Tilbake
3.4
Alle fag for Høyskole

3.4 Koordinater relativt en basis og basisskifte

Koordinatvektoren [x]_B relativt en basis, koordinatavbildningen som isomorfi til ℝⁿ, og basisskiftematrisen P_{C←B} som gjør abstrakte problemer (polynomer) til vanlig matriseregning.

55 min
9 oppgaver
Koordinater relativt en basisbasisskifte
Din fremgang i kapitlet
0 / 9 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 3.2 — basis og dimensjon, særlig entydig fremstilling i en basis.
- Kap. 3.3 — Col⁡A\operatorname{Col}A/Nul⁡A\operatorname{Nul}A/rang fra radreduksjon.
- Kap. 1.1 — radreduksjon av lineære system: selve regnemotoren.

Kan du finne koeffisientene i en lineærkombinasjon ved å løse et system, har du kjernen.

Hvorfor koordinater?

Et punkt på et kart trenger ikke være «tall» i seg selv — men så snart du legger ned et rutenett, får hvert punkt to tall: kolonne og rad. Koordinater gjør det samme for et hvilket som helst vektorrom: velger du en basis, får hver vektor en entydig liste med tall relativt den basisen. Da kan et polynom som 3−2t+t23-2t+t^2 behandles som den helt vanlige vektoren (3,−2,1)(3,-2,1) — og alt du kan i Rn\mathbb R^n virker plutselig i polynomrommet.

Kapitlet har tre løkker: (1) koordinatvektoren [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B}, (2) koordinatavbildningen som en «oversetter» til Rn\mathbb R^n, og (3) basisskiftematrisen som oversetter mellom to baser.

Løkke 1 — Koordinatvektoren (~18 min)

Koordinatvektor [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B}
La B={b1,…,bn}\mathcal B=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\} være en ordnet basis for VV. Fordi en basis gir en entydig fremstilling, kan enhver x∈V\mathbf x\in V skrives på nøyaktig én måte som
x=c1b1+c2b2+⋯+cnbn.\mathbf x=c_1\mathbf b_1+c_2\mathbf b_2+\dots+c_n\mathbf b_n.
Koordinatvektoren til x\mathbf x relativt B\mathcal B er listen av disse koeffisientene:
[x]B=[c1c2⋮cn]∈Rn.[\mathbf x]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}\in\mathbb R^n.
Den forteller «hvor mye av hver basisvektor» du trenger. Rekkefølgen følger basisens rekkefølge — derfor må basisen være ordnet.
Entydigheten av koordinatene

Koordinatvektoren er veldefinert nettopp fordi B\mathcal B er en basis: uavhengigheten gjør at x=c1b1+⋯+cnbn\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\dots+c_n\mathbf b_n har bare ett sett koeffisienter. Hadde to ulike sett gitt samme x\mathbf x, ville differansen vært en ikke-triviell relasjon mellom basisvektorene — umulig for en uavhengig mengde. Derfor gir hver vektor nøyaktig én koordinatvektor, og omvendt.

✏️Eksempel 1: Koordinater relativt standardbasisen for $\operatorname{P}_2$

La B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\} (standardbasisen for P⁡2\operatorname{P}_2). Finn [ 5−3t+2t2 ]B[\,5-3t+2t^2\,]_{\mathcal B}.

Skriv polynomet som en kombinasjon av basisvektorene: 5−3t+2t2=5⋅1+(−3)⋅t+2⋅t25-3t+2t^2=5\cdot1+(-3)\cdot t+2\cdot t^2. Koeffisientene er 5,−3,25,-3,2, så
[ 5−3t+2t2 ]B=[5−32].[\,5-3t+2t^2\,]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}5\\-3\\2\end{bmatrix}.
Relativt standardbasisen er koordinatene rett og slett koeffisientene — les dem av i rekkefølgen 1,t,t21,t,t^2.
📝Oppgave 1

(Ren gjengivelse.) La B={1,t,t2,t3}\mathcal B=\{1,t,t^2,t^3\} i P⁡3\operatorname{P}_3. Finn [ 2−t+4t3 ]B[\,2-t+4t^3\,]_{\mathcal B}.

Koordinater relativt en ikke-standard basis (løs et system)
Er basisen B\mathcal B ikke standardbasisen, må du regne. I Rn\mathbb R^n: sett basisvektorene som kolonner i en matrise B=[b1 ⋯ bn]B=[\mathbf b_1\ \cdots\ \mathbf b_n]; da er [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B} løsningen av
B [x]B=x.B\,[\mathbf x]_{\mathcal B}=\mathbf x.
Dette er bare det lineære systemet «skriv x\mathbf x som en kombinasjon av basisvektorene», løst med radreduksjon. I et abstrakt rom (polynomer, matriser) gjør du det samme via koeffisientsammenligning.
✏️Eksempel 2: Koordinater relativt en skrå basis i $\mathbb R^2$

La B={(1,1),(1,−1)}\mathcal B=\{(1,1),(1,-1)\}, en basis for R2\mathbb R^2. Finn [(4,2)]B[(4,2)]_{\mathcal B}.

Vi søker c1,c2c_1,c_2 med c1(1,1)+c2(1,−1)=(4,2)c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(4,2). Komponentvis:
c1+c2=4,c1−c2=2.c_1+c_2=4,\qquad c_1-c_2=2.
Adder: 2c1=6⇒c1=32c_1=6\Rightarrow c_1=3; da c2=1c_2=1. Så
[(4,2)]B=[31].[(4,2)]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}.
Kontroll: 3(1,1)+1(1,−1)=(4,2)3(1,1)+1(1,-1)=(4,2) ✓. Merk at koordinatene (3,1)(3,1) er andre tall enn komponentene (4,2)(4,2) — koordinater avhenger av basisen.
📝Oppgave 2
Sjanger D

La B={(3,1),(2,1)}\mathcal B=\{(3,1),(2,1)\}. Finn [(7,3)]B[(7,3)]_{\mathcal B}.

📝Oppgave 3
Sjanger D

La B={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal B=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\}, en basis for P⁡2\operatorname{P}_2. Finn [ 2+3t−t2 ]B[\,2+3t-t^2\,]_{\mathcal B}.

Løkke 2 — Koordinatavbildningen som isomorfi (~17 min)

Koordinatavbildningen x↦[x]B\mathbf x\mapsto[\mathbf x]_{\mathcal B}
Fest en basis B\mathcal B for et nn-dimensjonalt rom VV. Regelen som sender hver vektor til sin koordinatvektor,
T:V→Rn,T(x)=[x]B,T:V\to\mathbb R^n,\qquad T(\mathbf x)=[\mathbf x]_{\mathcal B},
kalles koordinatavbildningen. Den er lineær ([x+y]B=[x]B+[y]B[\mathbf x+\mathbf y]_{\mathcal B}=[\mathbf x]_{\mathcal B}+[\mathbf y]_{\mathcal B} og [cx]B=c[x]B[c\mathbf x]_{\mathcal B}=c[\mathbf x]_{\mathcal B}) og én-til-én på hele Rn\mathbb R^n. En slik lineær, inverterbar avbildning kalles en isomorfi: VV og Rn\mathbb R^n er «samme rom i forkledning».
Struktur speiles i Rn\mathbb R^n

Fordi koordinatavbildningen er en isomorfi, oversettes alle de grunnleggende spørsmålene i VV til det samme spørsmålet om koordinatvektorene i Rn\mathbb R^n:

- w1,…,wk\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_k er lineært uavhengige i VV ⇔\Leftrightarrow koordinatvektorene [w1]B,…[\mathbf w_1]_{\mathcal B},\dots er uavhengige i Rn\mathbb R^n.
- De utspenner VV ⇔\Leftrightarrow koordinatvektorene utspenner Rn\mathbb R^n.
- En mengde er en basis for VV ⇔\Leftrightarrow koordinatvektorene er en basis for Rn\mathbb R^n.

Dette er grunnen til at polynom- og matrisespørsmål avgjøres med radreduksjon: oversett til koordinater og regn i Rn\mathbb R^n.

✏️Eksempel 3: Uavhengighet av polynomer via koordinater

Er {1+t2, t+t2, 1+t}\{1+t^2,\ t+t^2,\ 1+t\} lineært uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2? Bruk koordinatavbildningen.

Oversett hvert polynom til koordinater relativt standardbasisen {1,t,t2}\{1,t,t^2\}:
[1+t2]=[101],[t+t2]=[011],[1+t]=[110].[1+t^2]=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix},\quad [t+t^2]=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\quad [1+t]=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.
Sett dem som kolonner og regn determinanten:
det⁡[101011110]=1(1⋅0−1⋅1)−0+1(0⋅1−1⋅1)=−1−1=−2≠0.\det\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{bmatrix}=1(1\cdot0-1\cdot1)-0+1(0\cdot1-1\cdot1)=-1-1=-2\ne0.
Koordinatvektorene er uavhengige i R3\mathbb R^3, så polynomene er lineært uavhengige i P⁡2\operatorname{P}_2 (isomorfi speiler uavhengighet). Tre uavhengige vektorer i det 33-dimensjonale P⁡2\operatorname{P}_2 er dessuten en basis (dimensjonsargumentet).
📝Oppgave 4
Sjanger D

Avgjør ved hjelp av koordinatavbildningen om {1+t, 2+t2, t+t2}\{1+t,\ 2+t^2,\ t+t^2\} er en basis for P⁡2\operatorname{P}_2.

Løkke 3 — Basisskiftematrisen PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} (~20 min)

Basisskiftematrisen PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}
Har du to baser B\mathcal B og C\mathcal C for samme rom, vil du kunne oversette koordinater fra den ene til den andre. Basisskiftematrisen PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} er matrisen som gjør nettopp det:
[x]C=PC←B [x]B.[\mathbf x]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}\,[\mathbf x]_{\mathcal B}.
Les pilen som «fra B\mathcal B til C\mathcal C»: den tar inn B\mathcal B-koordinater og gir ut C\mathcal C-koordinater. Retningen på pilen er alt — bytt den, og du får inversen.
Kolonnene i PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}
Kolonne jj i PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} er C\mathcal C-koordinatene til den jj-te B\mathcal B-basisvektoren:
PC←B=[ [b1]C  [b2]C  ⋯  [bn]C ].P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\big[\,[\mathbf b_1]_{\mathcal C}\ \ [\mathbf b_2]_{\mathcal C}\ \ \cdots\ \ [\mathbf b_n]_{\mathcal C}\,\big].
Du uttrykker altså hver gamle basisvektor (B\mathcal B) i den nye basisen (C\mathcal C) og stabler koordinatene som kolonner. Fyller du kolonnene med vektorene selv i stedet for koordinatene, er det feil — det er en klassisk felle.
Retning og invers PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=(P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B})^{-1}
Skifter du den andre veien, bruker du den inverse matrisen:
PB←C=(PC←B)−1.P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=\big(P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}\big)^{-1}.
Basisskiftematriser er alltid inverterbare (begge baser gir en isomorfi), og de to skiftene opphever hverandre: PB←C PC←B=IP_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\,P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=I. Sjekkpunkt: når du er ferdig, kontroller retningen på ett kjent eksempel — sett [b1]B=e1[\mathbf b_1]_{\mathcal B}=\mathbf e_1 inn og se at du får [b1]C[\mathbf b_1]_{\mathcal C}.
✏️Eksempel 4: Koordinater og basisskifte i $\operatorname{P}_2$

La B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\} og C={1, 1+t, 1+t+t2}\mathcal C=\{1,\ 1+t,\ 1+t+t^2\} i P⁡2\operatorname{P}_2. Finn [ 3−2t+t2 ]B[\,3-2t+t^2\,]_{\mathcal B} og basisskiftematrisen PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}. Bruk den til å finne [ 3−2t+t2 ]C[\,3-2t+t^2\,]_{\mathcal C}.

Koordinater relativt B\mathcal B (standardbasisen): [ 3−2t+t2 ]B=(3,−2,1)[\,3-2t+t^2\,]_{\mathcal B}=(3,-2,1).

Bygg PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}. Kolonnene er B\mathcal B-vektorene uttrykt i C\mathcal C. Skriv C={c1=1, c2=1+t, c3=1+t+t2}\mathcal C=\{c_1=1,\ c_2=1+t,\ c_3=1+t+t^2\}:
b1=1=c1⇒[b1]C=(1,0,0),b_1=1=c_1\Rightarrow[b_1]_{\mathcal C}=(1,0,0),
b2=t=(1+t)−1=c2−c1⇒[b2]C=(−1,1,0),b_2=t=(1+t)-1=c_2-c_1\Rightarrow[b_2]_{\mathcal C}=(-1,1,0),
b3=t2=(1+t+t2)−(1+t)=c3−c2⇒[b3]C=(0,−1,1).b_3=t^2=(1+t+t^2)-(1+t)=c_3-c_2\Rightarrow[b_3]_{\mathcal C}=(0,-1,1).
Stabl som kolonner:
PC←B=[1−1001−1001].P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}.

Bruk den: [x]C=PC←B[x]B=[1−1001−1001][3−21]=[5−31].[\mathbf x]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[\mathbf x]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\-2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\-3\\1\end{bmatrix}.

Kontroll: 5c1−3c2+1c3=5−3(1+t)+(1+t+t2)=3−2t+t25c_1-3c_2+1c_3=5-3(1+t)+(1+t+t^2)=3-2t+t^2 ✓. Retningen stemmer: matrisen tok B\mathcal B-koordinater inn og ga C\mathcal C-koordinater ut.

📝Oppgave 5
Sjanger F

La B={(1,2),(1,3)}\mathcal B=\{(1,2),(1,3)\} og la C\mathcal C være standardbasisen {(1,0),(0,1)}\{(1,0),(0,1)\} for R2\mathbb R^2. Finn PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} og PB←CP_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}.

📝Oppgave 6
Sjanger D/F på…

La B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\} og C={1, 1+t, 1+t2}\mathcal C=\{1,\ 1+t,\ 1+t^2\} i P⁡2\operatorname{P}_2.

a) Finn PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}.

b) Bruk den til å finne [ 2−t+3t2 ]C[\,2-t+3t^2\,]_{\mathcal C}.

c) Kontroller svaret ved å regne ut kombinasjonen i C\mathcal C.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene om koordinater og basisskifte, samlet for pugging (kode E).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Koordinater relativt standardbasisen

Relativt standardbasisen {e1,…,en}\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\} for Rn\mathbb R^n er [x]E=x[\mathbf x]_{\mathcal E}=\mathbf x — koordinatene er komponentene. Relativt {1,t,…,tn}\{1,t,\dots,t^n\} for P⁡n\operatorname{P}_n er koordinatene til a0+a1t+⋯+antna_0+a_1t+\dots+a_nt^n nettopp (a0,a1,…,an)(a_0,a_1,\dots,a_n). Standardbasisen er den eneste der du kan lese av koordinatene uten å regne.

Koordinater i P⁡n\operatorname{P}_n

For et polynom relativt en ikke-standard basis B\mathcal B av P⁡n\operatorname{P}_n: sett en generell kombinasjon c0b0+⋯+cnbnc_0\mathbf b_0+\dots+c_n\mathbf b_n lik polynomet og sammenlign koeffisienter potens for potens. Det gir et lineært system i cic_i-ene — løsningen er [ p ]B[\,p\,]_{\mathcal B}. Ofte raskest fra høyeste potens og nedover.

Koordinater i et matriserom

I M2×2M_{2\times2} (dimensjon 44) med standardbasisen {E11,E12,E21,E22}\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} er koordinatvektoren til [abcd]\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} rett og slett (a,b,c,d)(a,b,c,d). Slik blir matrisespørsmål til R4\mathbb R^4-spørsmål: uavhengighet, span og basis avgjøres på koordinatvektorene.

Isomorfi (begrepet)

En isomorfi er en lineær avbildning som er både injektiv og surjektiv — den parer opp vektorene i to rom perfekt og bevarer all lineær struktur. Koordinatavbildningen V→RnV\to\mathbb R^n er en isomorfi når dim⁡V=n\dim V=n. Derfor er ethvert nn-dimensjonalt reelt vektorrom «i praksis» Rn\mathbb R^n.

Koordinatavbildningen er lineær

Koordinater respekterer addisjon og skalering: [x+y]B=[x]B+[y]B[\mathbf x+\mathbf y]_{\mathcal B}=[\mathbf x]_{\mathcal B}+[\mathbf y]_{\mathcal B} og [cx]B=c[x]B[c\mathbf x]_{\mathcal B}=c[\mathbf x]_{\mathcal B}. Derfor blir en lineærkombinasjon i VV til den samme lineærkombinasjonen av koordinatvektorene i Rn\mathbb R^n — nøkkelen til at regning kan flyttes over.

Uavhengighet speiles i koordinater

Vektorer i VV er lineært uavhengige hvis og bare hvis koordinatvektorene deres (relativt en fast basis) er uavhengige i Rn\mathbb R^n. Praktisk: for å teste uavhengighet av polynomer eller matriser, oversett til koordinatvektorer, sett dem som kolonner og radreduser (eller regn determinanten).

Dimensjon via koordinatavbildningen

Et underrom W⊆VW\subseteq V har samme dimensjon som bildet av koordinatvektorene i Rn\mathbb R^n. Derfor kan du finne dim⁡W\dim W ved å oversette et utspennende sett til koordinater og telle pivotene — akkurat som for Col⁡A\operatorname{Col}A i kap. 3.3.

PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} og PB←CP_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C} er inverse

De to skiftene opphever hverandre: PB←C PC←B=IP_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}\,P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=I, altså PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=(P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B})^{-1}. Basisskiftematriser er derfor alltid inverterbare. Trenger du bare den ene veien, kan du enten bygge den direkte eller invertere den du har.

PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} i Rn\mathbb R^n via [ C∣B ][\,C\mid B\,]

I Rn\mathbb R^n: sett B\mathcal B-vektorene som kolonner i BB og C\mathcal C-vektorene i CC. Da er PC←B=C−1BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=C^{-1}B, som du finner ved å radredusere [ C∣B ]→[ I∣PC←B ][\,C\mid B\,]\to[\,I\mid P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}\,]. Er C\mathcal C standardbasisen, er C=IC=I og PC←B=BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=B.

Retningssjekk (huskeregel)

Les indeksen C←B\mathcal C\leftarrow\mathcal B som «ut ←\leftarrow inn»: matrisen tar B\mathcal B-koordinater inn og gir C\mathcal C-koordinater ut, jf. [x]C=PC←B[x]B[\mathbf x]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[\mathbf x]_{\mathcal B}. Pilene «kanselleres» som brøker: PD←CPC←B=PD←BP_{\mathcal D\leftarrow\mathcal C}P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}=P_{\mathcal D\leftarrow\mathcal B}.

Basisskifte gjør abstrakt til Rn\mathbb R^n-regning

Kombinasjonen av koordinater og basisskifte er den store nytten: et spørsmål om polynomer i to ulike baser blir til matrise-vektor-produkt i Rn\mathbb R^n. Oversett til koordinater, gang med PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}, og oversett svaret tilbake.

Entydig fremstilling ⇒ veldefinerte koordinater

At B\mathcal B er en basis (uavhengig + utspenner) gir hver vektor nøyaktig én fremstilling x=∑cibi\mathbf x=\sum c_i\mathbf b_i. Uten uavhengighet ville koeffisientene ikke vært entydige, og «koordinater» ville ikke gitt mening. Utspenning sikrer at alle vektorer får koordinater.

Ordnet basis (rekkefølge teller)

Til koordinater trenger vi en ordnet basis: rekkefølgen på basisvektorene bestemmer rekkefølgen på koordinatene. {1,t,t2}\{1,t,t^2\} og {t2,t,1}\{t^2,t,1\} er samme mengde, men gir speilvendte koordinatvektorer. Oppgir en oppgave en basis i en bestemt rekkefølge, hold den.

Oversette svaret tilbake

Har du regnet i koordinater og fått en koordinatvektor (c1,…,cn)(c_1,\dots,c_n), er det tilhørende objektet c1b1+⋯+cnbnc_1\mathbf b_1+\dots+c_n\mathbf b_n. For polynomer: bygg polynomet fra basisen. Sensor vil ofte ha svaret i original form (polynom/matrise), ikke bare som koordinatliste — husk siste oversettelse.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.