10.2 Komplekse egenverdier og faseportrett

$$\lambda=a\pm bi,\qquad a,b\in\mathbb R,\ b>0.$$

For en reell $2\times2$-matrise er dette tilfellet når $(\operatorname{tr}A)^2<4\det A$. Egenvektorene blir da også komplekse og konjugerte. Vi trenger bare den ene egenverdien $a+bi$ og dens egenvektor for å bygge hele den reelle løsningen.

Akkurat som i det reelle tilfellet er $\mathbf z(t)=e^{\lambda t}\mathbf w$ en (kompleks) løsning når $A\mathbf w=\lambda\mathbf w$, nå med $\lambda=a+bi$ og kompleks egenvektor $\mathbf w$. Denne $\mathbf z(t)$ er kompleksverdig og ikke svaret i seg selv — men real- og imaginærdelen er hver for seg reelle løsninger. Skriv $e^{(a+bi)t}=e^{at}e^{ibt}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)$ og gang inn $\mathbf w$.

Er $\mathbf z(t)=\mathbf u(t)+i\,\mathbf w(t)$ en kompleks løsning av det reelle systemet $\mathbf x'=A\mathbf x$, så løser både realdelen $\mathbf u(t)=\operatorname{Re}\mathbf z$ og imaginærdelen $\mathbf w(t)=\operatorname{Im}\mathbf z$ systemet — og de er lineært uavhengige. Grunnen: $\mathbf z'=A\mathbf z$ splittes i reell og imaginær del ($A$ er reell), som gir $\mathbf u'=A\mathbf u$ og $\mathbf w'=A\mathbf w$. Den generelle reelle løsningen er $\mathbf x=c_1\mathbf u+c_2\mathbf w$.

$$\mathbf x(t)=e^{at}\big(c_1\,\mathbf p(t)+c_2\,\mathbf q(t)\big),$$

der $\mathbf p(t)$ og $\mathbf q(t)$ er real- og imaginærdelen av $e^{ibt}\mathbf w$ (vektorer bygget av $\cos bt$ og $\sin bt$). I praksis: regn ut $e^{(a+bi)t}\mathbf w$, samle real- og imaginærdel, og la $c_1,c_2$ være de to frie konstantene. Faktoren $e^{at}$ er felles for begge.

Faktoren $e^{at}$ avgjør alt om langtidsatferden ved komplekse egenverdier $a\pm bi$:

- $a<0$: amplituden $e^{at}\to0$ — svingningen dempes, løsningen trekkes inn mot origo (asymptotisk stabil);
- $a=0$: konstant amplitude — udempet svingning, lukkede baner (marginalt stabil, et senter);
- $a>0$: amplituden $e^{at}\to\infty$ — svingningen vokser, løsningen støtes ut (ustabil).

Imaginærdelen $b$ endrer bare svingehastigheten, ikke stabiliteten. Ett fortegn — $a$ — bærer hele konklusjonen.

Bildet av løsningskurvene (fasebanene) til $\mathbf x'=A\mathbf x$ tegnet i $x_1x_2$-planet, med pilretning etter voksende $t$. Hver startvektor gir én bane; samlingen viser systemets kvalitative oppførsel. Du trenger ikke tegne nøyaktig — poenget på eksamen er å navngi mønsteret (node/sadel/senter/spiral) og angi stabilitet ut fra egenverdiene.

Et punkt der $\mathbf x'=\mathbf0$, altså der systemet står stille. For $\mathbf x'=A\mathbf x$ med inverterbar $A$ er origo $\mathbf x=\mathbf0$ det eneste likevektspunktet. Klassifiseringen beskriver hvordan nærliggende baner oppfører seg: trekkes de inn (stabil), støtes de ut (ustabil), eller går de i ring (marginal).

Oppstår ved to reelle egenverdier med samme fortegn. Banene går inn mot (eller ut fra) origo uten å svinge, langs egenvektorretningene.

- Begge $\lambda<0$: stabil node — alt trekkes inn mot origo.
- Begge $\lambda>0$: ustabil node — alt støtes ut fra origo.

Eksempel: $A=\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}$ ($\lambda=3,1>0$) er en ustabil node.

Oppstår ved to reelle egenverdier med motsatt fortegn ($\lambda_1<0<\lambda_2$). Langs egenvektoren til den negative egenverdien trekkes baner inn; langs den positive støtes de ut. Resultatet er en «sadel»-form, og punktet er alltid ustabilt (nesten alle baner ender med å forlate origo). Eksempel: $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}$ med $\lambda=3,-1$.

Oppstår ved rent imaginære egenverdier $\lambda=\pm bi$ (altså $a=0$). Banene er lukkede kurver (ellipser/sirkler) rundt origo — systemet svinger med konstant amplitude og kommer tilbake til utgangspunktet. Et senter er marginalt stabilt: verken inn eller ut. Eksempel: $A=\begin{bmatrix}0&-2\\2&0\end{bmatrix}$ med $\lambda=\pm2i$.

Oppstår ved komplekse egenverdier med reell del ulik null $\lambda=a\pm bi,\ a\ne0$. Banene spiraler rundt origo mens de nærmer seg eller fjerner seg.

- $a<0$: stabil spiral — spiraler inn mot origo.
- $a>0$: ustabil spiral — spiraler ut fra origo.

Svingningen kommer fra $b$, inn/ut-driften fra $a$. Eksempel: $\lambda=-1\pm2i$ gir en stabil spiral.

En samlebetegnelse på langtidsatferden ved origo:

- Asymptotisk stabil: alle løsninger $\to\mathbf0$ når $t\to\infty$ (alle egenverdier har $\operatorname{Re}\lambda<0$) — stabil node eller stabil spiral.
- Ustabil: minst én egenverdi har $\operatorname{Re}\lambda>0$ — ustabil node, ustabil spiral eller sadel.
- Marginalt stabil: rent imaginære egenverdier ($\operatorname{Re}\lambda=0$) — senter (baner blir værende, men går ikke mot $\mathbf0$).

Kortversjonen: se på fortegnet til realdelene.

For en reell matrise kommer komplekse egenverdier alltid i par $a\pm bi$, og egenvektorene er komplekst konjugerte $\mathbf w$ og $\overline{\mathbf w}$ (kap. 5.4). Derfor holder det å regne med den ene: den andre gir ingen ny reell informasjon. Dette er grunnen til at real/imaginærdel-trikset er tilstrekkelig.

Standardgrepet: velg $\lambda=a+bi$ (den med positiv imaginærdel), finn dens egenvektor $\mathbf w$, dann $e^{\lambda t}\mathbf w$, og trekk ut real- og imaginærdel. De to reelle vektorfunksjonene du får, spenner ut hele det (2-dimensjonale) reelle løsningsrommet. Den konjugerte $a-bi$ gir bare de samme to reelle løsningene om igjen.

Ved $\lambda=a\pm bi$ er $b$ kvasifrekvensen (hvor fort systemet svinger) og $a$ dempingsraten. Dette er nøyaktig den dempede svingningen fra kap. 9.3: en 2. ordens svingemodell $y''+cy'+ky=0$ omformet til system har komplekse egenverdier med samme $a,b$. Systemspråket og ODE-språket beskriver samme fenomen.

En node (to reelle egenverdier, samme fortegn) er stabil når begge $\lambda<0$ (alle baner inn mot origo) og ustabil når begge $\lambda>0$ (alle baner ut). Retningen langs den «raskeste» egenvektoren (størst $|\lambda|$) dominerer bevegelsen. Ingen svingning — banene bøyer, men roterer ikke rundt origo.

En spiral (komplekse egenverdier, $a\ne0$) er stabil når $a<0$ (spiraler inn) og ustabil når $a>0$ (spiraler ut). Omløpsretningen (med/mot klokka) bestemmes av fortegnene i $A$, men påvirker ikke stabiliteten — kun realdelen $a$ gjør det. Grensetilfellet $a=0$ er senteret.

For $2\times2$ kan typen leses direkte av spor $\tau=\operatorname{tr}A$ og determinant $\Delta=\det A$: $\det A<0$ ⇒ sadel; $\det A>0$ med $\tau^2>4\Delta$ ⇒ node (stabil hvis $\tau<0$); $\tau^2<4\Delta$ ⇒ spiral (stabil hvis $\tau<0$); $\tau=0,\ \Delta>0$ ⇒ senter. Nyttig hurtigsjekk, men på eksamen holder det å regne egenverdiene.

Har $A$ én dobbel reell egenverdi ($\tau^2=4\Delta$), er origo en degenerert (uekte) node — grensetilfellet mellom node og spiral. Løsningen kan da inneholde et $te^{\lambda t}$-ledd (generalisert egenvektor) hvis egenrommet er 1-dimensjonalt. Dette ligger på kanten av pensum; hovedtilfellene er de fire i løkke 3.