen, ikke bare $2xe^{2x}$ .

Huskekort til eksamen

De åtte kortene under er oppskriften destillert til utenat-form (kode E — intet formelark). De gjentar det du nettopp har drillet.

Kortene er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder drilloppgavene.

ODE-2-oppskriften (5 steg)

y''+py'+qy=g(x)

De tre homogene tilfellene

r^2+pr+q=0

Ansatstabellen (ubestemte koeffisienter)

y_p

Resonansregelen (

x^s

)

y_h

Rekkefølge:

y_p

før IVP

C_1,C_2

Karakteristisk likning

y''+py'+qy=0

Superposisjon for sammensatt

g

g=g_1+g_2

Svingningsmodell-gjenkjenning

mx''+cx'+kx=F(t)

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.