3.2 Lineær uavhengighet, span og basis

Vektorene $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ utspenner $V$ dersom $\operatorname{Span}\{\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k\}=V$ — altså hvis hver vektor i $V$ kan skrives som en lineærkombinasjon av dem. Da «når» settet hele rommet, men det kan godt inneholde overflødige vektorer.

Vektorene er lineært avhengige hvis det finnes en ikke-triviell relasjon $c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0$ der minst én $c_i\ne0$. Da kan minst én vektor uttrykkes som en lineærkombinasjon av de andre — den er «overflødig». En mengde som inneholder $\mathbf 0$, eller to parallelle vektorer, er alltid avhengig.

Sett vektorene som kolonner i en matrise $A$ og radreduser. Vektorene er lineært uavhengige hvis og bare hvis det er en pivot i hver kolonne (ingen frie variabler i $A\mathbf x=\mathbf 0$). Mangler en kolonne pivot, er settet avhengig, og den frie variabelen gir en ikke-triviell relasjon.

For polynomer settes lineærkombinasjonen lik nullpolynomet, og du sammenligner koeffisienter potens for potens. Det gir et homogent lineært system i $c_i$-ene. Ekvivalent (og raskere): skriv polynomenes koordinater relativt $\{1,t,\dots,t^n\}$ som kolonner og radreduser — uavhengige polynomer ⇔ uavhengige koordinatvektorer.

For funksjoner $f_1,\dots,f_k$ kan uavhengighet vises via Wronski-determinanten $W(x)=\det[f_i^{(j-1)}(x)]$ (funksjonene og deres deriverte i en matrise). Er $W(x_0)\ne0$ for ett punkt $x_0$, er funksjonene lineært uavhengige. (Omvendt gjelder ikke generelt.) Dette er kjennskapsstoff — bruk det når objektene er funksjoner, ikke polynomer/vektorer.

En basis for et vektorrom $V$ er en mengde vektorer som er (1) lineært uavhengig og (2) utspenner $V$. En basis er dermed et minimalt utspennende sett — nok vektorer til å nå alt, men ingen overflødige. Standardbasisen for $\mathbb R^n$ er $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$, og for $\operatorname{P}_n$ er den $\{1,t,\dots,t^n\}$.

I et rom $V$ med kjent dimensjon $\dim V=n$ gjelder snarveien: $n$ lineært uavhengige vektorer i $V$ er automatisk en basis (de utspenner da nødvendigvis $V$). Like fullt: $n$ utspennende vektorer er automatisk uavhengige. Så når du allerede vet at antallet stemmer med dimensjonen, trenger du bare sjekke én av de to egenskapene. Sensor forventer at du navngir dette argumentet.

Mengden $\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}$ der $\mathbf e_i$ har $1$ i posisjon $i$ og $0$ ellers. Den er den enkleste basisen for $\mathbb R^n$: koordinatene til en vektor relativt standardbasisen er rett og slett komponentene.

Potensene $\{1,t,t^2,\dots,t^n\}$ — $n+1$ polynomer som er uavhengige (ulik grad) og utspenner alle polynomer av grad $\le n$. Koordinatene til $a_0+a_1t+\dots+a_nt^n$ relativt denne basisen er $(a_0,a_1,\dots,a_n)$.

For $M_{2\times2}$ er standardbasisen de fire matrisene $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ med ett $1$-tall i én posisjon og $0$ ellers. Enhver $2\times2$-matrise er en lineærkombinasjon av dem, så $\dim M_{2\times2}=4$.

Er $\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}$ en basis, kan hver vektor $\mathbf x$ skrives på nøyaktig én måte som $\mathbf x=c_1\mathbf b_1+\dots+c_n\mathbf b_n$. Nettopp entydigheten (som følger av uavhengighet) gjør at koordinatene $[\mathbf x]_{\mathcal B}=(c_1,\dots,c_n)$ er veldefinerte (kap. 3.4).

Vektorer $\mathbf w_1,\dots,\mathbf w_k$ i et abstrakt rom $V$ er lineært uavhengige hvis og bare hvis koordinatvektorene deres (relativt en fast basis) er uavhengige i $\mathbb R^n$. Dette er grunnen til at polynom- og matrisespørsmål kan avgjøres med radreduksjon i $\mathbb R^n$.

Enhver mengde som inneholder nullvektoren $\mathbf 0$ er lineært avhengig: relasjonen $1\cdot\mathbf 0+0\cdot\mathbf v_2+\dots=\mathbf 0$ er ikke-triviell (koeffisienten foran $\mathbf 0$ er $1\ne0$). En basis kan derfor aldri inneholde $\mathbf 0$.

To vektorer $\mathbf u,\mathbf v$ er lineært uavhengige hvis og bare hvis ingen av dem er et skalarmultiplum av den andre (de er ikke parallelle). Er $\mathbf v=c\mathbf u$, er $\mathbf v-c\mathbf u=\mathbf 0$ en ikke-triviell relasjon.

Mer enn $\dim V$ vektorer i $V$ er alltid lineært avhengige. F.eks. er fire vektorer i $\mathbb R^3$ garantert avhengige, og fire polynomer i $\operatorname{P}_2$ (dim $3$) likeså — uansett hvilke.

Færre enn $\dim V$ vektorer kan aldri utspenne $V$. To vektorer utspenner ikke $\mathbb R^3$, og tre polynomer utspenner ikke $\operatorname{P}_3$ (dim $4$). En basis må ha nøyaktig $\dim V$ vektorer.

Et underrom $W$ har sin egen dimensjon og basis. F.eks. har planet $\{(x,y,z):x+y+z=0\}$ (dim $2$) basisen $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$. En basis for $W$ trenger ikke være en del av en basis for hele rommet, men kan alltid utvides til én.

En basis kan beskrives på to ekvivalente måter: som en maksimal lineært uavhengig mengde (kan ikke utvides uten å bli avhengig) eller som en minimal utspennende mengde (kan ikke trimmes uten å slutte å nå alt). Begge lander på nøyaktig $\dim V$ vektorer.

Har du for mange vektorer (utspenner, men avhengige), kan du fjerne overflødige til du sitter igjen med en basis. Har du for få uavhengige, kan du legge til vektorer utenfor spennet til du utspenner. Begge veier ender på $\dim V$ vektorer.

Relasjonen $c_1\mathbf v_1+\dots+c_k\mathbf v_k=\mathbf 0$ har alltid den trivielle løsningen (alle $c_i=0$). En ikke-triviell løsning har minst én $c_i\ne0$. Uavhengighet = kun den trivielle finnes; avhengighet = det finnes en ikke-triviell relasjon.

At $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ er avhengige betyr geometrisk at minst én av dem allerede ligger i spennet av de øvrige — den tilfører ingen ny retning. Fjerner du en slik overflødig vektor, endres ikke $\operatorname{Span}$.

For en matrise $A$ hvis kolonner er $\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_k$ gjelder: vektorene er uavhengige ⇔ $\operatorname{rang}A=k$ (pivot i hver kolonne). Rangen teller altså hvor mange av vektorene som er uavhengige — koblingen til Col/Nul og rang i kap. 3.3.