Tilbake
10.3
Alle fag for Høyskole

10.3 Drill: systemer av differensiallikninger

ODE-system-repertoaret drillet: egenverdier/egenvektorer → generell løsning → initialverdi → komplekst tilfelle → klassifisering, den 45 %-sjangeren til automatikk.

80 min
11 oppgaver
Drillsystemer av differensiallikninger
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper — dette er et rent treningskapittel og forutsetter:

- kap. 10.1 — reelle egenverdier: generell løsning, begynnelsesverdi, omforming fra 2. orden.
- kap. 10.2 — komplekse egenverdier: real/imaginærdel, klassifisering av likevekt.
- kap. 5.2–5.4 — egenverdier og diagonalisering (repeter ved behov).
- kap. 7.2 — Eulers formel (repeter ved behov).

Ingen ny teori — bare oppskriften kjørt igjen og igjen. Regn med rundt 80 minutter for hele settet; det kan trygt deles over flere økter.

Løsningsoppskriften for et system (algoritme)

Den faste rekkefølgen, utenat under kode E:

1. Egenverdier: løs det⁡(A−λI)=0\det(A-\lambda I)=0 (for 2×22\times2: λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A=0\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=0).
2. Velg spor: reelle distinkte ⇒ finn egenvektorer vi\mathbf v_i; komplekse a±bia\pm bi ⇒ finn egenvektor w\mathbf w til a+bia+bi.
3. Grunnløsninger: reelle ⇒ eλitvie^{\lambda_i t}\mathbf v_i; komplekse ⇒ Re⁡ eλtw\operatorname{Re}\,e^{\lambda t}\mathbf w og Im⁡ eλtw\operatorname{Im}\,e^{\lambda t}\mathbf w.
4. Generell løsning: kombiner med c1,c2c_1,c_2.
5. Begynnelsesverdi: sett t=0t=0 og løs for konstantene.
6. Klassifiser likevekten hvis oppgaven ber om det.

Alltid egenvektorer ved radreduksjon, aldri gjetning.

Gjennomregnet system-case (reelt + komplekst)

Ett eksempel som binder sammen begge tilfellene, med margnotater der uttelling vinnes eller tapes.

✏️Case, del 1: Reelt tilfelle med begynnelsesverdi (sjanger M)

Løs x′=[4−211]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}4&-2\\1&1\end{bmatrix}\mathbf x med x(0)=[32]\mathbf x(0)=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}.

Egenverdier. det⁡(A−λI)=λ2−5λ+6=(λ−2)(λ−3)\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3), så λ=2,3\lambda=2,3. (Margnotat: bruk λ2−(tr⁡A)λ+det⁡A\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A — spor 55, det 66 — som rask sjekk.)

Egenvektorer. λ=2\lambda=2: [2−21−1]→v1=v2\begin{bmatrix}2&-2\\1&-1\end{bmatrix}\to v_1=v_2, v1=(1,1)\mathbf v_1=(1,1). λ=3\lambda=3: [1−21−2]→v1=2v2\begin{bmatrix}1&-2\\1&-2\end{bmatrix}\to v_1=2v_2, v2=(2,1)\mathbf v_2=(2,1). (Margnotat: radreduser — ikke gjett; feil egenvektor rører hele svaret.)

Generell løsning. x=c1e2t(1,1)+c2e3t(2,1)\mathbf x=c_1e^{2t}(1,1)+c_2e^{3t}(2,1).

Begynnelsesverdi. Ved t=0t=0: c1(1,1)+c2(2,1)=(3,2)c_1(1,1)+c_2(2,1)=(3,2), altså c1+2c2=3c_1+2c_2=3 og c1+c2=2c_1+c_2=2. Trekk fra: c2=1c_2=1, c1=1c_1=1. (Margnotat: eksponentialene er 11 ved t=0t=0 — glem dem ikke.)

 x(t)=e2t[11]+e3t[21] \boxed{\ \mathbf x(t)=e^{2t}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+e^{3t}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\ }

Kontroll: x(0)=(1+2, 1+1)=(3,2)\mathbf x(0)=(1+2,\ 1+1)=(3,2) ✓.

✏️Case, del 2: Komplekst tilfelle + klassifisering (sjanger M)

Løs x′=[−1−22−1]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix}\mathbf x, og klassifiser likevektspunktet.

Egenverdier. (−1−λ)2+4=0⇒λ=−1±2i(-1-\lambda)^2+4=0\Rightarrow\lambda=-1\pm2i (a=−1, b=2a=-1,\ b=2). (Margnotat: negativ diskriminant ⇒ komplekst tilfelle — bytt til real/imaginærdel-sporet.)

Egenvektor (λ=−1+2i\lambda=-1+2i): [−2i−22−2i]→−2i w1−2w2=0⇒w2=−i w1\begin{bmatrix}-2i&-2\\2&-2i\end{bmatrix}\to -2i\,w_1-2w_2=0\Rightarrow w_2=-i\,w_1, w=(1,−i)\mathbf w=(1,-i).

Grunnløsning. e(−1+2i)t(1,−i)=e−t(cos⁡2t+isin⁡2t)(1,−i)e^{(-1+2i)t}(1,-i)=e^{-t}(\cos2t+i\sin2t)(1,-i). (Margnotat: bruk kun λ=−1+2i\lambda=-1+2i — ikke begge konjugerte.) Real- og imaginærdel:

Re⁡=e−t[cos⁡2tsin⁡2t],Im⁡=e−t[sin⁡2t−cos⁡2t].\operatorname{Re}=e^{-t}\begin{bmatrix}\cos2t\\ \sin2t\end{bmatrix},\qquad \operatorname{Im}=e^{-t}\begin{bmatrix}\sin2t\\ -\cos2t\end{bmatrix}.

Generell løsning.

x(t)=e−t(c1[cos⁡2tsin⁡2t]+c2[sin⁡2t−cos⁡2t]).\mathbf x(t)=e^{-t}\left(c_1\begin{bmatrix}\cos2t\\ \sin2t\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}\sin2t\\ -\cos2t\end{bmatrix}\right).

Klassifisering. Komplekse egenverdier med a=−1<0a=-1<0 ⇒ asymptotisk stabil spiral. (Margnotat: stabilitet fra fortegnet på realdelen — ett tegn bærer konklusjonen.)

Drilloppgaver — reelt og komplekst blandet

Kjenn igjen tilfellet selv (reelt/komplekst), kjør oppskriften, og klassifiser der det spørres.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — reelt, diagonalt.) Finn den generelle løsningen av x′=[200−3]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}2&0\\0&-3\end{bmatrix}\mathbf x.

📝Oppgave 2

(Reelt.) Finn den generelle løsningen av x′=[3102]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}\mathbf x.

📝Oppgave 3

(Reelt — begynnelsesverdi.) Løs x′=[2112]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\mathbf x med x(0)=[42]\mathbf x(0)=\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}.

📝Oppgave 4

(Komplekst — senter.) Finn den generelle reelle løsningen av x′=[0−410]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}0&-4\\1&0\end{bmatrix}\mathbf x, og klassifiser likevekten.

📝Oppgave 5

(Komplekst — spiral.) Finn den generelle reelle løsningen av x′=[3−223]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}3&-2\\2&3\end{bmatrix}\mathbf x, og klassifiser likevekten.

📝Oppgave 6

(Komplekst — begynnelsesverdi.) Løs x′=[−1−22−1]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}-1&-2\\2&-1\end{bmatrix}\mathbf x med x(0)=[10]\mathbf x(0)=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.

📝Oppgave 7

(Klassifisering — ren avlesning.) Klassifiser likevektspunktet x=0\mathbf x=\mathbf0 og angi stabilitet for hver

a) [−200−5]\begin{bmatrix}-2&0\\0&-5\end{bmatrix}
b) [2123]\begin{bmatrix}2&1\\2&3\end{bmatrix}
c) [0−110]\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}
d) [−1−41−1]\begin{bmatrix}-1&-4\\1&-1\end{bmatrix}.

📝Oppgave 8

(Omforming fra 2. orden.) Skriv y′′+4y=0y''+4y=0 som et system x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x med x1=y, x2=y′x_1=y,\ x_2=y', løs systemet, og hent y(t)y(t).

📝Oppgave 9

(Omforming fra 2. orden — reelle røtter.) Skriv y′′−y′−12y=0y''-y'-12y=0 som et system, finn egenverdiene og y(t)y(t).

📝Oppgave 10
Sjanger M

For x′=[1221]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}\mathbf x

a) finn den generelle løsningen
b) klassifiser likevekten
c) beskriv hva som skjer med x(t)\mathbf x(t) når t→∞t\to\infty for en typisk startvektor.

📝Oppgave 11

(Kald bank — momentliste-fasit, ingen mellomsteg gitt.) Løs x′=[1423]x\mathbf x'=\begin{bmatrix}1&4\\2&3\end{bmatrix}\mathbf x med x(0)=[14]\mathbf x(0)=\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}, og klassifiser likevekten.

Begrepsbank til eksamen

Oppskriftsstegene i kortform, klare for repetisjon.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Reelt tilfelle: grunnløsning

Ved reelle distinkte egenverdier er hver grunnløsning eλitvie^{\lambda_i t}\mathbf v_i, og den generelle løsningen er x=∑cieλitvi\mathbf x=\sum c_ie^{\lambda_i t}\mathbf v_i. Egenverdien i eksponenten, egenvektoren som retning. Konstantene bestemmes fra x(0)\mathbf x(0).

Komplekst tilfelle: real/imaginærdel

Ved komplekse egenverdier a±bia\pm bi: bruk kun λ=a+bi\lambda=a+bi med egenvektor w\mathbf w, dann eλtw=eat(cos⁡bt+isin⁡bt)we^{\lambda t}\mathbf w=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)\mathbf w, og la Re⁡\operatorname{Re} og Im⁡\operatorname{Im} være de to reelle grunnløsningene. Generell løsning x=c1Re⁡+c2Im⁡\mathbf x=c_1\operatorname{Re}+c_2\operatorname{Im}.

Begynnelsesverdi: cic_i-systemet

Sett t=0t=0 i den generelle løsningen. Eksponentialene blir 11, og du står igjen med et lineært system c1v1+c2v2=x0c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2=\mathbf x_0 (reelt) eller tilsvarende med real/imaginær-vektorene ved t=0t=0. Løs for c1,c2c_1,c_2 — alltid etter at den generelle løsningen er komplett.

Klassifiseringstabellen

Fra egenverdiene alene: reelle samme fortegn = node (stabil hvis <0<0, ustabil hvis >0>0); reelle motsatt fortegn = sadel (ustabil); rent imaginære ±bi\pm bi = senter (marginal); komplekse a±bi, a≠0a\pm bi,\ a\ne0 = spiral (stabil hvis a<0a<0). Én tabell dekker alle 2×22\times2-tilfeller.

Omforming fra 2. ordens likning
y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0 blir systemet x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x med x=(y,y′)\mathbf x=(y,y') og følgematrise A=[01−q−p]A=\begin{bmatrix}0&1\\-q&-p\end{bmatrix}. Systemets egenverdier er røttene til r2+pr+q=0r^2+pr+q=0, og y=x1y=x_1 i sluttsvaret. Broen mellom Del 9 og Del 10.
Stabilitet fra realdelen

Origo er asymptotisk stabil hvis alle egenverdier har negativ realdel, ustabil hvis noen har positiv realdel, og marginalt stabil ved rent imaginære egenverdier. Kortsjekk: se på fortegnet til Re⁡λ\operatorname{Re}\lambda (for reelle egenverdier er dette bare fortegnet til λ\lambda).

Kontroll ved innsetting

Din eneste feilsjekk under kode E: verifiser Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v for hver egenvektor, og at x(0)\mathbf x(0) treffer startvektoren. For en komplett løsning kan du sette x(t)\mathbf x(t) inn og bekrefte x′=Ax\mathbf x'=A\mathbf x komponentvis. Billig forsikring mot fortegns- og egenvektorfeil.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.