10.1 Systemet x′=Ax løst via egenverdier og egenvektorer

$$\mathbf x'=A\mathbf x,\qquad \mathbf x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\ \vdots\\ x_n(t)\end{bmatrix},\ \ A\in\mathbb R^{n\times n}.$$

Her er $\mathbf x'$ vektoren av de deriverte $(x_1',\dots,x_n')$, og $A$ er en konstant koeffisientmatrise. «Homogent» betyr at høyresida ikke har noe ekstra pådragsledd. Eksempel: $x_1'=x_1+2x_2,\ x_2'=2x_1+x_2$ svarer til $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}$.

En vektorfunksjon $\mathbf x(t)$ som oppfyller $\mathbf x'(t)=A\mathbf x(t)$ for alle $t$. Til forskjell fra én likning er svaret her et sett funksjoner $x_1(t),\dots,x_n(t)$ som beveger seg sammen. Du kontrollerer en foreslått løsning ved å derivere hver komponent og sjekke at $\mathbf x'=A\mathbf x$ stemmer komponentvis.

$$\mathbf x'=A\mathbf x\ \Longleftrightarrow\ P\mathbf y'=PDP^{-1}P\mathbf y\ \Longleftrightarrow\ \mathbf y'=D\mathbf y.$$

Men $D$ er diagonal, så $\mathbf y'=D\mathbf y$ er avkoblet: $y_1'=\lambda_1 y_1,\ \dots,\ y_n'=\lambda_n y_n$, hver med løsning $y_i=c_ie^{\lambda_i t}$. Egenvektorbasen «retter ut» systemet slik at komponentene ikke lenger snakker sammen.

$$\mathbf x=P\mathbf y=c_1e^{\lambda_1 t}\mathbf v_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}\mathbf v_n.$$

Dette er grunnen til at hver grunnløsning har formen $e^{\lambda_i t}\mathbf v_i$ — en egenverdi i eksponenten, dens egenvektor som retning. Du trenger sjelden å regne $P^{-1}$; poenget er innsikten i hvorfor løsningen ser slik ut.

$$\mathbf x(t)=e^{\lambda t}\mathbf v$$

en løsning av $\mathbf x'=A\mathbf x$. Sjekk: $\mathbf x'=\lambda e^{\lambda t}\mathbf v$ og $A\mathbf x=e^{\lambda t}A\mathbf v=e^{\lambda t}\lambda\mathbf v$ — like. Faktoren $e^{\lambda t}$ er en skalar (tallfunksjon) som strekker den faste retningen $\mathbf v$. Dette er systemets motstykke til $e^{rx}$ i kap. 9.1.

$$\mathbf x(t)=c_1e^{\lambda_1 t}\mathbf v_1+c_2e^{\lambda_2 t}\mathbf v_2+\cdots+c_ne^{\lambda_n t}\mathbf v_n.$$

Distinkte egenverdier garanterer at egenvektorene er lineært uavhengige (kap. 5.2), så disse $n$ grunnløsningene spenner ut alle løsninger. Konstantene $c_1,\dots,c_n$ er frie til en begynnelsesverdi fastsetter dem.

For det homogene systemet $\mathbf x'=A\mathbf x$ gjelder: er $\mathbf x_1$ og $\mathbf x_2$ begge løsninger, så er enhver kombinasjon $c_1\mathbf x_1+c_2\mathbf x_2$ også en løsning. Dette er grunnen til at vi kan legge grunnløsningene $e^{\lambda_i t}\mathbf v_i$ sammen. Prinsippet gjelder fordi $A$ er lineær: $A(c_1\mathbf x_1+c_2\mathbf x_2)=c_1A\mathbf x_1+c_2A\mathbf x_2$.

Et system $\mathbf x'=A\mathbf x$ med en gitt startvektor $\mathbf x(0)=\mathbf x_0$. Fremgangsmåte: finn først den generelle løsningen $\mathbf x(t)=\sum c_ie^{\lambda_i t}\mathbf v_i$, sett så $t=0$ (der $e^{\lambda_i\cdot0}=1$) og løs det lineære systemet for konstantene. Startvektoren i $\mathbb R^n$ gir nøyaktig $n$ likninger til de $n$ konstantene, med entydig løsning.

$$\mathbf x(0)=c_1\mathbf v_1+\cdots+c_n\mathbf v_n=\mathbf x_0.$$

Dette er et helt vanlig lineært likningssystem: egenvektorene er søylene i en matrise $P$, og du løser $P\mathbf c=\mathbf x_0$ for $\mathbf c=(c_1,\dots,c_n)$. Fordi egenvektorene er uavhengige, er $P$ inverterbar og løsningen entydig. Merk: eksponentialfaktorene forsvinner ved $t=0$ — glem dem ikke når $\mathbf x(0)$ ikke er i $t=0$.

$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}'=\begin{bmatrix}0&1\\-q&-p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}.$$

Den nederste raden inneholder $-q,-p$ fra likningen. Systemets egenverdier er nøyaktig røttene til den karakteristiske likningen $r^2+pr+q=0$ — de to metodene er samme matematikk.

Et sett $\{\mathbf x_1,\dots,\mathbf x_n\}$ av løsninger er et fundamentalt løsningssett hvis de er lineært uavhengige — da kan enhver løsning skrives entydig som $\mathbf x=c_1\mathbf x_1+\cdots+c_n\mathbf x_n$. For grunnløsningene $e^{\lambda_i t}\mathbf v_i$ arves uavhengigheten fra egenvektorene: distinkte egenverdier gir uavhengige $\mathbf v_i$, altså et fundamentalt sett. Dette er systemets versjon av «to uavhengige løsninger» fra kap. 9.1.

$$\Psi(t)=\begin{bmatrix}e^{3t}&e^{-t}\\ e^{3t}&-e^{-t}\end{bmatrix}.$$

Da er $\mathbf x(t)=\Psi(t)\mathbf c$, og begynnelsesverdien løses kompakt som $\mathbf c=\Psi(0)^{-1}\mathbf x_0$. Du trenger bare kjenne til navnet og at søylene er grunnløsninger — den fulle teorien (matriseeksponential) ligger utenfor kode E-pensum her.

Din eneste feilkontroll under kode E: sett en foreslått $\mathbf x(t)$ inn og bekreft $\mathbf x'=A\mathbf x$ komponentvis. For en grunnløsning $e^{\lambda t}\mathbf v$ er dette raskt: venstresida er $\lambda e^{\lambda t}\mathbf v$, høyresida $e^{\lambda t}A\mathbf v$, og de er like nettopp når $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$. Sjekk alltid minst én egenvektor: $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$.

En egenvektor $\mathbf v\ne\mathbf0$ til $A$ oppfyller $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ for et tall $\lambda$, egenverdien. Geometrisk peker $\mathbf v$ i en retning der $A$ bare skalerer (med faktor $\lambda$). Dette er den ene ingrediensen system-løsningen bygger på; finnes ved $\det(A-\lambda I)=0$ og radreduksjon (kap. 5.1).

Likningen som gir egenverdiene. For $2\times2$ er den $\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0$, der $\operatorname{tr}A$ er sporet (sum av diagonalen). Røttene er egenverdiene $\lambda_1,\lambda_2$. Er de reelle og ulike, er du i dette kapitlets tilfelle; er de komplekse, går du til kap. 10.2.

Mengden av alle egenvektorer til en gitt egenverdi $\lambda$ (pluss nullvektoren): $E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$. Ved distinkte egenverdier er hvert egenrom 1-dimensjonalt, så én egenvektor per egenverdi holder. Dimensjonen (geometrisk multiplisitet) avgjør om $A$ er diagonaliserbar (kap. 5.2).

At $A=PDP^{-1}$ er diagonaliserbar er hele grunnen til at metoden virker: substitusjonen $\mathbf x=P\mathbf y$ gjør systemet til $\mathbf y'=D\mathbf y$, som er avkoblet i uavhengige likninger $y_i'=\lambda_iy_i$. Distinkte egenverdier garanterer diagonaliserbarhet; er $A$ ikke diagonaliserbar, trengs generaliserte egenvektorer (utenfor pensum her).

Løsningsmengden til $\mathbf x'=A\mathbf x$ (med $A\in\mathbb R^{n\times n}$) er et vektorrom av dimensjon $n$: den spennes ut av $n$ uavhengige grunnløsninger og trenger $n$ frie konstanter $c_1,\dots,c_n$. Derfor gir en startvektor i $\mathbb R^n$ akkurat nok informasjon til å låse løsningen entydig.

En kompakt skrivemåte: løsningen av $\mathbf x'=A\mathbf x,\ \mathbf x(0)=\mathbf x_0$ kan skrives $\mathbf x(t)=e^{At}\mathbf x_0$, der $e^{At}$ defineres av samme rekke som den vanlige eksponentialfunksjonen. For diagonaliserbar $A$ er $e^{At}=Pe^{Dt}P^{-1}$ med $e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1 t},\dots)$. Du trenger bare kjenne til navnet — egenverdimetoden er den praktiske veien under kode E.

Punktet der $\mathbf x'=\mathbf 0$, altså der systemet står stille. For $\mathbf x'=A\mathbf x$ (med $A$ inverterbar) er origo $\mathbf x=\mathbf0$ det eneste likevektspunktet. Hvordan løsningene oppfører seg nær origo — trekkes inn, støtes ut, spiraler — er temaet for klassifisering i kap. 10.2.

Kurven som løsningen $\mathbf x(t)$ tegner i $x_1x_2$-planet når $t$ løper. Ved reelle egenverdier er banene rette linjer (langs egenvektorene) og kombinasjoner av dem. Samlingen av alle baner kalles faseportrettet og visualiserer systemets oppførsel; det studeres systematisk i kap. 10.2.