Tilbake
4.2
Alle fag for Høyskole

4.2 Kjerne, bilde og matriserepresentasjon i baser

Kjerne (ker T = Nul A) og bilde (im T = Col A), injektiv/surjektiv via rang, dimensjonsteoremet for transformasjoner, og matrisen [T]_B til en avbildning på et abstrakt rom (særlig derivasjonsoperatoren T(p)=p′).

55 min
9 oppgaver
Kjernebildematriserepresentasjon i baser
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 4.1 — standardmatrisen A=[T]A=[T], som alt her bygger rett på.
- Kap. 3.3 — Col⁡A\operatorname{Col}A/Nul⁡A\operatorname{Nul}A/rang: kjerne og bilde er nettopp disse to underrommene.
- Kap. 3.4 — koordinater og basisskifte, som matriserepresentasjonen [T]B[T]_{\mathcal B} hviler på.
- Derivasjon — å derivere polynomer, for derivasjonsoperatoren.

Sist du var her (nøkkelformler):
- Nul⁡A={x:Ax=0}\operatorname{Nul}A=\{\mathbf x:A\mathbf x=\mathbf 0\} (spesielle løsninger, én per fri variabel).
- Col⁡A=\operatorname{Col}A= utspennet av kolonnene; basis = de opprinnelige pivotkolonnene.
- Koordinatvektor: [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B} = koeffisientene i x=∑cibi\mathbf x=\sum c_i\mathbf b_i.

Hvorfor kjerne og bilde?

To spørsmål avgjør hva en lineær avbildning TT egentlig gjør: Hva forsvinner? og Hva kan komme ut? Vektorene som sendes til 0\mathbf 0 utgjør kjernen — den måler hvor mye informasjon TT mister. Vektorene som faktisk oppnås utgjør bildet — det måler hvor stort «utfallsrommet» er. Sammen forteller de om TT er én-til-én, om den treffer alt, og henger sammen gjennom dimensjonsteoremet.

Det fine er at begge er gamle kjenninger: kjerne = Nul⁡[T]\operatorname{Nul}[T], bilde = Col⁡[T]\operatorname{Col}[T]. Kapitlet har tre løkker: (1) kjerne og bilde, (2) injektiv/surjektiv og dimensjonsteoremet, og (3) matriserepresentasjonen [T]B[T]_{\mathcal B} på abstrakte rom.

Løkke 1 — Kjerne og bilde (~18 min)

Kjerne ker⁡T\ker T
Kjernen til en lineær transformasjon T:V→WT:V\to W er mengden av alle vektorer som avbildes på nullvektoren:
ker⁡T={x∈V: T(x)=0}.\ker T=\{\mathbf x\in V:\ T(\mathbf x)=\mathbf 0\}.
Den sier hva TT «visker ut». Kjernen er alltid et underrom av domenet VV: den inneholder 0\mathbf 0 (siden T(0)=0T(\mathbf 0)=\mathbf 0), og er lukket under addisjon og skalering fordi TT er lineær.
Bilde im⁡T\operatorname{im}T (range)
Bildet (eng. range) til T:V→WT:V\to W er mengden av alle vektorer som faktisk oppnås:
im⁡T={T(x): x∈V}⊆W.\operatorname{im}T=\{T(\mathbf x):\ \mathbf x\in V\}\subseteq W.
Det er «alt som kan komme ut av maskinen». Bildet er alltid et underrom av kodomenet WW. Kjernen bor altså i domenet, bildet i kodomenet — ikke bland dem.
Kjerne og bilde via standardmatrisen
For T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m med standardmatrise A=[T]A=[T] er de to underrommene identiske med matriseunderrommene fra kap. 3.3:
ker⁡T=Nul⁡A,im⁡T=Col⁡A.\ker T=\operatorname{Nul}A,\qquad \operatorname{im}T=\operatorname{Col}A.
Derfor er hele regningen kjent: radreduser AA, les Nul⁡A\operatorname{Nul}A fra de frie variablene (spesielle løsninger) og Col⁡A\operatorname{Col}A-basis fra de opprinnelige pivotkolonnene. Ingen ny teknikk — bare nye navn på gamle underrom.
✏️Eksempel 1: Kjerne og bilde fra standardmatrisen

La T:R3→R3T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 ha standardmatrise A=[121243122]A=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&3\\1&2&2\end{bmatrix}. Finn en basis for ker⁡T\ker T og for im⁡T\operatorname{im}T, og oppgi dimensjonene.

Radreduser AA: R2→R2−2R1=(0,0,1)R_2\to R_2-2R_1=(0,0,1), R3→R3−R1=(0,0,1)R_3\to R_3-R_1=(0,0,1), så R3→R3−R2=0R_3\to R_3-R_2=0 og R1→R1−R2R_1\to R_1-R_2:
RREF=[120001000].\text{RREF}=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}.
Pivoter i kolonne 1,31,3, fri variabel x2x_2.

Kjerne =Nul⁡A=\operatorname{Nul}A: radene gir x1=−2x2x_1=-2x_2, x3=0x_3=0. Spesiell løsning (−2,1,0)(-2,1,0). Så ker⁡T=Span⁡{(−2,1,0)}\ker T=\operatorname{Span}\{(-2,1,0)\}, dim⁡ker⁡T=1\dim\ker T=1.

Bilde =Col⁡A=\operatorname{Col}A: basis = de opprinnelige pivotkolonnene 1,31,3: {(1,2,1), (1,3,2)}\{(1,2,1),\ (1,3,2)\}, dim⁡im⁡T=2\dim\operatorname{im}T=2.

Kontroll (dimensjonsteoremet): dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=1+2=3=dim⁡R3\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=1+2=3=\dim\mathbb R^3 ✓.

📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse.) La T:R2→R2T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 ha standardmatrise A=[1000]A=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} (projeksjon på xx-aksen). Beskriv ker⁡T\ker T og im⁡T\operatorname{im}T i ord.

📝Oppgave 2
Sjanger F

La T:R3→R3T:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 ha standardmatrise A=[112213325]A=\begin{bmatrix}1&1&2\\2&1&3\\3&2&5\end{bmatrix}. Finn en basis for ker⁡T\ker T og im⁡T\operatorname{im}T, og kontroller dimensjonsteoremet.

Løkke 2 — Injektiv, surjektiv og dimensjonsteoremet (~19 min)

Injektiv (én-til-én)
TT er injektiv (én-til-én) hvis ingen to ulike vektorer får samme bilde: T(u)=T(v)⇒u=vT(\mathbf u)=T(\mathbf v)\Rightarrow\mathbf u=\mathbf v. For lineære avbildninger er dette ekvivalent med et enkelt kriterium:
T injektiv ⟺ ker⁡T={0}.T\text{ injektiv}\ \Longleftrightarrow\ \ker T=\{\mathbf 0\}.
Dvs. bare nullvektoren viskes ut. Grunnen: er T(u)=T(v)T(\mathbf u)=T(\mathbf v), gir linearitet T(u−v)=0T(\mathbf u-\mathbf v)=\mathbf 0, så u−v∈ker⁡T\mathbf u-\mathbf v\in\ker T; er kjernen triviell, må u=v\mathbf u=\mathbf v.
Surjektiv (på)
T:V→WT:V\to W er surjektiv (på) hvis alt i kodomenet oppnås, altså im⁡T=W\operatorname{im}T=W. For T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m betyr det
T surjektiv ⟺ rang⁡A=m (dim⁡Col⁡A=dim⁡W).T\text{ surjektiv}\ \Longleftrightarrow\ \operatorname{rang}A=m\ (\dim\operatorname{Col}A=\dim W).
Bildet må fylle hele kodomenet. En TT som er både injektiv og surjektiv kalles bijektiv — da er den en isomorfi og har en invers.
📜Dimensjonsteoremet for transformasjoner (rang + nullitet)
For en lineær T:V→WT:V\to W med dim⁡V=n\dim V=n gjelder
dim⁡ker⁡T⏟nullitet+dim⁡im⁡T⏟rang=dim⁡V=n.\underbrace{\dim\ker T}_{\text{nullitet}}+\underbrace{\dim\operatorname{im}T}_{\text{rang}}=\dim V=n.
Med standardmatrise A=[T]A=[T] er dette nøyaktig dim⁡Nul⁡A+rang⁡A=n\dim\operatorname{Nul}A+\operatorname{rang}A=n fra kap. 3.3. Bruk: kjenner du domenets dimensjon og én av rang/nullitet, får du den andre gratis — og du kan lese av injektiv/surjektiv uten mer regning. Navngi teoremet i besvarelsen; sensor forventer det.
✏️Eksempel 2: Injektiv eller surjektiv?

Avgjør om T:R2→R3T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 med standardmatrise A=[102101]A=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\\0&1\end{bmatrix} er injektiv og/eller surjektiv.

Radreduser: R2→R2−2R1=(0,1)R_2\to R_2-2R_1=(0,1), deretter R3→R3−R2=(0,0)R_3\to R_3-R_2=(0,0):
RREF=[100100].\text{RREF}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{bmatrix}.
Begge kolonner har pivot ⇒ rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2, ingen frie variabler.

Injektiv? dim⁡Nul⁡A=0\dim\operatorname{Nul}A=0, så ker⁡T={0}\ker T=\{\mathbf 0\} — ja, injektiv.

Surjektiv? Kodomenet er R3\mathbb R^3 (m=3m=3), men rang⁡A=2<3\operatorname{rang}A=2<3 — nei, ikke surjektiv. Bildet er et 22-dimensjonalt plan i R3\mathbb R^3.

Dimensjonsteoremet bekrefter: dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=0+2=2=dim⁡R2\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=0+2=2=\dim\mathbb R^2 ✓. (En avbildning fra et mindre rom til et større kan aldri være surjektiv.)

📝Oppgave 3
Sjanger F

La T:R3→R2T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 ha standardmatrise A=[101011]A=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}. Avgjør om TT er injektiv og/eller surjektiv, og bruk dimensjonsteoremet.

📝Oppgave 4
Sjanger F

En lineær T:R5→R3T:\mathbb R^5\to\mathbb R^3 har dim⁡im⁡T=3\dim\operatorname{im}T=3. Er TT surjektiv? Injektiv? Finn dim⁡ker⁡T\dim\ker T.

Løkke 3 — Matriserepresentasjon [T]B[T]_{\mathcal B} og derivasjonsoperatoren (~18 min)

Matriserepresentasjon [T]B[T]_{\mathcal B}
På et abstrakt rom (polynomer, matriser) finnes ingen «standardmatrise» direkte — men velger du en ordnet basis B\mathcal B, kan T:V→VT:V\to V representeres av en vanlig matrise som virker på koordinatvektorer:
[Tx]B=[T]B [x]B.[T\mathbf x]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal B}\,[\mathbf x]_{\mathcal B}.
Matrisen [T]B[T]_{\mathcal B} oversetter altså problemet til vanlig Rn\mathbb R^n-regning: ta koordinater inn, gang med [T]B[T]_{\mathcal B}, få koordinatene til bildet ut. Slik blir en operator på polynomer til en tallmatrise.
Kolonnene i [T]B[T]_{\mathcal B}
Kolonne jj i [T]B[T]_{\mathcal B} er B\mathcal B-koordinatene til bildet av den jj-te basisvektoren:
[T]B=[ [T(b1)]B  [T(b2)]B  ⋯  [T(bn)]B ].[T]_{\mathcal B}=\big[\,[T(\mathbf b_1)]_{\mathcal B}\ \ [T(\mathbf b_2)]_{\mathcal B}\ \ \cdots\ \ [T(\mathbf b_n)]_{\mathcal B}\,\big].
Oppskriften: (1) avbild hver basisvektor bj\mathbf b_j, (2) uttrykk resultatet i basisen B\mathcal B (finn koordinatene), (3) sett koordinatene inn som kolonne jj. Den store fellen er å glemme steg (2) — kolonnene må være i B\mathcal B-koordinater, ikke råverdiene.
Derivasjonsoperatoren T(p)=p′T(p)=p'

På polynomrommet P⁡n\operatorname{P}_n er derivasjon en lineær operator: T(p)=p′T(p)=p', med T(p+q)=p′+q′T(p+q)=p'+q' og T(cp)=cp′T(cp)=cp'. Den senker graden med 11. Med standardbasisen B={1,t,t2,…,tn}\mathcal B=\{1,t,t^2,\dots,t^n\} deriveres byggeklossene enkelt: T(1)=0T(1)=0, T(t)=1T(t)=1, T(t2)=2tT(t^2)=2t, T(t3)=3t2,…T(t^3)=3t^2,\dots — nettopp det du trenger for å bygge [T]B[T]_{\mathcal B} kolonne for kolonne.

✏️Eksempel 3: Derivasjonsoperatoren på $\operatorname{P}_2$

La T:P⁡2→P⁡2T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2, T(p)=p′T(p)=p', med basis B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\}. Finn [T]B[T]_{\mathcal B}, ker⁡T\ker T og im⁡T\operatorname{im}T.

Bygg [T]B[T]_{\mathcal B} kolonne for kolonne. Deriver hver basisvektor og les koordinatene relativt {1,t,t2}\{1,t,t^2\}:
T(1)=0⇒[0]B=(0,0,0),T(t)=1⇒[1]B=(1,0,0),T(t2)=2t⇒[2t]B=(0,2,0).T(1)=0\Rightarrow[0]_{\mathcal B}=(0,0,0),\quad T(t)=1\Rightarrow[1]_{\mathcal B}=(1,0,0),\quad T(t^2)=2t\Rightarrow[2t]_{\mathcal B}=(0,2,0).
Stabl som kolonner:
[T]B=[010002000].[T]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{bmatrix}.

Kjerne. Nul⁡[T]B\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal B}: [T]Bc=0[T]_{\mathcal B}\mathbf c=\mathbf 0 gir c2=0c_2=0, c3=0c_3=0, mens c1c_1 er fri — spesiell løsning (1,0,0)(1,0,0). Oversett tilbake til polynom: koordinaten (1,0,0)(1,0,0) er polynomet 11. Så ker⁡T=Span⁡{1}\ker T=\operatorname{Span}\{1\} = konstantpolynomene (de med p′=0p'=0), dim⁡ker⁡T=1\dim\ker T=1.

Bilde. Col⁡[T]B\operatorname{Col}[T]_{\mathcal B}: pivotkolonner 2,32,3 gir koordinatbasis (1,0,0),(0,2,0)(1,0,0),(0,2,0), altså polynomene 11 og 2t2t. Så im⁡T=Span⁡{1,t}=P⁡1\operatorname{im}T=\operatorname{Span}\{1,t\}=\operatorname{P}_1 (alle polynomer av grad ≤1\le1), dim⁡im⁡T=2\dim\operatorname{im}T=2.

Dimensjonsteoremet: dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=1+2=3=dim⁡P⁡2\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=1+2=3=\dim\operatorname{P}_2 ✓. Merk siste steg: svaret er gitt som polynomer, ikke som koordinatvektorer i R3\mathbb R^3.

📝Oppgave 5
Sjanger F

La T:P⁡2→P⁡2T:\operatorname{P}_2\to\operatorname{P}_2 være gitt ved T(p)=p′+pT(p)=p'+p (derivert pluss polynomet selv), med B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\}. Finn [T]B[T]_{\mathcal B}.

📝Oppgave 6
Sjanger F på…

La T:P⁡3→P⁡3T:\operatorname{P}_3\to\operatorname{P}_3, T(p)=p′T(p)=p', med B={1,t,t2,t3}\mathcal B=\{1,t,t^2,t^3\}.

a) Finn [T]B[T]_{\mathcal B}.

b) Finn ker⁡T\ker T og im⁡T\operatorname{im}T som polynomrom, og oppgi dimensjonene.

c) Er TT injektiv? Surjektiv? Bruk dimensjonsteoremet.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene om kjerne, bilde og matriserepresentasjon, samlet for pugging (kode E).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Kjernen er et underrom
ker⁡T={x:T(x)=0}\ker T=\{\mathbf x:T(\mathbf x)=\mathbf 0\} er alltid et underrom av domenet: den inneholder 0\mathbf 0, og er lukket under addisjon og skalering fordi TT er lineær (T(u+v)=0+0=0T(\mathbf u+\mathbf v)=\mathbf 0+\mathbf 0=\mathbf 0). Med standardmatrise er ker⁡T=Nul⁡[T]\ker T=\operatorname{Nul}[T].
Bildet er et underrom
im⁡T={T(x):x∈V}\operatorname{im}T=\{T(\mathbf x):\mathbf x\in V\} er alltid et underrom av kodomenet. Med standardmatrise er im⁡T=Col⁡[T]\operatorname{im}T=\operatorname{Col}[T], og en basis hentes fra de opprinnelige pivotkolonnene. dim⁡im⁡T=rang⁡[T]\dim\operatorname{im}T=\operatorname{rang}[T].
Injektiv ⇔ ker⁡T={0}\ker T=\{\mathbf 0\}

For en lineær TT er injektiv (én-til-én) ekvivalent med triviell kjerne: ker⁡T={0}\ker T=\{\mathbf 0\}. Med standardmatrise: ingen frie variabler, altså Nul⁡[T]={0}\operatorname{Nul}[T]=\{\mathbf 0\} og alle kolonner har pivot. En avbildning fra et større til et mindre rom kan aldri være injektiv.

Surjektiv ⇔ rang = dim kodomene
T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m er surjektiv (på) hviss im⁡T=Rm\operatorname{im}T=\mathbb R^m, dvs. rang⁡[T]=m\operatorname{rang}[T]=m (pivot i hver rad). En avbildning fra et mindre til et større rom kan aldri være surjektiv.
Bijektiv / isomorfi
TT er bijektiv når den er både injektiv og surjektiv; da er den en isomorfi og har en invers T−1T^{-1}. For T:V→VT:V\to V (samme dimensjon) er injektiv, surjektiv og bijektiv ekvivalente — det ene medfører de andre via dimensjonsteoremet.
Rang og nullitet til TT
Rangen til TT er dim⁡im⁡T\dim\operatorname{im}T; nulliteten er dim⁡ker⁡T\dim\ker T. Dimensjonsteoremet knytter dem: nullitet+rang=dim⁡V\text{nullitet}+\text{rang}=\dim V. Med standardmatrise: nullitet = antall frie variabler, rang = antall pivoter.
Dimensjonsteoremet (rang + nullitet)
dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=dim⁡V\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=\dim V. Kjenner du domenets dimensjon og én av de to, får du den andre gratis. Teoremet er identisk med dim⁡Nul⁡A+rang⁡A=n\dim\operatorname{Nul}A+\operatorname{rang}A=n for standardmatrisen — navngi det i eksamensbesvarelsen.
[Tx]B=[T]B[x]B[T\mathbf x]_{\mathcal B}=[T]_{\mathcal B}[\mathbf x]_{\mathcal B}

Matriserepresentasjonen virker på koordinatvektorer: for å finne bildet av x\mathbf x, ta koordinatene [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B}, gang med [T]B[T]_{\mathcal B}, og du får [Tx]B[T\mathbf x]_{\mathcal B}. Oversett så tilbake til original form. Dette gjør en operator på polynomer til vanlig matriseregning.

Kolonnene i [T]B[T]_{\mathcal B} (i B\mathcal B-koordinater)

Kolonne jj er [T(bj)]B[T(\mathbf b_j)]_{\mathcal B} — avbild basisvektor bj\mathbf b_j, uttrykk resultatet i basisen B\mathcal B, sett koordinatene inn. Den vanligste fellen er å glemme å oversette til B\mathcal B-koordinater.

Kjernen til derivasjon = konstantene

For T(p)=p′T(p)=p' på P⁡n\operatorname{P}_n er ker⁡T\ker T polynomene med p′=0p'=0, altså konstantpolynomene Span⁡{1}\operatorname{Span}\{1\}, dim⁡ker⁡T=1\dim\ker T=1. Derfor er derivasjon aldri injektiv på P⁡n\operatorname{P}_n — konstantleddet viskes alltid ut.

Bildet til derivasjon på P⁡n\operatorname{P}_n
T(p)=p′T(p)=p' senker graden med 11, så im⁡T=P⁡n−1\operatorname{im}T=\operatorname{P}_{n-1} (alle polynomer av grad ≤n−1\le n-1), dim⁡im⁡T=n\dim\operatorname{im}T=n. Derivasjon treffer aldri et grad-nn-ledd, så den er ikke surjektiv på P⁡n\operatorname{P}_n. Kontroll: dim⁡ker⁡T+dim⁡im⁡T=1+n=n+1=dim⁡P⁡n\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=1+n=n+1=\dim\operatorname{P}_n.
Oversette ker⁡T\ker T tilbake til polynomer

Har du regnet Nul⁡[T]B\operatorname{Nul}[T]_{\mathcal B} og fått en koordinatvektor (c1,…,cn)(c_1,\dots,c_n), er det tilhørende objektet polynomet c1b1+⋯+cnbnc_1\mathbf b_1+\dots+c_n\mathbf b_n. Sensor vil ha ker⁡T\ker T og im⁡T\operatorname{im}T uttrykt som funksjoner/polynomer, ikke som koordinatlister i Rn\mathbb R^n.

Formkrav: nn mot mm for T:Rn→RmT:\mathbb R^n\to\mathbb R^m

Dimensjonene setter grenser: er n>mn>m (større til mindre), kan TT aldri være injektiv (dim⁡ker⁡T≥n−m>0\dim\ker T\ge n-m>0). Er n<mn<m (mindre til større), kan TT aldri være surjektiv (rang⁡≤n<m\operatorname{rang}\le n<m). Bare når n=mn=m kan TT være bijektiv — og da er injektiv, surjektiv og bijektiv ekvivalente.

Kjernen og entydig løsning

Løsningsmengden til T(x)=bT(\mathbf x)=\mathbf b (om den er ikke-tom) er xp+ker⁡T\mathbf x_p+\ker T: én partikulær løsning pluss hele kjernen. Er ker⁡T={0}\ker T=\{\mathbf 0\} (injektiv), er løsningen entydig. Kjernen måler altså «hvor mye frihet» en løsning har.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.