Tilbake
3.5
Alle fag for Høyskole

3.5 Drill: underrom, basis, dimensjon og rang

Hele vektorrom-repertoaret drillet: underrom via tre betingelser, basisbevis med dimensjonsargument, Col/Nul/rang fra RREF, koordinater og basisskifte — den 82–89 %-tunge kjernen til automatikk.

90 min
13 oppgaver
Drillunderrombasisdimensjonrang
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper:

- Kap. 3.1 — vektorrom og underrom via de tre betingelsene, P⁡n\operatorname{P}_n/matriserom.
- Kap. 3.2 — uavhengighet, basis og dimensjonsargumentet.
- Kap. 3.3 — Col⁡/Nul⁡\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}/rang og dimensjonsteoremet.
- Kap. 3.4 — koordinater og basisskifte.

Ingen ny teori — dette driller sjangrene D og E til automatikk. Er du usikker på et steg, slå opp i teorikapitlet før du fortsetter.

Løsningsoppskriften (fire sjangre, faste grep)

Bruk samme faste prosedyre per sjanger — da slipper du å tenke fra bunnen hver gang:

1. Underrom? Sjekk de tre betingelsene: (a) 0∈W\mathbf 0\in W; (b) lukket under addisjon (u,v∈W⇒u+v∈W\mathbf u,\mathbf v\in W\Rightarrow\mathbf u+\mathbf v\in W); (c) lukket under skalar (cu∈Wc\mathbf u\in W). Alle tre må vises. Finn så en basis og tell dimensjonen.
2. Basis? Vis lineær uavhengighet og utspenning — eller, når antallet er nøyaktig dim⁡V\dim V, uavhengighet + dimensjonsargumentet. Navngi argumentet.
3. Col⁡/Nul⁡\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}/rang? Radreduser én gang. Col⁡\operatorname{Col}-basis = opprinnelige pivotkolonner i AA; Nul⁡\operatorname{Nul}-basis = spesielle løsninger (én per fri variabel); rang⁡A\operatorname{rang}A = antall pivoter. Kontroller med dimensjonsteoremet rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n.
4. Koordinater/basisskifte? [x]B[\mathbf x]_{\mathcal B} = løs kombinasjonen; PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} har B\mathcal B-vektorene i C\mathcal C-koordinater som kolonner, retning «C\mathcal C ut ←\leftarrow B\mathcal B inn».

Kontroll: sett alltid et delsvar tilbake i den opprinnelige betingelsen/likningen. I abstrakt rom: oversett til koordinater, regn i Rn\mathbb R^n, oversett tilbake.

Underrom — de tre betingelsene (oppskrift)

For at W⊆VW\subseteq V skal være et underrom må alle tre holde: (1) 0∈W\mathbf 0\in W; (2) u,v∈W⇒u+v∈W\mathbf u,\mathbf v\in W\Rightarrow\mathbf u+\mathbf v\in W; (3) c∈R, u∈W⇒cu∈Wc\in\mathbb R,\ \mathbf u\in W\Rightarrow c\mathbf u\in W. Vis dem i rekkefølge. Å hoppe over én — ofte 0∈W\mathbf 0\in W — er den dokumenterte fellen. Er én betingelse brutt (typisk {p:p(0)=1}\{p:p(0)=1\}, som mangler 0\mathbf 0), er WW ikke et underrom, og du gir et moteksempel.

Underrom i P⁡n\operatorname{P}_n og matriserom (grep)

Betingelser som «p(1)=0p(1)=0», «spor⁡A=0\operatorname{spor}A=0» eller «AT=AA^{T}=A» er lineære og homogene, og definerer derfor underrom. Grepet: skriv et generelt element med parametre, samle de frie parametrene, og les basisen av. F.eks. gir spor⁡A=0\operatorname{spor}A=0 i M2M_2 at d=−ad=-a, med a,b,ca,b,c frie — tre basisretninger, dim⁡=3\dim=3.

Basis — uavhengighet + dimensjonsargument (oppskrift)

En basis er uavhengig og utspennende. Snarveien: er antallet vektorer nøyaktig dim⁡V\dim V, holder det å vise én av delene — dimensjonsargumentet («nn uavhengige vektorer i et nn-dim rom er en basis»). I abstrakt rom: oversett til koordinater relativt en kjent basis og sjekk uavhengighet med radreduksjon/determinant. Navngi argumentet i besvarelsen.

Dimensjonsargumentet (når snarveien gjelder)

Snarveien gjelder kun når antallet vektorer er nøyaktig dim⁡V\dim V. Med for få vektorer kan de ikke utspenne; med for mange er de avhengige. Har du riktig antall, er «uavhengig» og «utspenner» ekvivalente — vis den som er lettest (som regel uavhengighet via determinant).

Col⁡/Nul⁡\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}/rang fra RREF (oppskrift)

Radreduser AA én gang. rang⁡A\operatorname{rang}A = antall pivoter. Col⁡A\operatorname{Col}A-basis = de opprinnelige kolonnene i AA som har pivot (ikke RREF-kolonnene). Nul⁡A\operatorname{Nul}A-basis = spesielle løsninger, én per fri variabel (sett den frie =1=1, resten =0=0, les de bundne). Kontroll: rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n.

Col⁡A\operatorname{Col}A-fellen (original, ikke RREF)

Den mest testede detaljen i hele delen: basis for Col⁡A\operatorname{Col}A er de opprinnelige pivotkolonnene i AA — radreduksjon avslører hvilke kolonner, men endrer kolonnerommet. RREF-kolonnene (som (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0)) er feil svar. For Row⁡A\operatorname{Row}A er derimot RREF-radene riktige.

Koordinater og basisskifte (oppskrift)
[x]B[\mathbf x]_{\mathcal B}: løs x=∑cibi\mathbf x=\sum c_i\mathbf b_i (radreduksjon i Rn\mathbb R^n, koeffisientsammenligning i P⁡n\operatorname{P}_n). PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}: kolonne jj = [bj]C[\mathbf b_j]_{\mathcal C}, og [x]C=PC←B[x]B[\mathbf x]_{\mathcal C}=P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B}[\mathbf x]_{\mathcal B}. Motsatt vei: PB←C=(PC←B)−1P_{\mathcal B\leftarrow\mathcal C}=(P_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B})^{-1}. Retning er sjekkpunktet: B\mathcal B inn, C\mathcal C ut.
Kontrollgrepene (fang feil før de teller)

Tre gratis kontroller: (1) dimensjonsteoremet rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=n etter Col⁡/Nul⁡\operatorname{Col}/\operatorname{Nul}; (2) sett hver Nul⁡\operatorname{Nul}-basisvektor inn i Ax=0A\mathbf x=\mathbf 0; (3) sett koordinatsvaret tilbake i kombinasjonen. Under kode E og tidspress er disse kontrollene det som skiller full uttelling fra en regnefeil-sluttet oppgave.

✏️Gjennomregnet vektorrom-case (med sensor-margnotater)
Del A. For A=[120124131212]A=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\1&2&1&2\end{bmatrix}: finn en basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A, oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A, og kontroller dimensjonsteoremet.

Del B. Vis at W={A∈M2:spor⁡A=0}W=\{A\in M_2:\operatorname{spor}A=0\} er et underrom av M2M_2, og finn en basis og dimensjonen.

Del A — radreduser. R2→R2−2R1=(0,0,1,1)R_2\to R_2-2R_1=(0,0,1,1); R3→R3−R1=(0,0,1,1)R_3\to R_3-R_1=(0,0,1,1); R3→R3−R2=0R_3\to R_3-R_2=0. Trappeform, og siden R1R_1 allerede har 00 i kolonne 33, er dette RREF:
[120100110000].\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}.
(Margnotat: pivoter i kolonne 11 og 33 — noter dem før du gjør noe annet.)

Rang: to pivoter ⇒ rang⁡A=2\operatorname{rang}A=2.

Col⁡A\operatorname{Col}A-basis = de opprinnelige kolonnene 11 og 33 i AA: {(1,2,1), (0,1,1)}\left\{(1,2,1),\ (0,1,1)\right\}.
(Margnotat: her ryker delpoeng hvis du skriver RREF-kolonnene (1,0,0),(0,1,0)(1,0,0),(0,1,0) — det er den klassiske fellen.)

Nul⁡A\operatorname{Nul}A-basis: frie variabler x2,x4x_2,x_4. Radene gir x1=−2x2−x4x_1=-2x_2-x_4, x3=−x4x_3=-x_4. Spesielle løsninger: x2=1,x4=0⇒(−2,1,0,0)x_2=1,x_4=0\Rightarrow(-2,1,0,0); x2=0,x4=1⇒(−1,0,−1,1)x_2=0,x_4=1\Rightarrow(-1,0,-1,1). Basis {(−2,1,0,0), (−1,0,−1,1)}\left\{(-2,1,0,0),\ (-1,0,-1,1)\right\}, dim⁡Nul⁡A=2\dim\operatorname{Nul}A=2.

Kontroll (dimensjonsteoremet): rang⁡A+dim⁡Nul⁡A=2+2=4=n\operatorname{rang}A+\dim\operatorname{Nul}A=2+2=4=n ✓.
(Margnotat: å skrive denne kontrollinjen eksplisitt gir uttelling — den viser at du kjenner teoremet ved navn.)

Del B — underrom. Skriv A=[abcd]A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}; spor⁡A=a+d\operatorname{spor}A=a+d.
(1) 0∈W\mathbf 0\in W: nullmatrisen har spor 00 ✓. (2) Addisjon: har A,BA,B spor 00, er spor⁡(A+B)=spor⁡A+spor⁡B=0\operatorname{spor}(A+B)=\operatorname{spor}A+\operatorname{spor}B=0 ✓. (3) Skalar: spor⁡(cA)=cspor⁡A=0\operatorname{spor}(cA)=c\operatorname{spor}A=0 ✓. Alle tre holder, så WW er et underrom.
(Margnotat: alle tre betingelsene må stå — å hoppe over 0∈W\mathbf 0\in W er den dokumenterte fellen.)

Basis og dimensjon: spor⁡A=0\operatorname{spor}A=0 betyr d=−ad=-a, med a,b,ca,b,c frie:
A=a[100−1]+b[0100]+c[0010].A=a\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}.
De tre matrisene er uavhengige (hver har et 11-tall i sin egen posisjon) og utspenner WW, så de er en basis og dim⁡W=3\dim W=3.

Drilloppgaver, bolk 1 — underrom, basis og dimensjon (sjanger D, ~40 min)

Jobb gjennom disse med oppskriften. Vis alle tre betingelsene i underrom-oppgaver, og navngi dimensjonsargumentet i basis-oppgaver.

📝Oppgave 1
Sjanger D

Vis at W={p∈P⁡2:p(0)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_2:p(0)=0\} er et underrom, og finn en basis og dimensjonen.

📝Oppgave 2
Sjanger D

Er W={p∈P⁡2:p(0)=1}W=\{p\in\operatorname{P}_2:p(0)=1\} et underrom av P⁡2\operatorname{P}_2? Begrunn.

📝Oppgave 3
Sjanger D

Vis at W={A∈M2:spor⁡A=0}W=\{A\in M_2:\operatorname{spor}A=0\} er et underrom av M2M_2, og finn en basis og dimensjonen.

📝Oppgave 4
Sjanger D

Avgjør om {1+t2, t+t2, 1+t}\{1+t^2,\ t+t^2,\ 1+t\} er en basis for P⁡2\operatorname{P}_2.

📝Oppgave 5
Sjanger D

La B={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}\mathcal B=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}, en basis for R3\mathbb R^3. Finn [(2,3,1)]B[(2,3,1)]_{\mathcal B}.

📝Oppgave 6
Sjanger D/F

La B={1,t,t2}\mathcal B=\{1,t,t^2\} og C={1, 1+t, 1+t2}\mathcal C=\{1,\ 1+t,\ 1+t^2\}. Finn PC←BP_{\mathcal C\leftarrow\mathcal B} og bruk den til å finne [ 2−t+3t2 ]C[\,2-t+3t^2\,]_{\mathcal C}.

Drilloppgaver, bolk 2 — Col, Nul, rang og kjedede oppgaver (sjanger E + D/E, ~40 min)

Radreduser hver matrise én gang og les av alt. Husk: Col⁡\operatorname{Col}-basis fra originalkolonnene, og bruk dimensjonsteoremet som kontroll.

📝Oppgave 7
Sjanger E

En matrise AA har RREF [1203001−10000]\begin{bmatrix}1&2&0&3\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix}. Oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A, hvilke kolonner en Col⁡A\operatorname{Col}A-basis hentes fra, og dim⁡Nul⁡A\dim\operatorname{Nul}A.

📝Oppgave 8
Sjanger E

For A=[131426171325]A=\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&6&1&7\\1&3&2&5\end{bmatrix}: finn basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A, oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A, og kontroller dimensjonsteoremet.

📝Oppgave 9
Sjanger E

For A=[101201111123]A=\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&1&1&1\\1&1&2&3\end{bmatrix}: finn basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A, og oppgi rangen. Vær nøye med hvilke kolonner Col⁡A\operatorname{Col}A-basisen hentes fra.

📝Oppgave 10
Sjanger E på…

For A=[1−122−253−37]A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\2&-2&5\\3&-3&7\end{bmatrix}: finn basis for Col⁡A\operatorname{Col}A og Nul⁡A\operatorname{Nul}A, oppgi rang⁡A\operatorname{rang}A, og kontroller dimensjonsteoremet.

📝Oppgave 11
Sjanger D

Vis at W={p∈P⁡3:p(1)=0}W=\{p\in\operatorname{P}_3:p(1)=0\} er et underrom av P⁡3\operatorname{P}_3, og finn en basis og dimensjonen.

📝Oppgave 12
Sjanger D + E kjedet

La W={A∈M2:AT=A}W=\{A\in M_2:A^{T}=A\} (symmetriske 2×22\times2-matriser).

a) Vis at WW er et underrom, og finn en basis B\mathcal B og dim⁡W\dim W.

b) Finn koordinatvektoren [M]B[M]_{\mathcal B} til M=[233−1]M=\begin{bmatrix}2&3\\3&-1\end{bmatrix} relativt basisen din.

📝Oppgave 13
Sjanger E

La A=[120124131212]A=\begin{bmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\1&2&1&2\end{bmatrix} (samme som i casen, Col⁡A\operatorname{Col}A-basis {(1,2,1),(0,1,1)}\{(1,2,1),(0,1,1)\}). Avgjør om b=(1,3,2)\mathbf b=(1,3,2) ligger i Col⁡A\operatorname{Col}A, og hva det betyr for Ax=bA\mathbf x=\mathbf b.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.